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Aufgabe

Lichterkette als Christbaumbeleuchtung

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Eine Christbaumbeleuchtung  wie in Abb. 1 (Betriebsdaten \(230\,\rm{V}\,/\,30\,\rm{W}\)) besteht aus einer Kette von \(10\) in Serie geschalteten Glühlampen. In jeder Lampe ist im unteren, kühlen Teil ein Heißleiter parallel zur Glühwendel geschaltet. Bei gewöhnlichem Betrieb ist der Widerstand des Heißleiters größer als \(10\,\rm{k \Omega}\).

a)
Pexels Lizenz abhinav sharma
Abb. 1 Lichterkette als Christbaumbeleuchtung

Zeichne einen Schaltplan der Lichterkette einschließlich einer elektrischen Quelle.

b)

Brennt eine Lampe durch, gehen alle Lampen kurzzeitig aus. Die nicht durchgebrannten Lampen leuchten aber bald mit der ursprünglichen Helligkeit weiter.

Erkläre dieses Verhalten anhand einer ausführlichen kommentierten Rechnung.

c)

Gib an, welchen Widerstand der Heißleiter in der durchgebrannten Lampe nun hat.

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a)
Abb. 2 Schaltplan der Lichterkette
b)

Alle Lampen zusammen haben den Widerstand \({R_{\rm{ges}}}\) mit\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{U = {R_{{\rm{ges}}}} \cdot I \Leftrightarrow {R_{{\rm{ges}}}} = \frac{U}{I}}\\{P = U \cdot I \Leftrightarrow I = \frac{P}{U}}\end{array}} \right\} \Rightarrow {R_{{\rm{ges}}}} = \frac{U}{{\frac{P}{U}}} = \frac{{{U^2}}}{P} \Rightarrow {R_{{\rm{ges}}}} = \frac{{{{\left( {230\,{\rm{V}}} \right)}^2}}}{{30\,{\rm{W}}}} = 1{,}8\,{\rm{k}}\Omega \]Eine Lampe mit parallel geschaltetem Heißleiter hat somit den 10. Teil des Gesamtwiderstands also \(0{,}18\,\rm{k\Omega} \). Wie eine kleine Rechnung zeigt, ist dies in etwa auch der Widerstand der Glühwendel einer Lampe. Denn die Parallelschaltung eines sehr hohen Widerstandes (z.B. \(10\,\rm{k\Omega} \)) und eines relativ kleinen Widerstandes (z.B. \(0{,}18\,\rm{k\Omega} \)) erbringt als Ersatzwiderstand etwa den Wert des kleinen Widerstandes.

Aufgrund der angegebenen Daten fließt durch eine Lampe der Strom\[I = \frac{U}{{{R_{{\rm{ges}}}}}} \Rightarrow I = \frac{{230\,{\rm{V}}}}{{1{,}8 \cdot {{10}^3}\Omega }} = 0{,}13\,{\rm{A}}\]Da die Wendel im Vergleich zum Heißleiter einen kleinen Widerstand hat, fließt der größte Teil des Stromes \(I\) durch die Wendel und nur ein vernachlässigbar kleiner Strom durch den jeweiligen Heißleiter.

Brennt nun die Wendel einer Lampe durch (die Wendel hat dann den Widerstand Unendlich), so hat diese Lampe aufgrund des parallelgeschalteten Heißleiters den Widerstandswert von ca. \(10\,\rm{k\Omega} \).

Die \(9\) noch intakten Lampen haben zusammen den Widerstandswert \(9 \cdot 0{,}18\,\rm{k\Omega} = 1{,}6\,\rm{k\Omega} \), die gesamte Anordnung den Widerstandwert \(R_{{\rm{ges}}}^*=10\,\rm{k\Omega}+1{,}6\,\rm{k\Omega}=11{,}6\,\rm{k\Omega} \).

Der Strom durch die Anordnung ist nun \({I^*}\) mit\[{U = R_{{\rm{ges}}}^* \cdot {I^*} \Leftrightarrow {I^*} = \frac{U}{{R_{{\rm{ges}}}^*}}} \Rightarrow {I^*} = \frac{{230\,{\rm{V}}}}{{11{,}6 \cdot {{10}^3}\Omega }} = 0{,}002\,{\rm{A}}\]Diese Stromverringerung führt dazu, dass nun zunächst alle Lampen erlöschen.

Während aber bei intakter Lampe durch den Heißleiter nahezu kein Strom geflossen ist, bewirkt der Strom \({I^*}\) eine Erwärmung des Heißleiters der defekten Lampe. Dessen Widerstand sinkt und nach kurzer Zeit leuchten die restlichen neun Lampen mit der gewohnten Helligkeit.

c)

Damit die \(9\) intakten Lampen wieder die gleichen Betriebsbedingungen haben, muss der Heißleiter den Widerstand einer Lampe, also \(0{,}18\,\rm{k\Omega} \) besitzen.