Widerstand & spez. Widerstand

Elektrizitätslehre

Widerstand & spez. Widerstand

  • Warum springt bei zu vielen Verbrauchern die Sicherung heraus?
  • Haben Batterien auch einen Widerstand?
  • Warum springt im Winter manchmal das Auto nicht an?

Die Fragestellung des Versuchs

Ein einfacher Stromkreis besteht aus einer elektrischen Quelle mit veränderlicher Spannung und einem Leiter.

Wie hängt die Stromstärke \(I\) im Stromkreis von der Spannung \(U\) der elektrischen Quelle ab?

Der deutsche Physiker Georg Simon OHM (1789 - 1854) untersuchte in den Jahren 1825-1826 die Zusammenhänge in elektrischen Stromkreisen. In diesem Versuch kannst du eine moderne Version von OHMs Experimenten nachvollziehen.

Aufbau und Durchführung

ohmsches-gesetz-version-a-versuchsaufbau.jpg
Abb.
1
Aufbau des Versuchs

Abb. 1 zeigt den Aufbau des Versuchs. Die beiden Kabel auf der linken Seite führen zu einer elektrischen Quelle mit veränderbarer Spannung. Den Betrag dieser Spannung misst der Spannungsmesser links. Weiter befindet sich im Stromkreis ein Leiter. Schließlich ist in den Stromkreis ein Strommesser geschaltet.

 
ohmsches-gesetz-version-a-schaltskizze.svg
Abb.
2
Schaltskizze zum Versuch

Abb. 2 zeigt die Schaltskizze des Versuchs mit elektrischer Quelle, Spannungsmesser, Leiter (rechteckiger Kasten) und Strommesser.

Man verändert nun die Spannung \(U\) der elektrischen Quelle und misst jeweils die Stromstärke \(I\).

 

Beobachtung

Verwendet man einen Leiter mit der Aufschrift \(100\,\rm{\Omega}\) ein, so erhält man folgende Messwerte:

\(U\;\rm{in\;V}\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\)
\(I\;\rm{in\;A}\) \(0{,}00\) \(0{,}01\) \(0{,}02\) \(0{,}03\) \(0{,}04\) \(0{,}05\) \(0{,}06\) \(0{,}07\) \(0{,}08\) \(0{,}09\) \(0{,}10\)

Hinweis: Wenn du selbst Messwerte aufnehmen möchtest, so kannst du dies mit der entsprechenden Simulation (Link am Ende des Artikels) tun.

Auswertung

ohmsches-gesetz-version-a-diagramm.svg
Abb.
3
Diagramm mit dem Zusammenhang zwischen der Spannung der elektrischen Quelle und der Stromstärke im Stromkreis

Das Diagramm in Abb. 3 zeigt, dass die Stromstärke \(I\) mit größer werdender Spannung \(U\) immer größer wird. Die Messwerte liegen auf einer Ursprungsgeraden, die Stromstärke \(I\) ist also proportional zur Spannung \(U\).

Bestimmt man die Steigung der Ursprungsgeraden, so erhält man den Wert \(0{,}01\,\frac{{\rm{A}}}{{\rm{V}}} = \frac{1}{{100}}\,\frac{{\rm{A}}}{{\rm{V}}}\). Damit wird in unserem Versuch der Zusammenhang zwischen Spannung \(U\) und Stromstärke \(I\) beschrieben durch die Gleichung\[I = \frac{1}{{100}}\frac{{\rm{A}}}{{\rm{V}}} \cdot U\]

Bemerkenswert ist, dass der Nenner in der Maßzahl der Steigung mit der Maßzahl auf dem Leiter übereinstimmt.

 

Ergebnis

In einem einfachen Stromkreis mit einer elektrischen Quelle und einem Leiter ist die Stromstärke \(I\) im Stromkreis proportional zur Spannung \(U\) der elektrischen Quelle.

Die Fragestellung des Versuchs

Ein einfacher Stromkreis besteht aus einer elektrischen Quelle, mit der man die Stromstärke im Stromkreis verändern kann, und einem Leiter.

