Kraft auf Stromleiter - E-motor

Elektrizitätslehre

Kraft auf Stromleiter - E-motor

  • Wie lautet die „UVW- oder Dreifingerregel“?
  • Wie ist ein Elektromotor aufgebaut?
  • Wie funktioniert eine Magnetschwebebahn?

Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld, so erfährt er im allgemeinen eine Kraft (Ausnahme: Stromrichtung und Magnetfeldrichtung sind parallel oder antiparallel).

Die Wirkung dieser Kraft ist am größten, wenn Stromrichtung und Magnetfeldrichtung einen Winkel von \(90^\circ \) bilden. In diesem Fall steht die wirkende Kraft senkrecht auf der durch die technische Stromrichtung und der Magnetfeldrichtung aufgespannten Ebene. Zur Ermittlung der Kraftrichtung kann man drei Finger der rechten Hand verwenden:

UVW-Regel der rechten Hand

Ursache für das Phänomen ist der Strom; Der Daumen der rechten Hand zeigt in die technische Stromrichtung (von + nach -).

Vermittlung bei diesem Prozess ist das Magnetfeld; Der Zeigefinger der rechten Hand zeigt in Magnetfeldrichtung (von N nach S).

Wirkung ist bei diesem Prozess die Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter; Der Mittelfinger der rechten Hand gibt die Kraftrichtung an.

Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld, so erfährt er im allgemeinen eine Kraft.

a) Stromrichtung senkrecht zur Magnetfeldrichtung

Die folgenden Animationen zeigen die Richtung der Kraft bei verschiedenen Stromrichtungen. Würde man bei den Versuchen jeweils die Magnetfeldrichtung umkehren, so würde sich auch die Richtung der Kraft auf den beweglichen Leiter umkehren. Im linken Bild würde sich dann der Leiter nach rechts, im rechten Bild nach links bewegen.

b) Stromrichtung parallel oder antiparallel zur Magnetfeldrichtung

Die nebenstehende Animation zeigt, dass in diesem Fall keine Kraftwirkung auftritt.

c) Stromrichtung schräg zur Magnetfeldrichtung (nur für Experten)

Bilden Stromrichtung und Magnetfeldrichtung einen Winkel der Weite \(0<\varphi <90^\circ\), so wirkt auf den Strom zwar weiterhin eine Kraft. Ihr Betrag ist allerdings kleiner als im Fall, in dem Stromrichtung und Magnetfeldrichtung parallel oder antiparallel zueinander stehen.

Für den Betrag der magnetischen Kraft gillt allgemein\[{F_{\rm{m}}} = B \cdot {I_{\rm{L}}} \cdot l \cdot \sin \left( \varphi \right)\]Für \(\varphi = 90^\circ \) (Fall a)) erhält man wegen \(\sin \left( {90^\circ } \right) = 1\)\[{F_{\rm{m}}} = B \cdot {I_{\rm{L}}} \cdot l \]Für \(\varphi = 0^\circ \) (Fall b)) erhält man wegen \(\sin \left( {0^\circ } \right) = 0\)\[{F_{\rm{m}}} = 0 \]Du siehst also, dass die obige Formel auch die oben skizzierten Sonderfälle richtig beschreibt.

Hinweis: Durch den Versuch mit der Stromwaage wurde zunächst nur der Betrag der Flussdichte \(B\) eingeführt. War der stromdurchflossene Leiter senkrecht zum Magnetfeld orientiert, so galt\[B = \frac{{{F_m}}}{{{I_L} \cdot l}}\quad \quad \left[ B \right] = 1\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{m}}}} = 1\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{m}}}}{{{\rm{A}} \cdot {{\rm{m}}^2}}} = 1\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{A}} \cdot {{\rm{m}}^2}}} = 1\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{A}} \cdot {{\rm{m}}^2}}} = 1\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^2}}} = 1{\rm{T(Tesla)}}\]Für allgemeinere Betrachtungen geht man jedoch vom Vektor der Flussdichte \(\vec B\) aus. Die Richtung von \(\vec B\) ist durch die Richtung der magnetischen Feldlinien festgelegt.

Ein stromdurchflossener Leiter erfährt im Magnetfeld eine Kraft (sofern die Stromrichtung nicht parallel zur Feldrichtung ist). Die Richtung dieser Kraft können Sie mit der UVW-Regel der rechten Hand ermitteln (vgl. entsprechende Grundwissensseite).

Das obige Versuchsergebnis soll nun noch auf eine andere Weise interpretiert werden. Vielleicht denken Sie sich, dass ihnen eine Versuchsdeutung bereits ausreicht. Sie werden aber sehen, dass diese neue Deutung allgemeiner und somit leistungsfähiger ist.

