Magnetisches Feld - Spule

Elektrizitätslehre

Magnetisches Feld - Spule

  • Gibt es um Hochspannungsleitungen Felder?
  • Was versteht man unter der „Rechte- bzw. linke-Faust-Regel“?
  • Wie verhindert man Spannungsstöße beim Einschalten?
  • Wofür benötigt man Spulen?
Abbildung 1: Rechte-Faust-Regel zur Bestimmung der Richtung des Magnetfeldes um einen stromdurchflossenen geraden Leiter.

Die "Recht-Faust-Regel" gestattet es, aus der Richtung des technischen Stromflusses in einem Leiter auf die Richtung des Magnetfeldes zu schließen, welches den Leiter umgibt:

Wenn der abgespreizte Daumen der rechten Hand in die technische Stromrichtung zeigt, so gibt die Richtung der anderen Finger die Richtung des Magnetfeldes an.

Hinweis: Die Fließrichtung der Leitungselektronen ist entgegen der technischen Stromrichtung. Um aus dieser Richtung auf die Magnetfeldrichtung schließen zu können, verwendet man entsprechend die "Linke-Faust-Regel": Wenn der abgespreizte Daumen der linken Hand in die Fließrichtung der Leitungselektronen zeigt, so gibt die Richtung der anderen Finger die Richtung des Magnetfeldes an.

Das Magnetfeld im Inneren einer langgestreckten Zylinderspule ist weitgehend homogen.

Die Orientierung des Feldes kann bei bekannter Stromrichtung mit der Rechten-Faust-Regel ermittelt werden.

Für die magnetische Flussdichte \(B\) im Inneren einer langgestreckten luftgefüllten Zylinderspule gilt\[B = {\mu _0} \cdot \frac{{I \cdot N}}{l}\quad {\rm{oder}}\quad B = {\mu _0} \cdot I \cdot n\]Dabei ist \(I\) die Stromstärke, \(N\) die Windungszahl, \(l\) die Spulenlänge, \(n = \frac{N}{l}\) die Windungsdichte und \(\mu _0\) die Magnetische Feldkonstante mit\[{\mu _0} = 4,0 \cdot \pi \cdot {10^{ - 7}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{m}}}} \approx 1,26 \cdot {10^{ - 6}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{m}}}}\]

Zur Verstärkung des Magnetfeldes einer Spule bringt man häufig geeignetes Material (z. B. ferromagnetische Stoffe) in das Spuleninnere. Die dadurch bedingte Verstärkung des Magnetfelds berücksichtigt man bei obiger Formel mit einem dimensionslosen Faktor, der relativen Permeabilität \(\mu_{\rm{r}}\). Damit erhält man\[B = {\mu _r} \cdot {\mu _0} \cdot \frac{{I \cdot N}}{l}\quad {\rm{oder}} = {\mu _r} \cdot {\mu _0} \cdot I \cdot n\]Die folgende Tabelle zeigt die relative Permeabilität einiger Ferromagnetika. Dabei ist Mumetall ist eine Eisen-Nickel-Legierung mit extrem hoher Permeabilität. Es wird u.a. zur weitgehenden Abschirmung von Magnetfeldern benutzt.

Material Nickel Eisen Trafoblech Mumetall
\(\mu_{\rm{r}}\) bis \(1000\) bis \(5000\) bis \(75000\) bis \(140000\)

Ist eine luftgefüllte Spule nicht langgestreckt, d.h. ist die Spulenlänge \(l\) nicht wesentlich größer als der Spulenradius \(r\), so gilt\[B = {\mu _0} \cdot \frac{{I \cdot N}}{l} \cdot \frac{1}{{\sqrt {1 + 4 \cdot {{\left( {\frac{r}{l}} \right)}^2}} }}\]Die obige Formel geht für \({\frac{r}{l} \to 0}\) in die Formel für die langgestreckte Spule über.

Wichtiger Hinweis: Dieses Thema ist erst Inhalt in den höheren Jahrgängen.

Analog zum Fall der Bestimmung des Energieinhalts des Elektrischen Feldes in einem Kondensator über den Abbau des Elektrischen Feldes soll der Energieinhalt des Magnetfelds einer Spule über den Abbau des Magnetfelds bestimmt werden.