Wie hängt die Spannung \(U\), die über dem Leiter abfällt, von der Stärke \(I\) des Stroms, der durch den Leiter fließt ab?

Der deutsche Physiker Georg Simon OHM (1789 - 1854) untersuchte in den Jahren 1825-1826 die Zusammenhänge in elektrischen Stromkreisen. In diesem Versuch kannst du eine moderne Version von OHMs Experimenten nachvollziehen.

Aufbau und Durchführung

ohmsches-gesetz-version-b-versuchsaufbau.jpg
Abb.
1
Aufbau des Versuchs

Abb. 1 zeigt den Aufbau des Versuchs. Die beiden Kabel auf der linken Seite führen zu einer elektrischen Quelle, mit der man die Stromstärke im Stromkreis verändern kann. Weiter befindet sich im Stromkreis ein Leiter. In den Stromkreis ist ein Strommesser geschaltet; mit ihm kann man die Stärke des Stroms messen, der durch den Leiter fließt. Schließlich ist ein Spannungsmessermesser parallel zum Leiter geschaltet; mit ihm kann man die Spannung messen, die über dem Leiter abfällt.

 
ohmsches-gesetz-version-b-schaltskizze.svg
Abb.
2
Schaltskizze zum Versuch

Abb. 2 zeigt die Schaltskizze des Versuchs mit elektrischer Quelle, Strommesser, Leiter (rechteckiger Kasten) und Spannungsmesser.

Man verändert nun die Stromstärke \(I\) und misst jeweils die Spannung \(U\).

 

Beobachtung

Verwendet man einen Leiter mit der Aufschrift \(100\,\rm{\Omega}\) ein, so erhält man folgende Messwerte:

\(I\;\rm{in\;A}\) \(0{,}00\) \(0{,}01\) \(0{,}02\) \(0{,}03\) \(0{,}04\) \(0{,}05\) \(0{,}06\) \(0{,}07\) \(0{,}08\) \(0{,}09\) \(0{,}10\)
\(U\;\rm{in\;V}\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\)

Hinweis: Wenn du selbst Messwerte aufnehmen möchtest, so kannst du dies mit der entsprechenden Simulation (Link am Ende des Artikels) tun.

Auswertung

ohmsches-gesetz-version-b-diagramm.svg
Abb.
3
Diagramm mit dem Zusammenhang zwischen der Stärke des Stroms, der durch einen Leiter fließt und der Spannung, die dabei über dem Leiter abfällt

Das Diagramm in Abb. 3 zeigt, dass die Spannung \(U\) mit größer werdender Stromstärke \(I\) immer größer wird. Die Messwerte liegen auf einer Ursprungsgeraden, die Spannung \(U\) ist also proportional zur Stromstärke \(I\).

Bestimmt man die Steigung der Ursprungsgeraden, so erhält man den Wert \(100\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{A}}}\). Damit wird in unserem Versuch der Zusammenhang zwischen Stromstärke \(I\) und Spannung \(U\) beschrieben durch die Gleichung\[U = 100\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{A}}} \cdot I\]

Bemerkenswert ist, dass die Maßzahl der Steigung mit der Maßzahl auf dem Leiter übereinstimmt.

 

Ergebnis

In einem einfachen Stromkreis mit einer elektrischen Quelle und einem Leiter ist die Spannung \(U\), die über dem Leiter abfällt proportional zur Stärke \(I\) des Stroms, der durch den Leiter fließt.

Die Fragestellung des Versuchs

Ein einfacher Stromkreis besteht aus einer elektrischen Quelle mit konstanter Spannung und einem veränderbaren Leiter.

Wie hängt die Stromstärke \(I\) im Stromkreis vom Leiter ab?

Der deutsche Physiker Georg Simon OHM (1789 - 1854) untersuchte in den Jahren 1825-1826 die Zusammenhänge in elektrischen Stromkreisen. Im standen eine elektrische Quelle mit konstanter Spannung, verschiedene Leiter und ein Gerät zur Messung der Stromstärke in dem Stromkreis zur Verfügung. In diesem Versuch kannst du das Experiment von OHM mit modernen Geräten nachvollziehen.

