Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)\({}^{238}{\rm{U}}\) zerfällt als Ausgangsnuklid der Uran-Radium-Reihe letztendlich in das stabile Bleiisotop \({}^{206}{\rm{Pb}}\). Die Halbwertszeit des Ausgangsnuklids \({}^{238}{\rm{U}}\) ist hierbei wesentlich länger als die Halbwertszeiten der verschiedenen Zwischennuklide, so dass man über die lange Zeit gesehen von einem "direkten" Zerfall von Uran in Blei ausgehen kann. Analoges gilt für \({}^{235}{\rm{U}}\) als Ausgangsnuklid der Uran-Actinium-Reihe.
b)Das Zerfallsgesetz für das Uran lautet\[{N_{\rm{U}}}(t) = {N_{\rm{U}}}(0) \cdot {e^{ - \lambda \cdot t}} \Leftrightarrow {N_{\rm{U}}}(0) = {N_{\rm{U}}}(t) \cdot {e^{\lambda \cdot t}}\]Für die Anzahl der Bleiisotope ergibt sich dann\[{N_{{\rm{Pb}}}}(t) = {N_{\rm{U}}}(0) - {N_{\rm{U}}}(t) = {N_{\rm{U}}}(t) \cdot {e^{\lambda \cdot t}} - {N_{\rm{U}}}(t) = {N_{\rm{U}}}(t) \cdot \left( {{e^{\lambda \cdot t}} - 1} \right)\]Löst man diese Gleichung nach \(t\) auf, so ergibt sich\[{N_{{\rm{Pb}}}}(t) = {N_{\rm{U}}}(t) \cdot \left( {{e^{\lambda \cdot t}} - 1} \right) \Leftrightarrow {e^{\lambda \cdot t}} = 1 + \frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}(t)}}{{{N_{\rm{U}}}(t)}} \Leftrightarrow \lambda \cdot t = \ln \left( {1 + \frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}(t)}}{{{N_{\rm{U}}}(t)}}} \right) \Leftrightarrow t = \frac{1}{\lambda } \cdot \ln \left( {1 + \frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}(t)}}{{{N_{\rm{U}}}(t)}}} \right)\]Mit \({\lambda = \frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{T_{1/2}}}}}\) ergibt sich schließlich\[t = \frac{{{T_{1/2}}}}{{\ln \left( 2 \right)}} \cdot \ln \left( {1 + \frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}(t)}}{{{N_{\rm{U}}}(t)}}} \right)\quad(1)\]
c)Für das Verhältnis der Teilchenmassen ergibt sich\[\frac{{{m_{^{206}{\rm{Pb}}}}}}{{{m_{^{238}{\rm{U}}}}}} = \frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}(t) \cdot {m_{\rm{A}}}\left( {^{206}{\rm{Pb}}} \right)}}{{{N_{\rm{U}}}(t) \cdot {m_{\rm{A}}}\left( {^{238}{\rm{U}}} \right)}} \Leftrightarrow \frac{{{N_{{\rm{Pb}}}}(t)}}{{{N_{\rm{U}}}(t)}} = \frac{{{m_{\rm{A}}}\left( {^{238}{\rm{U}}} \right)}}{{{m_{\rm{A}}}\left( {^{206}{\rm{Pb}}} \right)}} \cdot \frac{{{m_{^{206}{\rm{Pb}}}}}}{{{m_{^{238}{\rm{U}}}}}} = \frac{{238\rm{u}}}{{206\rm{u}}} \cdot 0{,}77 = 0{,}89\quad(2)\]Setzt man \((2)\) in \((1)\) ein und benutzt die Halbwertszeit von \({}^{238}{\rm{U}}\) von \(4{,}5 \cdot 10^9\,\rm{a}\), so ergibt sich\[t = \frac{{{T_{1/2}}}}{{\ln \left( 2 \right)}} \cdot \ln \left( {1 + 0{,}89} \right) \Rightarrow t = \frac{{4{,}5 \cdot {{10}^9}\,{\rm{a}}}}{{\ln \left( 2 \right)}} \cdot \ln \left( {1 + 0{,}89} \right) = 4{,}1 \cdot {10^9}\,{\rm{a}}\]
d)Die Halbwertszeit für den Zerfall von \({}^{235}{\rm{U}}\) ist \({7{,}0 \cdot {{10}^8}\,{\rm{a}}}\). Damit ergibt sich\[{{N'}_{{\rm{Pb}}}}(t) = {{N'}_{\rm{U}}}(t) \cdot \left( {{e^{\lambda ' \cdot t}} - 1} \right) \Leftrightarrow \frac{{{{N'}_{{\rm{Pb}}}}(t)}}{{{{N'}_{\rm{U}}}(t)}} = {e^{\lambda ' \cdot t}} - 1 = {e^{\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{{{T'}_{1/2}}}} \cdot t}} - 1\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\frac{{{{N'}_{{\rm{Pb}}}}(4{,}1 \cdot {{10}^9}\,{\rm{a}})}}{{{{N'}_{\rm{U}}}(4{,}1 \cdot {{10}^9}\,{\rm{a}})}} = {e^{\frac{{\ln \left( 2 \right)}}{{7{,}0 \cdot {{10}^8}{\rm{a}}}} \cdot 4{,}1 \cdot {{10}^9}{\rm{a}}}} - 1 = 57\quad(3)\]und damit\[\frac{{{m_{^{207}{\rm{Pb}}}}}}{{{m_{^{235}{\rm{U}}}}}} = \frac{{{{N'}_{{\rm{Pb}}}}(4{,}1 \cdot {{10}^9}{\rm{a}}) \cdot {m_{\rm{A}}}\left( {^{207}{\rm{Pb}}} \right)}}{{{{N'}_{\rm{U}}}(4{,}1 \cdot {{10}^9}{\rm{a}}) \cdot {m_{\rm{A}}}\left( {^{235}{\rm{U}}} \right)}} = 57 \cdot \frac{{207{\rm{u}}}}{{235{\rm{u}}}} = 50\]
e)Darstellung eines Massenspektrometers z.B. nach THOMSON oder BAINBRIDGE.