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Aufgabe

Strahleneinsatz in der Medizin (Abitur BY 2006 GK A4-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

 
Joachim Herz Stiftung

Bei der Behandlung von Tumoren im Körperinneren werden in der modernen Medizin u.a. hochenergetische Protonen zur Bestrahlung eingesetzt. Dabei wird die ionisierende Wirkung der Protonen zur Zerstörung der Krebszellen verwendet.

a)Erläutere auch anhand einer beschrifteten Skizze den Aufbau und die Funktionsweise eines Zyklotrons, mit dem Protonen beschleunigt werden können. (8 BE)

b)In der nebenstehenden Abbildung ist ein Maß für die Gewebeschädigung durch einen Protonen- bzw. einen Röntgenstrahl in Abhängigkeit von der Eindringtiefe in das Körpergewebe dargestellt. Ein Tumor, der sich ca. \(12\,{\rm{cm}}\) im Körperinneren befindet, soll zerstört werden.

Erläutere auf der Grundlage des nebenstehenden Diagramms, worin hierbei der entscheidende Vorteil bei der Verwendung von Protonen im Vergleich zu der in der konventionellen Strahlentherapie verwendeten Röntgenstrahlung liegt. (6 BE)

Ein anderes Verfahren der Nuklearmedizin ist die Positron-Emissions-Tomographie (PET). Zur Krebsdiagnostik wird dabei z. B. der kurzlebige ß+-Strahler \({}^{11}{\rm{C}}\) in den Körper eingeschleust. Aus seiner Verteilung im Körpergewebe kann man Rückschlüsse auf den Tumor ziehen.

c)Zur Herstellung des Nuklids \({}^{11}{\rm{C}}\) werden \({}^{14}{\rm{N}}\)-Kerne mit Protonen der kinetischen Energie \(18\,{\rm{MeV}}\) beschossen.

Gib die Reaktionsgleichung an.

Berechne die für diese Reaktion notwendige Energie.

Vergleiche diese mit der kinetischen Energie der Protonen. (7 BE)

d)Gib die Zerfallsgleichung für den β+-Zerfall von \({}^{11}{\rm{C}}\) an.

Erläutere, warum das Energiespektrum des β+-Strahlers kontinuierlich ist. (5 BE)

e)Der β+-Zerfall kann als Umwandlung eines Kern-Protons (udu) in ein Kern-Neutron (udd) beschrieben werden.

Deute diese Umwandlung im Quarkmodell. (4 BE)

f)Bei der PET trifft ein Positron schon kurz nach der Emission auf ein Elektron und zerstrahlt mit diesem in zwei γ-Quanten. Bei einer Untersuchung werden dem Patienten \(1{,}0 \cdot {10^{ - 11}}{\rm{g}}\) des \({}^{11}{\rm{C}}\) injiziert.

Berechne die Zahl der γ-Quanten, die nach der Injektion innerhalb von zwei Halbwertszeiten erzeugt werden. (7 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

Joachim Herz Stiftung

a)Die Anordnung befindet sich im Vakuum. An den Duanden D1 und D2 liegt eine hochfrequente Spannung U. Senkrecht zur Zeichenebene liegt ein Magnetfeld, das die Protonen, die aus der Quelle kommen auf Kreisbahnen zwingt. Die Spannung ist so geschaltet, dass die Protonen im Raum zwischen den Duanden D1 und D2 beschleunigt werden. Mit der Ablenkplatte H wird der Teilchenstrahl aus dem Zyklotron gelenkt. Beim Normalzyklotron kann die Frequenz der Beschleunigungsspannung festbleiben, da sich die Einflüsse von längerem Weg und höherer Geschwindigkeit auf den weiter außen liegenden Bahnen gerade kompensieren.

b)Bei Protonenstrahlen: Maximale Schädigung des Tumors durch "genau" festlegbare Eindringtiefe unter Schonung des umgebenden Gewebes.

Bei Röntgenstrahlung: Große Gewebeschädigung vorwiegend "vor" dem Tumor. Hieraus ergibt sich ein zusätzliches Krebsrisiko durch von der Röntgenstrahlung verursachte Sekundärtumore.

c)Die Reaktionsgleichung lautet\[{}_7^{14}{\rm{N}} + {}_1^1{\rm{p}} \to {}_6^{11}{\rm{C}} + {}_2^4\alpha \]Der \(Q\)-Wert berechnet sich zu\[\begin{eqnarray}\Delta E &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_7^{14}{\rm{N}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {_1^1{\rm{H}}} \right) - \left( {{m_{\rm{A}}}\left( {_6^{11}{\rm{C}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_7^{14}{\rm{N}}} \right) + {m_{\rm{A}}}\left( {_1^1{\rm{H}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {_6^{11}{\rm{C}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {_2^4{\rm{He}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {14{,}0030744{\rm{u}} + 1{,}00782522{\rm{u}} - 11{,}011433{\rm{u}} - 4{,}0026036{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& -0,00313698 \cdot u \cdot {c^2}\\ &=& -0{,}00313698 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& -2{,}922\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]Es handelt sich um eine endotherme Reaktion, die jedoch bei der kinetischen Energie der Protonen von \(18{\rm{MeV}}\) ausgelöst werden kann.

d)Die Reaktionsgleichung lautet\[{}_6^{11}{\rm{C}} \to {}_5^{11}{\rm{B}} + {}_1^0{\rm{e}^+} + {}_0^0{\rm{\nu_e }}\]Die bei der Reaktion frei werdende Energie geht nicht nur auf den Bor-Kern und das Positron über. Auch das Elektron-Neutrino nimmt Energie und Impuls auf (Drei-Teilchen-Zerfall). So kann das kontinuierliche Energiespektrum der ß-Teilchen verstanden werden.

Joachim Herz Stiftung

e)Ein u-Quark wandelt sich in ein d-Quark um und sendet dabei ein Positron und ein Elektron-Neutrino aus.

f)Berechnung der Zahl der \({}^{11}{\rm{C}}\)-Atome\[{N_0}\left( {{}^{11}{\rm{C}}} \right) = \frac{m}{{{m_{\rm{A}}}\left( {{}^{11}{\rm{C}}} \right)}} \Rightarrow {N_0}\left( {{}^{11}{\rm{C}}} \right) = \frac{{1{,}0 \cdot {{10}^{ - 14}}{\rm{kg}}}}{{11 \cdot 1{,}66 \cdot {{10}^{ - 27}}{\rm{kg}}}} = 5{,}5 \cdot {10^{11}}\]Nach zwei Halbwertszeiten ist nur noch ein Viertel der anfänglich vorhandenen \({}^{11}{\rm{C}}\)-Kerne unzerfallen. Also sind drei Viertel in zwei Halbwertszeiten zerfallen. Jeder Zerfall hat zwei Gammaquanten zur Folge. Also gilt\[{N_\gamma } = 2 \cdot \left[ {{N_0}\left( {{}^{11}{\rm{C}}} \right) - \frac{1}{4} \cdot {N_0}\left( {{}^{11}{\rm{C}}} \right)} \right] = 2 \cdot \frac{3}{4} \cdot {N_0}\left( {{}^{11}{\rm{C}}} \right) = 1\frac{1}{2} \cdot {N_0}\left( {{}^{11}{\rm{C}}} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{N_\gamma } = 1\frac{1}{2} \cdot 5{,}5 \cdot {10^{11}} = 8{,}2 \cdot {10^{11}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Kern-/Teilchenphysik

Anwendungen der Kernphysik