Aufbau und Durchführung

ohmsches-gesetz-historische-version-versuchsaufbau.jpg
Abb.
1
Aufbau des historischen Versuchs von OHM mit moderenen Geräten

Abb. 1 zeigt den Aufbau des historischen Versuchs von OHM mit moderenen Geräten.Die beiden Kabel auf der linken Seite führen zu einer elektrischen Quelle mit konstanter Spannung. Im Stromkreis befindet sich bereits ein Leiter, der aber durch verschiedene andere Leiter ersetzt werden kann. Schließlich ist in den Stromkreis ein Strommesser geschaltet.

 
ohmsches-gesetz-historische-version-schaltskizze.svg
Abb.
2
Schaltskizze zum Versuch

Abb. 2 zeigt die Schaltskizze des Versuchs mit elektrischer Quelle, Leiter (rechteckiger Kasten) und Strommesser.

Man verändert nun den Leiter im Stromkreis und misst jeweils die Stromstärke \(I\).

 

Beobachtung

Stellt man den Betrag der Spannung der elektrischen Quelle auf \(U=12\,\rm{V}\) ein, so erhält man folgende Messwerte:

Maßzahl auf dem Leiter \(10\) \(47\) \(100\) \(150\) \(180\) \(200\) \(220\) \(510\)
\(I\;\rm{in\;A}\) \(1{,}20\) \(0{,}26\) \(0{,}12\) \(0{,}08\) \(0{,}07\) \(0{,}06\) \(0{,}05\) \(0{,}02\)

Hinweis: Wenn du selbst Messwerte aufnehmen möchtest, so kannst du dies mit der entsprechenden Simulation (Link am Ende des Artikels) tun.

Auswertung

ohmsches-gesetz-historische-version-diagramm.svg
Abb.
3
Diagramm mit dem Zusammenhang zwischen der Maßzahl auf dem Leiter und der Stromstärke im Stromkreis

Das Diagramm in Abb. 3 zeigt, dass die Stromstärke \(I\) mit größer werdender Maßzahl auf dem Leiter immer kleiner wird. Die Messwerte könnten auf einer Hyperbel liegen. In diesem Fall wäre die Stromstärke \(I\) antiproportional zur Maßzahl auf dem Leiter.

Hinweis: Kompliziertere Auswertungsmethoden, die du noch nicht kennst zeigen, dass die Stromstärke tatsächlich antiproportional zur Maßzahl auf dem Leiter ist.

 

Ergebnis

In einem einfachen Stromkreis mit einer elektrischen Quelle mit konstanter Spannung und einem veränderbaren Leiter ist die Stromstärke \(I\) im Stromkreis antiproportional zur Maßzahl auf dem Leiter.

 
 
 
 
©  W. Fendt 1997
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation zur Darstellung des OHM'schen Gesetzes

Diese Simulation zeigt einen einfachen Stromkreis mit einem Widerstand. Zusätzlich sind Messgeräte für die Spannung (parallel zum Widerstand) und für die Stromstärke (in Serie zum Widerstand) vorhanden.

Die beiden Auswahlfelder dienen der Einstellung der Messbereiche. Erscheint die Warnung "Messbereich überschritten!", so muss hier ein weniger empfindlicher Bereich eingestellt werden. Mit Hilfe der vier Schaltknöpfe lassen sich Widerstand und Spannung verändern. Unten rechts werden die jeweiligen Messwerte für Spannung (U ) und Stromstärke (I ) angezeigt.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Untersuche, welche der beiden Größen (\(U\) bzw. \(I\)) korrekt (in Bezug auf die Widerstandsermittlung) und welche falsch gemessen wird.

Erläutere, wie man experimentell testen könnte, ob die Falschmessung der einen Größe einen nennenswerten Einfluss auf die Messung des Widerstands hat.

Fülle mit Hilfe der Simulation die folgenden Tabellen aus.

