Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Die Zerfallsgleichung lautet\[_{27}^{60}\rm{Co} \to _{28}^{60}\rm{Ni} + _{ - 1}^0{\rm{e}^ - } + _0^0{\bar \nu _e}\]Für die frei werende Energie ergibt sich dann\[\begin{eqnarray}Q &=& \Delta m \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {{m_{\rm{A}}}\left( {_{27}^{60}{\rm{Co}}} \right) - {m_{\rm{A}}}\left( {_{28}^{60}{\rm{Ni}}} \right)} \right] \cdot {c^2}\\ &=& \left[ {59{,}933814{\rm{u}} - 59{,}930782{\rm{u}}} \right] \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}003032 \cdot {\rm{u}} \cdot {c^2}\\ &=& 0{,}003031 \cdot 931{,}49\,{\rm{MeV}}\\ &=& 2{,}823\,{\rm{MeV}}\end{eqnarray}\]
b)Die Anregungsenergien berechnen sich zu\[{{E_1} = Q - {E_{{\beta _1}}} \Rightarrow {E_1} = 2{,}823\,{\rm{MeV}} - 1{,}491\,{\rm{MeV}} = 1{,}332\,{\rm{MeV}}}\]\[{{E_2} = Q - {E_{{\beta _2}}} \Rightarrow {E_2} = 2{,}823\,{\rm{MeV}} - 0{,}665\,{\rm{MeV}} = 2{,}158\,{\rm{MeV}}}\]\[{{E_3} = Q - {E_{{\beta _3}}} \Rightarrow {E_3} = 2{,}823\,{\rm{MeV}} - 0{,}318\,{\rm{MeV}} = 2{,}505\,{\rm{MeV}}}\]Damit ergibt sich das folgende Zerfallsschema (die Übergänge sind bereits eingezeichnet)
Die \(\gamma\)-Strahlung mit der größten Wellenlänge entspricht dem Übergang mit der kleinsten Energiedifferenz. Es ergibt sich\[{E_3} - {E_2} = h \cdot \frac{c}{{{\lambda _{\max }}}} \Leftrightarrow {\lambda _{\max }} = \frac{{h \cdot c}}{{{E_3} - {E_2}}} \Rightarrow {\lambda _{\max }} = \frac{{4{,}14 \cdot {{10}^{ - 15}}{\rm{eVs}} \cdot 3 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{2{,}505 \cdot {{10}^6}{\rm{eV}} - 2{,}158 \cdot {{10}^6}{\rm{eV}}\;}} = 3{,}58 \cdot {10^{ - 12}}\,{\rm{m}} = 3{,}58\,{\rm{pm}}\]
c)Die schnellsten \(\beta\)-Teilchen haben laut Zerfallsschema die kinetische Energie \(E_{\rm{kin,\beta_1}} = 1{,}491\,{\rm{MeV}}\). Damit gilt für die Gesamtenergie\[E = {E_0} + {E_{{\rm{kin}}}} \Rightarrow E = 0{,}511\,{\rm{MeV}} + 1{,}491\,{\rm{MeV}} = 2{,}002\,{\rm{MeV}}\]Weiter ergibt sich\[E = m \cdot {c^2} = \frac{{{m_0} \cdot {c^2}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{{{E_0}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{v}{c}} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow 1 - {\left( {\frac{v}{c}} \right)^2} = {\left( {\frac{{{E_0}}}{E}} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{v}{c}} \right)^2} = 1 - {\left( {\frac{{{E_0}}}{E}} \right)^2} \Rightarrow \frac{v}{c} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{{E_0}}}{E}} \right)}^2}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\frac{v}{c} = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0{,}511\,{\rm{MeV}}}}{{2{,}002\,{\rm{MeV}}}}} \right)}^2}}=0{,}967 \Rightarrow v = 0{,}967 \cdot c\]
d)\(\gamma\)-Quanten können im Körpergewebe durch Auslösung von Elektronen Ionisation hervorrufen. Beim Photoeffekt überträgt ein \(\gamma\)-Quant seine gesamte Energie auf ein Elektron der Atomhülle und schlägt es heraus, da die Quantenenergie größer ist als die Austrittsarbeit. Beim COMPTON-Effekt überträgt ein \(\gamma\)-Quant seine Energie teilweise auf ein quasifreies Elektron der Hülle und schlägt es heraus (wobei ein \(\gamma\)-Quant mit geringerer Energie entsteht). In beiden Fällen wird das Atom bzw. Molekül ionisiert.
e)Für die Energiedosis gilt \(D = \frac{E}{m}\) und damit für die absorbierte Energie\[E = D \cdot m \Rightarrow E = 2{,}0 \cdot 0{,}90\,{\rm{J}} = 1{,}80\,{\rm{J}}\]Da nur \(0{,}50\%\) dieser Energie absorbiert werden, gilt für die frei werdende Energie \(E_{\rm{ges}}\)\[E = {E_{{\rm{ges}}}} \cdot 0{,}50\% \Leftrightarrow {E_{{\rm{ges}}}} = \frac{E}{{0{,}50\% }} \Rightarrow {E_{{\rm{ges}}}} = \frac{{1{,}80\,{\rm{J}}}}{{0{,}50\% }} = 360\,{\rm{J}}\]Die Anzahl \(n\) der Zerfälle ergibt sich dann zu\[Q \cdot n = {E_{{\rm{ges}}}} \Leftrightarrow n = \frac{{{E_{{\rm{ges}}}}}}{Q} \Rightarrow n = \frac{{360\,{\rm{J}}}}{{2{,}824 \cdot {{10}^6} \cdot 1{,}6 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}} \cdot {\rm{V}}}} = 8{,}0 \cdot {10^{14}}\]
f)Für die Aktivität gilt\[A = \frac{{8{,}0 \cdot {{10}^{14}}}}{{15 \cdot 60\,{\rm{s}}}} = 8{,}9 \cdot {10^{11}}\,{\rm{Bq}}\]und weiter\[A = N \cdot \lambda \Leftrightarrow N = \frac{A}{\lambda } = \frac{{A \cdot {T_{1/2}}}}{{\ln \left( 2 \right)}} \Rightarrow N = \frac{{8{,}9 \cdot {{10}^{11}}{\rm{Bq}} \cdot 5,3 \cdot 365 \cdot 3600 \cdot 24\,{\rm{s}}}}{{\ln \left( 2 \right)}} = 2{,}15 \cdot {10^{20}}\]Damit ergibt sich für die Masse\[m = 2{,}15 \cdot {10^{20}} \cdot 60 \cdot 1{,}66 \cdot {10^{ - 27}}\,{\rm{kg}} = 2{,}1 \cdot 10{^{ - 5}}\,{\rm{kg}} = 21\,{\rm{mg}}\]
