Komplexere Schaltkreise

Elektrizitätslehre

Komplexere Schaltkreise

  • Warum werden Steckdosen parallel geschaltet?
  • Wie sind die Lampen einer Lichterkette angeordnet?
  • Wie erweitert man den Messbereich von Messgeräten?
1 Ein Elektronik-Baukasten in deinem Computer. Baue Schaltungen mit Batterien, Glühbirnen, Schaltern und Widerständen auf. Miss Spannungen und Stromstärken
  • Zunächst kann bei dem schönen Applet von Walter Fendt die Batteriespannung eingegeben werden.
  • Dann wird der Wert des hinzuzufügenden Widerstands eingegeben und ausgewählt, ob er parallel oder seriell geschaltet werden soll.
  • Mit gedrückter Maustaste kann ein Bereich der Schaltung ausgewählt werden, von dem dann unten die anliegende Spannung, der durchfließende Strom und der Ersatzwiderstand angegeben wird.
  • Außerdem kann man in das selektierte Element auch noch den Spannungs- und Strommesser einbauen.

Widerstandsakrobatik

Stelle mit dem Simulationsprogramm die nebenstehende Schaltung her.

Bestimme den Gesamtwiderstand und den Gesamtstrom mit Hilfe des Simulationsprogramms.

Berechne - ohne Programm - den Gesamtwiderstand und den Gesamtstrom.

Bestimme mit Hilfe des Simulationsprogramms die Spannung am Widerstand R1 und den Strom durch diesen Widerstand.

 

Ungewohntes Schaltungsbild

Stelle mit dem Simulationsprogramm die nebenstehende Schaltung her.

Bestimme den Gesamtwiderstand und den Gesamtstrom mit Hilfe des Simulationsprogramms.

Welche Spannung liegt an R3? Lösung mit dem Simulationsprogramm!

 
  
  
 
  
©  W. Fendt 2006
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation einer Potentiometerschaltung

Die Potentiometerschaltung bietet eine einfache Möglichkeit, einen veränderbaren elektrischen Widerstand zu realisieren.

Diese Simulation demonstriert eine Potentiometerschltung und erlaubt es, den Verlauf der an einem Potentiometer abgegriffenen Spannung zu verfolgen. Wichtigster Teil der Schaltung ist ein Schiebewiderstand (im einfachsten Fall ein Draht, dessen Widerstand nicht vernachlässigbar ist) mit einem verschiebbaren Schleifkontakt. Dieser Schleifkontakt zerlegt den Schiebewiderstand in zwei Einzelwiderstände, deren Werte mit Hilfe einer Längenskala leicht zu bestimmen sind.

In der Simulation kann man dazu wahlweise die Maus oder den Schieberegler der Schaltfläche verwenden. Die Spannungsquelle (violett) ist unterhalb des Schiebewiderstands abgebildet. Die Werte für die Gesamtspannung, den Gesamtwiderstand des Potentiometers (Schiebewiderstand) und des Belastungswiderstands (Verbraucherwiderstand) können vorgewählt werden ("Enter"-Taste nicht vergessen!).

Mit Hilfe der Optionsfelder links unten kann man sich für die einzelnen Teile der Schaltung die Werte von Spannung und Stromstärke anzeigen lassen. Dabei ist zu beachten, dass aufgrund von Rundungsfehlern kleine Abweichungen möglich sind.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Verständnisaufgabe

Betrachte den Verlauf des \(l\)-\(U_{\rm{V}}\)-Diagramms einmal für die voreingestellten Werte und dann für die Fälle in denen der Verbraucherwiderstand deutlich kleiner ist als der des Schiebewiderstands (z.B. Schiebewiderstand \(100\Omega \), Verbraucherwiderstand \(10\Omega \)).

Lösung

Eigene Lösung

Etwas komplizierter als beim unbelasteten Spannungsteiler liegen die Verhältnisse, wenn der Spannungsteiler durch einen Widerstand R* belastet wird. In diesem Fall stellt sich - insbesondere wenn R* klein gegen R1 ist - kein linearer Spannungsverlauf ein.

Beispiel einer Messung:

l in cm
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
U* in V
0
0,20
0,30
0,50
0,65
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
2,00
  • Beim belasteten Spannungsteiler besteht kein linearer Zusammenhang zwischen der abgegriffenen Drahtlänge l und der Spannung U*.
  • Wenn du an der (nicht einfachen) theoretischen Behandlung des belasteten Spannungsteilers interessiert bist, so arbeite die folgende Musteraufgabe durch.
  • Von Herrn Fendt gibt es überdies noch eine sehr schöne Simulation zu diesem Problem.

 

Knotenregel:

Trotz Variation der Widerstände R1, R2, R3 und R4 bleibt immer:


I1 = I2 + I3,4

allgemein:

In einem Verzweigungspunkt ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme.

Maschenregel:


1. Weg: U16 = U12(=0) + U23 + U35 + U56(=0);

2. Weg: U16 = U12(=0) + U23 + U34 + U45 + U56(=0);

allgemein:

Verfolgt man den Stromweg von einem Pol der Stromquelle zum anderen, so ist die Summe der Teilspannungen gleich der Spannung der Quelle.
 