\(R_1 = 200\Omega\)

\(U\;\rm{in\;V}\) \(0,0\) \(2,0\) \(4,0\) \(6,0\) \(8,0\) \(10\)
\(I\;\rm{in\;mA}\)            

\(R_2 = 300\Omega\)

\(U\;\rm{in\;V}\) \(0,0\) \(2,0\) \(4,0\) \(6,0\) \(8,0\) \(10\)
\(I\;\rm{in\;mA}\)            

Für einen Kohlestift wurde die folgende Tabelle aufgenommen:

\(U\;\rm{in\;V}\) \(0,0\) \(2,0\) \(4,0\) \(6,0\) \(8,0\) \(10\)
\(I\;\rm{in\;mA}\) \(0,0\) \(2,5\) \(5,0\) \(9,0\) \(16\) \(28\)

Fertige ein \(U\)-\(I\)-Diagramm an und zeichne die Kennlinien der drei Leiter.

Formuliere eine Je-Desto-Aussage zwischen der Steigung der Kennlinie im \(U\)-\(I\)-Diagramm und dem Widerstand eines Leiters.

Charakterisiere den Kennlinienverlauf und die Widerstandsänderung des Kohlestiftes mit zwei Sätzen.

Erläutere, warum man den Kohlestift manchmal auch als Heißleiter bezeichnet.

Trage in das Diagramm qualitativ auch die Kennlinie eines Kaltleiters ein und recherchiere, welches Material z.B. ein Kaltleiter ist.

Heiko Hauenstein hat auf der Seite der Uni-Bayreuth unter anderem ein sehr gut gemachtes Online-Experimente in Flash erstellt, bei dem man den spezifischen Widerstand von verschiedenen Drähten "durchmessen" kann.

Mit der Maus kann man die Drahtlänge ändern und man kann sie ablesen (rechts oben). Über das Mikrometersymbol kann man zwischen den vier verschiedenen Drähten aus Gold, Kupfer, Konstantan und Eisen auswählen und ihren Durchmesser über eine Manipulation am Mikrometer festlegen. Nach Einschalten des Netzgerätes lässt sich mit den Pfeiltasten die Spannung wählen. Durch Anklicken des Strommessers wird dieser vergrößert. Über die Power-Taste kann er eingeschaltet werden. Auch der richtige Messbereich lässt sich auswählen (Vorsicht, sonst brennt die Sicherung durch!). Durch Anklicken des Tintenfasssymbols werden die Messwerte protokolliert.

zum Online-Experiment

Bestimme mit den eigenen Werten den spezifischen Widerstand von Eisen, Kupfer, Konstantan und Gold und vergleiche mit den Werten der Formelsammlung.

Die Beziehung \(R \sim \frac{l}{A}\) kannst du über ein kleines Gedankenexperiment mit Hilfe der Formeln für Ersatzwiderstände gewinnen.

Abhängigkeit des Widerstandes von der Länge \(l\)

1 Abhängigkeit des Widerstandes eines Drahtes von dessen Länge

Du denkst dir einen Drahtwiderstand mit fester Querschnittsfläche \(A\), der Länge \(l\) und mit dem Widerstandswert \(R\). Diesen teilst du nun in \(N\) gleichlange Stücke auf von denen jedes den Widerstand \(R_0\) und die Länge \(l_0\) hat. In der Animation ist \(N = 4\).

Die Anordnung der kleinen Widerstandsstückchen ist eine Reihenschaltung (Serienschaltung). Es gilt also\[R = N \cdot {R_0}\quad (1)\]Außerdem siehst du, dass\[l = N \cdot {l_0}\quad ( 2)\]Dividierst du die Gleichung \((1)\) durch Gleichung \((2)\), so ergibt sich\[\frac{R}{l} = \frac{{N \cdot {R_0}}}{{N \cdot {l_0}}} = \frac{{{R_0}}}{{{l_0}}} \Rightarrow \frac{R}{l} = {\rm{const.}}\]Der Quotient aus \({{R_0}}\) und \({{l_0}}\) ist eine Konstante, so dass der Quotient von \(R\) und \(l\) ebenfalls konstant ist. Dies ist aber gerade das Kennzeichen der Proportionalität zwischen \(R\) undund \(l\). Es folgt also\[R \sim l\]bei festem Material und fester Querschnittsfläche.

