Komplexere Schaltkreise

Elektrizitätslehre

Komplexere Schaltkreise

  • Warum werden Steckdosen parallel geschaltet?
  • Wie sind die Lampen einer Lichterkette angeordnet?
  • Wie erweitert man den Messbereich von Messgeräten?

Die nach ihrem Entdecker Gustav Robert KIRCHHOFF benannten Gesetze für Stromkreise werden am untenstehenden Beispiel entwickelt. Sie gelten natürlich für alle Widerstandsnetzwerke.

1 Anwendung der KIRCHHOFFschen Knotenregel in einem Schaltkreis

1. Regel von KIRCHHOFF: Knotenregel

In jedem Verzweigungspunkt eines Stromkreises ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme:\[ I_{1} = I_{2} + I_{3} \]

Multipliziert man die Gleichung mit der Zeit \(t\), so kommt man zum Satz über die Ladungserhaltung:\[ Q_{1} = Q_{2} + Q_{3} \]Damit kann man die KIRCHHOFFsche Knotenregel auch so interpretieren:

"Im Stromkreis gibt es keine Quellen und Senken für die elektrische Ladung".

2 Anwendung der KIRCHHOFFschen Maschenregel in einem Schaltkreis

2. Regel von KIRCHHOFF: Maschenregel

Verfolgt man einen Stromweg (im Beispiel: entweder "blauer Weg" oder "lila Weg") von dem einen Pol zum anderen Pol, so ist die Summe der Teilspannungen gleich der Spannung der Quelle:\[U = U_1 + U_2\;\rm{oder}\;U = U_1 + U_3 + U_4\]

Auch hinter der Maschenregel steckt wieder ein Erhaltungssatz. Multipliziert man die Spannung mit der Ladung \(Q\), die durch den Kreis transportiert wird, so erhält man eine Arbeit, z.B.\[Q \cdot U = Q \cdot U_1 + Q \cdot U_2\]Damit kann man die KIRCHHOFFsche Maschenregel auch so interpretieren:

"Die Energie, welche die Ladung \(Q\) in der Spannungsquelle erhält, ist gleich den Energien, welche sie auf einem Weg ("blau" oder "lila") zum anderen Pol bei den Widerständen verliert."

3 Analogie zu den KIRCHHOFFschen Gesetzen im Wassermodell

Die Aussagen der Knoten- und der Maschenregel kann man sich am entsprechenden Wassermodell klarmachen:

An jedem Verzweigungspunkt der Leitung fließen genau so viele Wasserteilchen fort wie ankommen, es gehen keine Wasserteilchen verloren und es kommen keine zusätzlichen Wasserteilchen hinzu.

Wasserteilchen bekommen durch die Wasserpumpe potenzielle Energie, die sie auf einem Weg über die Turbinen wieder verlieren. Egal, ob die Wasserteilchen den linken Weg oder den rechten Weg gehen, sie verlieren immer den gleichen Betrag an potenzieller Energie.

Will man Stromstärke bzw. Spannung in einem elektrischen Stromkreis wissen, so baut man Strom- bzw. Spannungsmesser ein.

Messung von Stromstärken

1 Anschluss eines Strommessers zur Bestimmung der Stromstärke, die an einer Stelle durch einen Stromkreis fließt

Will man die Stromstärke an einer bestimmten Stelle (z.B. Stelle 1) eines Stromkreises wissen, so trennt man den Stromkreis an dieser Stelle auf und baut den Strommesser in den Kreis (Serienschaltung).

Hinweis: Damit der Strom durch den Einbau des Strommessers nur wenig verfälscht wird, muss der Innenwiderstand des Strommessers vernachlässigbar klein sein.

Messung von Spannungen

2 Anschluss eines Spannungsmessers zur Bestimmung der Spannung, die eine elektrische Quelle liefert

Will man die Spannung wissen, die eine elektrische Quelle liefert oder die über einem Widerstand abfällt, so schaltet man den Spannungsmesser an das Element (Parallelschaltung).

Hinweis: Damit möglichst wenig Strom durch den parallelgeschalteten Spannungsmesser abgezweigt wird, muss der Innenwiderstand des Spannungsmessers möglichst hoch sein.

3 Anschluss eines Spannungsmessers zur Bestimmung der Spannung, die über einem Widerstand abfällt
Verständnisaufgabe

In rechts abgebildeten Stromkreis soll die Stromstärke \(I_0\) der aus der Quelle fließt und die Stromstärke \(I_3\) durch die Lampe \(\rm{L}_3\) gemessen werden.

Außerdem soll die Spannung \(U_1\), die über der Lampe \(\rm{L}_1\) abfällt, festgestellt werden.

Gib eine richtige Schaltung an.