Heiko Hauenstein hat auf der Seite der Uni-Bayreuth unter anderem zwei sehr gut gemachte Online-Experimente in Flash erstellt, bei denen man Serien- und Parallelschaltung von Widerständen "durchmessen" kann.

Serienschaltung

Im ersten Online-Experiment werden zwei Widerstände, die man sich aus einer Bauteile-Liste mit der Maus in die Schaltung einbauen kann, in Serie geschaltet.

Nach Anschalten des Netzgerätes, dessen Spannung variiert werden kann und dem Einschalten der Multimeter (richtigen Messbereich einstellen!) lassen sich Gesamtstrom und Teilspannungen bestimmen.

Durch Klick auf das Tintenfass werden die Messwerte protokolliert.

Führe einige Versuche durch, lasse sie protokollieren und überprüfe an Hand der Messwerte

  • die Maschenregel
  • die Formel für den Ersatzwiderstand bei der Serienschaltung zweier Widerstände

Parallelschaltung

Im zweiten Online-Experiment kann man die Parallelschaltung zweier Widerstände näher untersuchen.

Die Bedienung der Geräte ist analog zum ersten Online-Experiment.

Führe einige Versuche durch, lasse sie protokollieren und überprüfe an Hand der Messwerte

  • die Knotenregel
  • die Formel für den Ersatzwiderstand bei der Parallelschaltung zweier Widerstände

Ein Messinstrument mit Vollausschlag 2,000mA und Innenwiderstand 50,00Ω kann maximal die Spannung Ui = 0,1000V anzeigen. Um den Messbereich zu erweitern (z.B. auf 10,00V) muss man dafür sorgen, dass ein Teil der zu messenden Spannung (im Beispiel 10,00V - 0,1000V = 9,900V) an einem Vorwiderstand Rv abfällt.

Im nebenstehenden Bild soll der Messbereich des schwarzen Gerätes (Vollausschlag 0,1000V) auf 10,00V erweitert werden. Dazu wird mit einem einstellbaren Widerstand der Vorwiderstand auf den berechneten Wert Rv (vgl. Aufgabe) eingestellt. Um den Erfolg der Maßnahme zu kontrollieren, wird parallel zum neu entstandenen Spannungsmesser (bestehend aus schwarzem Gerät und Vorwiderstand) ein Spannungsmesser (grau) geschaltet, der bereits den 10,00V-Bereich besitzt.

Aufgabe

Berechne den Vorwiderstand für das oben beschriebene Messgerät so, dass es einen Messbereich von 0V - 10,00V hat.

Gegeben ist ein Messinstrument mit Vollausschlag Im = 2,00mA und Innenwiderstand Rm = 50,0Ω. Es soll durch externe Beschaltung mit einem Widerstand so verändert werden, dass der Messbereich zwischen 0 und 50,0mA liegt.
Die Lösungsidee ist, einen Stromweg parallel zum Messinstrument zu öffnen (vgl. Bypass bei Artierenverengung), in dem die "überschüssigen" 50,0mA - 2,00mA = 48,0mA vorbeigeleitet werden. Der Widerstand des zusätzlichen Stromweges kann wie folgt berechnet werden:

Am ursprünglichen Messgerät (im Foto schwarz) fällt die Spannung Um = Rm · Im ab. Dies sind in dem Beispiel 0,10V. Diese Spannung liegt auch an dem parallel zu schaltenden (Shunt-)Widerstand Rs, durch den der Strom 48,0mA fließen soll. Nun kann Rs berechnet werden:

\[{R_{\rm{s}}} = \frac{{{U_{\rm{m}}}}}{{{I_{\rm{s}}}}}\quad \Rightarrow \quad {R_{\rm{s}}} = \frac{{{R_{\rm{m}}} \cdot {I_{\rm{m}}}}}{{{I_{\rm{s}}}}}\quad \Rightarrow \quad {R_{\rm{s}}} = \frac{{50,0 \cdot 2,00 \cdot {{10}^{ - 3}}}}{{48,0 \cdot {{10}^{ - 3}}}}\frac{{\Omega \cdot {\rm{A}}}}{{\rm{A}}} = 2,08\Omega \]

Hinweise:

  • Zur Überprüfung der erfolgreichen Bereichserweiterung, dient das (rote) Kontrollgerät.
  • Der Widerstand R (z.B. 50,0Ω) dient als Strombegrenzer in dem ansonsten sehr niederohmigen Kreis.

Aufgabe

Der Parallelwiderstand (Shuntwiderstand) \(R_{\rm{S}}\) soll durch einen Chrom-Nickel-Draht vom Durchmesser \(1,0\rm{mm}\) hergestellt werden.

Berechne die Länge des Drahtes, wenn der spezifische Widerstand von Chrom-Nickel \(1,1\frac{{\Omega \cdot {\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}}{{\rm{m}}}\) ist.