Abhängigkeit des Widerstandes vom Flächeninhalt \(A\) der Querschnittsfläche

2 Abhängigkeit des Widerstandes eines Drahtes von dessen Querschnittsfläche

Du denkst dir einen Drahtwiderstand mit der Querschnittsfläche \(A\)), der festen Länge \(l\) und mit dem Widerstandswert \(R\). Diesen Drahtwiderstand teilst du nun der Länge nach in \(N\) Stücke mit jeweils gleicher Querschnittsfläche \(A_0\) auf, von denen jedes den Widerstand \(R_0\) und die Querschnittsfläche \(A_0\) hat. In der Animation ist \(N = 4\).

Die Anordnung der kleinen Widerstandsstückchen ist eine Parallelschaltung. Es gilt also \[R = \frac{1}{N} \cdot {R_0}\quad (3)\]Außerdem siehst du, dass\[A = N \cdot {A_0}\quad (4)\]Multiplizierst du die Gleichung \((3)\) mit Gleichung \((4)\), so ergibt sich\[R \cdot A = \frac{1}{N} \cdot {R_0} \cdot N \cdot {A_0} = {R_0} \cdot {A_0} \Rightarrow R \cdot A = {\rm{const}}.\]Das Produkt aus \({{R_0}}\) und \({{A_0}}\) ist eine Konstante, so dass das Produkt von \(R\) und \(A\) ebenfalls konstant ist. Dies ist aber gerade das Kennzeichen der indirekten Proportionalität zwischen \(R\) und \(A\). Es folgt also\[R \sim \frac{1}{A}\]bei festem Material und fester Länge.

Kombination beider Erkenntnisse

Die beiden durch Gedankenexperimente gewonnenen Beziehungen kann man nun zu einer Proportionalität zusammenfassen:\[R \sim l \cdot \frac{1}{A} = \frac{l}{A}\]Durch Einführung der Proportionalitätskonstanten \(\rho \) erhält man dann\[R = \rho \cdot \frac{l}{A}\]

Für genauere Betrachtungen am Stromkreis muss man berücksichtigen, dass Stromquellen einen Innenwiderstand besitzen. Man kann sich die reale Stromquelle als Hintereinanderschaltung von widerstandsfreier Stromquelle mit konstanter Spannung und ihrem Innenwiderstand denken.

Gute Akkus haben sehr kleine Innnenwiderstände, schlecht geladene Akkus oder auch länger benutzte Monozellen haben dagegen höhere Innenwiderstände. Sie eignen sich besonders gut für den folgenden Versuch.

Aufbau und Durchführung

Bevor der Lastwiderstand (Schiebewiderstand) an die Quelle angeschlossen wird misst man die Leerlaufspannung \(U_0\) (dies ist auch die Klemmenspannung für den Fall, dass \(I = 0\rm{A}\) ist).

Nun schließt man den Schiebewiderstand an und untersucht, wie die Klemmenspannung \({U_{{\rm{Kl}}}}\) mit zunehmender Belastung kleiner wird.

Beobachtung

Klemmenspannung \({U_{{\rm{Kl}}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(5,3\) \(4,9\) \(4,5\) \(3,5\) \(2,5\)
Stromstärke \(I\;{\rm{in}}\;{\rm{A}} \) \(0\) \(0,12\) \(0,30\) \(0,60\) \(0,80\)

Auswertung

  1. Drücke die Klemmenspannung durch die Leerlaufspannung, die Stromstärke und den Innenwiderstand der Quelle allgemein aus.

  2. Zeichne mit obigen Messwerten ein \(I\)-\({U_{{\rm{Kl}}}}\)-Diagramm und ermittle mit Hilfe des Diagramms den Innenwiderstand der Quelle und den Kurzschlussstrom \(I_{\rm{Ku}}\).

Es wird untersucht, wie sich der Strom I durch verschiedene Leiter verändert, wenn man die an dem Leiter liegende Spannung U variiert. Die Leiter wurden so ausgewählt, dass man während der Aufnahme der Kennlinien, den Messbereich des Strom- und Spannungsmessers nicht ändern musste.