Es kommt nur zur Auslenkung der Leiterschaukel, wenn im Kreis ein Strom festzustellen ist. Strom bedeutet in der "mikroskopischen Vorstellung" das Fließen von Ladungen. Hier setzt nun die Umdeutung des obigen Versuches an:

Wenn die Lampe leuchtet so bewegen sich z.B. negative Ladungsträger vom Minus- zum Pluspol, d.h. bei dem im Magnetfeld befindlichen Leiterstück von vorne nach hinten (in die Zeichenebene). Die senkrecht zum Magnetfeld bewegten Ladungsträger erfahren nun eine Kraft nach links und "ziehen das Leiterstück mit" in dem sie sich bewegen, das Leiterstück geht nach links.

Die Kraft auf das Leiterstück ist also die Summe der vielen kleinen Kräfte die jeweils auf die bewegten Ladungsträger im Magnetfeld wirken. Man nennt die Kraft auf bewegte Ladungsträger im Magnetfeld nach ihrem Entdecker H. A. Lorentz: Lorentzkraft

Geht man davon aus, dass der Strom durch positive Ladungsträger bewirkt wird (diese müssten dann vom Pluspol zum Minuspol, also aus der Zeichenebene heraus fließen), so müssen diese positiven Ladungsträger auch eine Lorentzkraft nach links erfahren, um das Versuchsergebnis zu erklären.

Um die Richtung der Lorentzkraft zu ermitteln arbeitet man zweckmäßig mit zwei UVW-Regeln:

UVW-Regel der linken Hand für negative Ladungsträger
UVW-Regel der rechten Hand für positive Ladungsträger

Mit Hilfe dieser neuen UVW-Regeln kann man nun auch die Kraftrichtung auf freie Ladungsträger ermitteln, die nicht in einen Leiter "eingesperrt" sind. Vergleichen Sie hierzu die Deutung der Versuchsergebnisse beim Fadenstrahlrohr.

Schon in einer vorangegangenen Jahrgangsstufe hast du erfahren, dass die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld letztlich durch die Kraft auf die im Leiter "eingesperrten", sich bei Stromfluss bewegenden Ladungsträger zu erklären ist. Die auf die im Magnetfeld bewegten Ladungsträger wirkende Kraft heißt Magnetische Kraft, für die zugehörige Formel erhält man
\[{F_m} = B \cdot {I_L} \cdot \Delta l\]
Für den Strom kann man auch den Quotienten aus der im Leiterstück der Länge Δl befindlichen freien Ladung ΔQ und der Zeitspanne Δt schreiben
\[{F_m} = B \cdot \frac{{\Delta Q}}{{\Delta t}} \cdot \Delta l\quad \left( 1 \right)\]
Für die durch die Testfläche in der Zeit Δt geflossene Ladung ΔQ lässt sich auch schreiben:
\[\Delta Q = N \cdot e\quad \left( 2 \right)\]
Setzt man (2) in (1) und sortiert die Größen etwas um, so erhält man
\[{F_m} = B \cdot N \cdot e \cdot \frac{{\Delta l}}{{\Delta t}}\quad \left( 3 \right)\]
Der Quotient aus Δl und Δt ist die als konstant angenommene Geschwindigkeit v der Ladungsträger. Somit kann man für (3) auch schreiben:
\[{F_m} = B \cdot N \cdot e \cdot v\]
Fm stellt die gesamte Kraft auf alle N Ladungsträger im betrachteten Leiterabschnitt dar. Für die Kraft auf einen Ladungsträger, die man als Lorentzkraft bezeichnet erhält man dann:
\[{F_{lor}} = \frac{{{F_m}}}{N}\quad \Rightarrow \quad {F_{lor}} = e \cdot B \cdot v\]
Die für die freien Elektronen in einem Leiter (Leitungselektronen) hergeleitete Beziehung lässt sich für jede beliebige Ladung der Stärke q, die sich senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes der Flussdichte B mit der Geschwindigkeit v bewegt, verallgemeinern:
\[{{F_{\rm{L}}} = q \cdot B \cdot v\;für\;\vec v \bot \vec B}\]
Wie du aus der Mittelstufe bereits weisst, steht der Vektor der Lorentzkraft senkrecht auf der durch den Geschwindigkeitsvektor und dem Vektor der Flussdichte aufgespannten Ebene.