Aufgabe

Zeige allgemein, dass für eine Vergrößerung des Strommessbereiches um den Faktor \(n\), der Shuntwiderstand den Wert
\[{R_{\rm{S}}} = \frac{{{R_{\rm{M}}}}}{{{\rm{n}} - 1}}\]
haben muss.

  
  
 
  
  
©  W. Fendt 2006
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation einer WHEATSTONE'schen Brückenschaltung
Charles WHEATSTONE (1802 - 1875); von Samuel Laurence [Public domain], via Wikimedia Commons

Die nach dem britischen Physiker Charles WHEATSTONE (1802 - 1875) benannte WHEATSTONE'sche Brückenschaltung bietet eine einfache Möglichkeit, einen elektrischen Widerstand sehr präzise zu bestimmen. Bei dieser Methode verwendet man einen möglichst genau bekannten Vergleichswiderstand. Es ist dabei nicht nötig, Spannung und Stromstärke zu messen. Dies liegt in ersten Linie daran, dass es sich um eine sogenannte Abgleich-Methode handelt, bei der ein Strommesser benutzt werden kann, der extrem empfindlich ist. Im oder in der Nähe des Abgleichfalls treten nämlich nur sehr niedrige Ströme auf.

Diese Simulation stellt eine Wheatstone-Brücke dar. Der gesuchte Widerstand befindet sich in der Mitte oben, der Vergleichswiderstand rechts daneben. Wichtigster Teil der Schaltung ist ein Schiebewiderstand (im einfachsten Fall ein Draht, dessen Widerstand nicht vernachlässigbar ist) mit einem verschiebbaren Schleifkontakt. Dieser Schleifkontakt zerlegt den Schiebewiderstand in zwei Einzelwiderstände, deren Werte mit Hilfe einer Längenskala leicht zu bestimmen sind. Die Spannungsquelle (blau) ist unterhalb des Schiebewiderstands abgebildet. Der unbekannte Widerstand erhält seinen Wert durch den Zufallsgenerator. Die anderen Widerstände sowie die Gesamtspannung lassen sich – in gewissen Grenzen – in der Schaltfläche auf der linken Seite einstellen ("Enter"-Taste nicht vergessen!).

Beim Durchführen der Messung muss der Schleifkontakt so verschoben werden, dass das angeschlossene Messgerät (rot) die Stromstärke 0 anzeigt. In der Simulation kann man dazu wahlweise die Maus oder den Schieberegler der Schaltfläche verwenden. Ist der Schleifkontakt in der richtigen Position, so bewirkt ein Mausklick auf den unteren Schaltknopf, dass der unbekannte Widerstand berechnet wird. Um eine neue Messung mit einem anderen Widerstand durchzuführen, muss man den entsprechenden Schaltknopf links oben betätigen.

Mit Hilfe der Optionsfelder links unten kann man sich für die einzelnen Teile der Schaltung die Werte von Spannung und Stromstärke anzeigen lassen und so die Gültigkeit der KIRCHHOFF'schen Regeln überprüfen. Dabei ist zu beachten, dass aufgrund von Rundungsfehlern kleine Abweichungen möglich sind.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Mit einem Spannungsteiler kann man Spannungen bereitstellen, deren Wert zwischen dem Wert U0 einer vorgegebenen Quelle und nahezu 0 V liegt.

Spannungsteiler mit diskreten Widerständen

Bei einer Serienschaltung von zwei diskreten Widerständen R1 und R2 teilt sich die Gesamtspannung U0 im Verhältnis der Widerstandswerte auf.

Nach der Maschenregel gilt\[{U_0} = {U_1} + {U_2}\quad \left( 1 \right)\]Da beide Widerstände vom gleichen Strom I durchflossen werden, kann man schreiben\[{U_0} = I \cdot {R_1} + I \cdot {R_2}\quad \left( 2 \right)\]Vergleicht man (1) mit (2), so stellt man für das Verhältnis der Spannungen fest\[\frac{{{U_1}}}{{{U_2}}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}\]Durch die Auswahl der Widerstandswerte kann auf diese Weise die Spannung U0 beliebig aufgeteilt und somit z.B. an R1 jede Spannung zwischen 0V und U0 abgegriffen werden.

Spannungsteiler mit einem Widerstandsdraht

Verwendet man anstelle der beiden diskreten Widerstände einen Widerstandsdraht mit einem verschiebbaren Abgriff, so können die Teilspannungen stufenlos variiert werden.

Bei Anschluss eines hochohmigen Voltmeters zwischen den Punkten A und K ergaben sich z.B. die folgenden Ergebnisse:

l  in cm
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
U in V
0
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
3 Aufbau, Durchführung und Beobachtung des Versuchs mit einem Spannungsteiler mit Widerstandsdraht

Fährt man mit dem Schleifkontakt K von A nach E, so stellt man am Spannungsmesser einen linearen Spannungsanstieg fest. Greift man mit K z.B. bei der halben Drahtlänge ab, so zeigt das Voltmeter auch die halbe Gesamtspannung.

Hinweis: Bei dem in der Animation in Abb. 3 dargestellten Aufbau kommt man mit K nicht direkt an die Punkte A und E.

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