Kennlinienaufnahme des wassergekühlten Eisendrahtes


Spannungsrichtige Messung


Kennlinienaufnahme des Kohlestifts

In der folgenden Tabelle sind die Messergebnisse zusammengestellt:

U in V
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
10,0
 
I in A
0,00
1,60
3,20
4,90
6,50
8,30
 
 
 
 
 
Konstantandraht (Durchmesser 0,9 mm)
0,00
0,80
1,60
2,40
3,25
4,05
4,80
5,55
6,40
7,10
7,85
Konstantandraht (Durchmesser 0,5 mm)
0,00
0,50
1,00
1,40
1,70
1,90
2,05
2,25
2,40
2,50
2,55
Eisendraht an Luft (Durchmesser 0,45mm)
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
3,90
4,30
4,65
Eisendraht in Wasser (Durchmesser 0,45 mm)
0,00
0,50
1,10
1,90
2,75
3,60
4,50
5,80
7,20
9,00
 
Kohlestift (Bleistiftmine)

Aufgabe

Oben wurde das Versuchsergebnis in einem U-I-Diagramm dargestellt, da die unabhängige Variable bei diesem Versuch die elektrische Spannung war.
Oft sieht man die Kennlinien in einem I-U-Diagramm dargestellt. Woran erkennt man in diesem Diagramm sehr einfach, ob der Widerstandswert eines Leiters zu bzw. abnimmt?

Lösung

Im I-U-Diagramm stellt die Steigung der Kennlinie den Widerstandswert dar. Nimmt die "Steilheit" der Kennlinie in diesem Diagramm zu (ab), so nimmt auch der Widerstandswert zu (ab).

Die Zunahme des Widerstandswertes des ungekühlten Eisendrahtes bei steigendem Strom kann auch durch das anschauliche Teilchenmodell erklärt werden. Im Teilchenmodell bewegen sich die Atomrümpfe bei steigender Temperatur stärker hin und her. Erläutere mithilfe dieses Modells, warum der Widerstandswert des ungekühlten Drahtes bei steigendem Strom größer wird. 

Lösung

Bei steigendem Strom stoßen mehr Elektronen mit den Atomrümpfen im Leiter. Daher erwärmt sich der Leiter bei steigendem Strom. Bei steigender Temperatur nimmt jedoch die ungeordnete thermische Bewegung der Atomrümpfe zu und behindert so die Passage der Elektronen noch stärker. Der Widerstandswert des ungekühlten Leiters steigt.

Es liegt die Vermutung nahe, dass der Widerstand eines Drahtes von seinen Geometrie-Größen Länge und Querschnitt abhängen wird. Aber auch das Material des Drahtes wird für den Widerstandswert eine Rolle spielen. Die folgende Seite zeigt dir, wie die Zusammenhänge experimentell untersucht werden können, aber auch eine theoretische Annäherung an das Problem wird dargestellt.

Abhängigkeit des Widerstands eines Drahtes von seiner Länge

Um die Abhängigkeit des Widerstandswertes von der Drahtlänge zu untersuchen wählen wir die spannungsrichtige Schaltung. Hierbei macht man bei der Strommessung zwar einen kleinen Fehler, dieser fällt jedoch nicht ins Gewicht, da der Hauptteil des Stromes durch den niederohmigen Draht fließt und nur ein zu vernachlässigender Anteil durch den hochohmigen Spannungsmesser.

Schaltbild Versuchsaufbau spezifischer Widerstand 

Bei dem verwendeten Chrom-Nickel-Draht mit \({A = 0,20{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}\) ergaben sich bei der Variation der Drahtlänge die folgenden Messwerte:

Drahtlänge \({l\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}}\) \(0,25\) \(0,50\) \(0,75\) \(1,00\)
Stromstärke \(I\;{\rm{in}}\;{\rm{A}}\) \(1,0\) \(1,0\) \(1,0\) \(1,0\)
Spannung \(U{\rm{\;in\;V}}\) \(1,3\) \(2,7\) \(4,0\) \(5,3\)

Ergänze die Tabelle so, dass man die direkte Proportionalität zwischen Widerstandswert und Drahtlänge unmittelbar sieht.

