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Aufgabe

Dichte von Kernmaterie

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Für den Kernradius gilt die Näherungsformel \(r = 1{,}4 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{m}} \cdot \sqrt[3]{A}\) . Dabei bedeutet \(A\) die Massezahl des Kerns.

a)Berechne hieraus die Dichte der Kernmaterie von Helium.

b)Berechne die Kantenlänge eines Würfels aus Kernmaterie, der die gleiche Masse wie die Erde  \(\left({m_E} = 5{,}98 \cdot {10^{24}}\,{\rm{kg}}\right)\) besitzt.

 

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a)Für den Radius des Heliumkernes (\({A = 4}\) ) ergibt sich \[r = 1{,}4 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{m}} \cdot \sqrt[3]{4} = 2{,}2 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{m}}\] Damit ergibt sich für das Volumen des Heliumkernes \[V = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \Rightarrow V = \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {\left( {2{,}2 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{m}}} \right)^3} = 4{,}5 \cdot {10^{ - 44}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\] Für die Masse des Heliumkernes (\({A = 4}\) ) ergibt sich \[{m_a}\left( {He} \right) = 4 \cdot u = 4 \cdot 1{,}66\cdot{10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} = 6{,}6 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}}\] Damit ergibt sich für die Dichte der Kernmaterie \[\rho  = \frac{m}{V} \Rightarrow \rho  = \frac{{6{,}6 \cdot {{10}^{ - 27}}\,{\rm{kg}}}}{{4{,}5 \cdot {{10}^{ - 44}}\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = 1{,}5 \cdot {10^{17}}\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]

b)Das Volumen des Würfels ergibt sich zu \[\rho  = \frac{m}{V} \Leftrightarrow V = \frac{m}{\rho } \Rightarrow V = \frac{{5{,}98 \cdot {{10}^{24}}\,{\rm{kg}}}}{{1{,}5 \cdot {{10}^{17}}\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 4{,}0 \cdot {10^{7}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\] Daraus ergibt sich die Kantenlänge des Würfels \[{V_W} = {a^3} \Rightarrow a = \sqrt[3]{V} \Rightarrow a = \sqrt[3]{{4{,}0 \cdot {{10}^7}\,{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \approx 3{,}4 \cdot {10^2}{\rm{m}}\]Der Würfel hätte also eine Kantenlänge von ca. \(340\,{\rm{m}}\).

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Kernmodelle