Hinweise

  • Weil der Vektor der Lorentzkraft stets senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor steht, also stets senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt, bleibt der Geschwindigkeitsbetrag des geladenen Teilchen konstant. Allerdings ändert sich durch den Einfluss der Lorentzkraft die Bewegungsrichtung.
  • Im homogenen Magnetfeld ist die Flussdichte B überall gleich groß. Bei konstanter Ladung, Geschwindigkeit und Flussdichte (siehe obige Formel für Flor) bleibt daher der Betrag der Lorentzkraft konstant.
  • Als Folge einer Kraft deren Betrag konstant und deren Richtung stets senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung ist, ergibt sich als Teilchenbahn eine Kreisbahn. Dabei stellt die Lorentzkraft die für die Kreisbewegung erforderliche Zentripetalkraft dar.
  • Mechanisches Analogon: Kugel an Faden, welche auf einer Kreisbahn herumgeschleudert wird. Die Zentripetalkraft wird durch die Kraft aufgebracht, welche der Faden auf die Kugel ausübt.
  • Bewegt sich ein geladenes Teilchen nicht senkrecht, sondern unter einem Winkel α zur Richtung der Feldlinien, so gilt für die Lorentzkraft \[{F_{lor}} = q \cdot B \cdot v \cdot \sin \alpha \]Aus obiger Beziehung ist zu erkennen, dass bei der Bewegung geladener Teilchen parallel zu den Magnetfeldlinien (α = 0°) keine Lorentzkraft auftritt.

Ursprünglich verwandte man zur Festlegung der Stromstärkeeinheit die elektrolytische Wirkung des Stromes:

Im Jahre 1881 legte man fest, dass genau dann der konstante Strom von \(1\rm{A}\) fließt, wenn aus einer Lösung von Silbernitrat in Wasser in einer Sekunde genau \(1,118\rm{mg}\) Silber an der negativen Elektrode abgeschieden wird.

Diese Festlegung des Stromnormals hielt den immer höher werdenden Genauigkeitsansprüchen nicht mehr Stand, darüber hinaus war die elektrolytische Festlegung des Ampere nicht sehr praktikabel.

Im Jahre 1948 einigte man sich dann auf die noch heute gültige Amperedefinition, welche auf die magnetische Wirkung des elektrischen Stromes zurückgeht:

Die Einheit 1 Ampere ist die Stärke eines zeitlich unveränderlichen elektrischen Stromes, der, durch zwei im Vakuum parallel im Abstand 1 Meter voneinander angeordnete, geradlinige unendlich lange Leiter von vernachlässigbar kleinem Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je ein Meter Leiterlänge elektrodynamisch die Kraft 2·10-7 Newton hervorrufen würde.

In der Praxis hat man keine unendlich langen Leiter und auch die in der Definition genannte Kraft ist extrem klein. Zur Darstellung des Normals verwendet man daher andere Leiteranordnungen und steckt eine komplizierte Theorie in die Auswertung. Aber auch mit dem neuen Stromstärkenormal ist man inzwischen nicht mehr ganz zufrieden. Das Ampere ist inzwischen von den Basisgrößen das ungenaueste Normal.

Aus der Ampere-Definition kann man nun den Wert der magnetischen Feldkonstante \({\mu _0}\) bestimmen.

Der rechte stromdurchflossene Leiter befindet sich im Magnetfeld des linken Leiters. Dadurch erfährt der rechte Leiter eine Kraft vom Betrag \({F_{\rm{m}}}\) nach links.

Für das Magnetfeld des linken Leiters gilt nach dem Gesetz von BIOT-SAVART\[B = {\mu _0} \cdot \frac{I}{{2 \cdot \pi \cdot r}}\quad \left( 1 \right)\]Für den Kraftbetrag \({F_{\rm{m}}}\) auf den rechten Leiter gilt\[{F_{\rm{m}}} = B \cdot I \cdot l\quad\left( 2 \right)\]Setzt man (1) in (2), so folgt\[{{F_{\rm{m}}} = {\mu _0} \cdot \frac{I}{{2 \cdot \pi  \cdot r}} \cdot I \cdot l \Leftrightarrow {\mu _0} = \frac{{{F_{\rm{m}}} \cdot 2 \cdot \pi  \cdot r}}{{{I^2} \cdot l}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{\mu _0} = \frac{{2,0 \cdot {{10}^{ - 7}}{\rm{N}} \cdot 2 \cdot \pi  \cdot 1,0{\rm{m}}}}{{{{\left( {1,0{\rm{A}}} \right)}^2} \cdot 1,0{\rm{m}}}} = 4,0 \cdot \pi  \cdot {{10}^{ - 7}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{A}}^2} \cdot {\rm{m}}}}}\]

Druckversion