Abhängigkeit des Widerstands eines Drahtes von seiner Querschnittsfläche

Um die Abhängigkeit des Widerstandswertes von der Querschnittsfläche zu untersuchen wählen wir wiederum die spannungsrichtige Schaltung. Auf einem Brett befinden sich mehrere Drähte (Widerstandsbrett) gleicher Länge, aber verschiedener Querschnittsfläche aus Konstantan.

Schaltbild Versuchsaufbau spezifischer Widerstand 

Bei dem verwendeten Konstantan-Draht mit \(l = 1,00{\rm{m}}\) ergaben sich bei der Variation der Querschnittsfläche die folgenden Messwerte:

Querschnittsfläche \({A\;{\rm{in}}\;{\rm{mm^2}}}\) \(0,10\) \(0,20\) \(0,35\) \(0,40\)
Stromstärke \(I\;{\rm{in}}\;{\rm{A}}\) \(0,27\) \(0,54\) \(0,76\) \(1,0\)
Spannung \(U{\rm{\;in\;V}}\) \(1,5\) \(1,5\) \(1,5\) \(1,5\)

Berechne aus den obigen Versuchsdaten den spezifischen Widerstand der drei Materialien in \(\frac{{\Omega \cdot {\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}}{{\rm{m}}}\;{\rm{bzw}}{\rm{.}}\;\;\Omega \cdot {\rm{m}}\).

Die Längen- und Querschnittsabhängigkeit des Widerstandswertes eines Drahtes können nun zusammengefasst werden:

Aus \(R \sim l\) (bei gleichem Material und gleicher Querschnittsfläche) und \(R \sim \frac{1}{A}\) (bei gleichem Material und gleicher Drahtlänge) kann man schließen \(R \sim \frac{l}{A}\).

Um von der Proportionalitätsaussage zu einer Gleichung zu gelangen, führt man eine Proportionalitätskonstante \(\rho \) (gesprochen: "rho"), den sogenannten spezifischen Widerstand ein, in deren Größe auch die Eigenschafteen des verwendeten Drahtmaterials einfließen. Damit ergibt sich
\[R = \rho \cdot \frac{l}{A}\]
Für die Einheit des spezifischen Widerstandes \(\rho \) erhält man wegen \(R = \rho  \cdot \frac{l}{A} \Leftrightarrow \rho  = \frac{{R \cdot A}}{l}\): \(\left[ \rho  \right] = \frac{{\Omega  \cdot {\rm{m}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{m}}}\).

In einem dritten Versuch wird der Widerstand von Drähten gleicher Länge (\(l = 1,00{\rm{m}}\)) und Querschnittsfläche (\({A = 0,20{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}\)), aber aus unterschiedlichen Materialien untersucht:

Material Konstantan Chrom-Nickel Messing
Stromstärke \(I\;{\rm{in}}\;{\rm{A}}\) \(0,54\) \(0,50\) \(0,10\)
Spannung \(U{\rm{\;in\;V}}\) \(1,5\) \(2,7\) \(0,70\)

Berechne die spezifischen Widerstände von Konstantan, Chrom-Nickel und Messing aus den Werten in der Tabelle.

Zu Schluss noch die spezifischen Widerstände einiger ausgesuchter Materialien:

Material Silber Kupfer Aluminium Stahl Konstantan Kohle Porzellan
spezifischer Widerstand \(\rho \;{\rm{in}}\;\frac{{\Omega  \cdot {\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}}{{\rm{m}}}\) \(0,016\) \(0,017\) \(0,028\) \(0,13\) \(0,50\) \(40\) \(5 \cdot {10^{18}}\)
Dichte \(\rho \;{\rm{in}}\;\frac{g}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}}}\) \(10,5\) \(8,9\) \(2,7\) \(7,8\) \(8,8\) \(2,2\) \(2,4\)
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