Zu einer Spule mit Eisenkern wird eine Glühlampe parallel geschaltet. Wird der Schalter geschlossen, so fließen unterschiedlich große End-Ströme durch die Parallelzweige (je nach dem wie die ohmschen Widerstände der Spule und des Lämpchens gewählt wurden). Das Lämpchen leuchte in einer mittleren Helligkeit.

Öffnet man den Schalter, so ist nur noch ein Kreisstrom in den parallel geschalteten Elementen möglich. D.h. der Strom durch Spule und Lämpchen ist vom Betrag her gleich. Im Experiment beobachtet man, dass das Lämpchen kurzzeitig sehr hell aufleuchtet. Die Energie, welche nach Schalteröffnung das Lämpchen zum Leuchten bringt muss aus dem Magnetfeld der Spule stammen. Nach dem Abschalten der äußeren Stromquelle übernimmt die Spule allein die Rolle der Stromquelle. Solange Strom fließt, ist die elektrische Leistung dieser Quelle: \[{P_{el}} = {U_{ind}}\left( t \right) \cdot I\left( t \right)\;\]
Mit \({U_{ind}}\left( t \right)=-L \cdot \frac{{dI(t)}}{{dt}}\) folgt daraus
\[{P_{el}}=-L \cdot \frac{{dI(t)}}{{dt}} \cdot I\left( t \right)\]
Bezeichnet man die magnetische Energie der Spule vor dem Abschalten mit \({E_{mag,0}}\) und mit \(E(t)\) die Energie, welche das System Spule nach außen abgibt (hier vornehmlich an die Glühlampe), so gilt aufgrund des Energieerhaltungssatzes für den zeitlichen Verlauf der magnetischen Energie \({E_{mag}}(t)\):
\[{E_{mag}}(t) = {E_{mag,0}} - E(t)\quad (2)\]
Differenziert man die Gleichung (2) nach der Zeit, so folgt:
\[\frac{{d{E_{mag}}\left( t \right)}}{{dt}} = - \frac{{dE\left( t \right)}}{{dt}}\]
Hinweis: Die zeitliche Ableitung der Konstanten \({E_{mag,0}}\) ist Null.
Die zeitliche Ableitung von \(E(t)\) ist aber gerade die elektrische Leistung wie sie in Gleichung (1) dargestellt ist. Somit gilt:
\[\frac{{d{E_{mag}}\left( t \right)}}{{dt}} = L\frac{{dI\left( t \right)}}{{dt}} \cdot I\left( t \right)\quad \left( 3 \right)\]
Um die Beziehung für \({E_{mag}}(t)\) zu erhalten muss man nach einer Funktion suchen, deren zeitliche Ableitung die rechte Seite von Gleichung (3) ergibt. Die folgende Beziehung erfüllt diese Bedingung:
\[{E_{mag}}\left( t \right) = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot L \cdot {I^2}\left( t \right)\]
Hinweise:
  • An sich wäre dem Ausdruck von \({E_{mag}}(t)\) noch eine zeitunabhängige Konstante hinzuzufügen. Da aber für \(I = 0\) auch \({E_{mag}}(t)=0\) gilt, ist der Wert der Konstanten ebenfalls Null.
  • Wenn Sie die eingerahmte Lösung überprüfen wollen, müssen Sie diese nach der Zeit differenzieren, um (3) zu erhalten. Beachten Sie hierbei das "Nachdifferenzieren".
Gegenüberstellung von elektrischer Energie eines Kondensators und magnetischer Energie einer Spule
Die elektrische Feldenergie eines Kondensators ist durch dessen Kapazität \(C\) und durch das Quadrat der am Kondensator anliegenden Spannung \(U\) bestimmt: \[{E_{elektr}}\left( t \right) = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot C \cdot {U^2}\left( t \right)\] Die magnetische Feldenergie einer Spule ist durch deren Induktivität \(L\) und durch das Quadrat des durch die Spule fließenden Stroms \(I\) bestimmt: \[{E_{mag}}\left( t \right) = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot L \cdot {I^2}\left( t \right)\]

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