Lösung

Unterschiedliche Leiter besitzen in der Regel unterschiedliche Kennlinien.

 

 


 
Links die U-I-Kennlinie
Die U-I-Kennlinie (Rechswertachse: U; Hochwertachse: I) erhält man dann, wenn die Spannung als unabhängige Größe eingestellt und der Strom als davon abhängige Größe gemessen wird.
 
Rechts die I-U-Kennlinie
Bei der I-U-Kennlinie ist nun die Rechtswertachse mit dem Strom I belegt. Bei ihr ergibt sich der Widerstand direkt aus der Geradensteigung bzw. aus der Steigung der Tangente an die Kennlinie.

Bei Leitern, die als Kennlinie eine Ursprungsgerade besitzen, bei denen also Strom und Spannung zueinander proportional sind, gilt das ohmsche Gesetz.

\[U \sim I\quad {\rm{oder}}\quad \frac{U}{I} = {\rm{const}}{\rm{.}}\]

Drähte aus dem Material Konstantan erfüllen diese Voraussetzung sehr gut, sie sind daher sog. Ohmsche Widerstände. Einfache Metalldrähte erfüllen die Voraussetzungen hingegen häufig nur in einem eng begrenzten Spannungs- bzw. Strombereich. Grund dafür ist ihre Erwärmung bei Stromfluss. Sie sind daher keine idealen Ohmschen Widerstände. Wenn du einen Metalldraht jedoch durch Kühlung auf konstanter Temperatur hältst, so erfüllt auch er das Gesetz von Ohm sehr gut.

Achtung

\(\frac{U}{I} = R\) ist nicht das Gesetz von Ohm!

Es ist vielmehr die Definition des Widerstandes. Nach dieser Definition kann in jedem Punkt - auch einer gebogenen - Kennlinie der Widerstandswert berechnet werden.
Nur wenn dieser Wert längs der Kurve stets den gleichen Wert hat (dies ist bei einer Ursprungsgerade der Fall) gilt das ohmsche Gesetz! Aus dem I-U-Diagramm kann der Widerstandswert R über die Steigung ermittelt werden.

Aufgabe

I-U-Kennlinie Verständnisaufgabe
Abb.
1
Gegeben sind die nebenstehenden I-U-Kennlinien, welche im Ursprung des Koordinatensystems die gleiche Steigung besitzen.
Gegeben sind die nebenstehenden \(I\)-\(U\)-Kennlinien, welche im Ursprung des Koordinatensystems die gleiche Steigung besitzen.

a) Skizziere qualitativ den Verlauf der Kennlinien im \(I\)-\(R\)-Diagramm.

Lösung

I-U-Kennlinie Verständnisaufgabe Loesung
Abb.
2
a) Für \(I=0\) ist die Steigung der beiden Kennlinien im \(I\)-\(U\)-Diagramm annähernd gleich, also haben die beiden Leiter dort auch den gleichen Widerstand.

Bei Leiter 1 bleibt die Steigung der \(I\)-\(U\)-Kennlinie konstant, also hat auch der Widerstand einen von \(I\) unabhängigen konstanten Wert.

Bei Leiter 2 nimmt die Steigung der Kennlinie im \(I\)-\(U\)-Diagramm zu, also muss auch der Widerstandswert mit zunehmendem \(I\) wachsen.

b) Berechne den Widerstandswert des Konstantandrahtes (1).

Lösung

Für den Widerstand des Leiters 1 gilt
\[R = \frac{U}{I} \Rightarrow R = \frac{{2,0\rm{V}}}{{1,0\rm{A}}} = 2,0\Omega \]

c) Der Konstantandraht (1) und der Eisendraht (2) werden nun hintereinander (in Serie) an eine Stromquelle angeschlossen. Diese wird so eingestellt, dass ein Strom von \(1,0\rm{A}\) fließt. Berechne die Spannung an der Stromquelle.

Lösung

I-U-Kennlinie Verständnisaufgabe Loesung Stromquelle
Abb.
3
c) Damit in der Serienschaltung der Strom \(1,0\rm{A}\) fließt, muss am Konstantandraht die Spannung \(2,0\mathrm{V}\) und am Eisendraht die Spannung \(3,5\mathrm{V}\) anliegen. Insgesamt muss die Stromquelle also die Spannung
\[ U = 2,0\mathrm{V} + 3,5\mathrm{V} = 5,5\mathrm{V} \]
haben.

In umfangreichen Schaltungen mit Widerständen stößt man immer auf die zwei fundamentalen Kombinationen von Widerständen, die Reihenschaltung und die Parallelschaltung. Wenn man nun weiß, wie man den Ersatzwiderstand von Widerständen, die in Reihe bzw. parallel geschaltet sind, berechnet, so ist man in der Lage auch in komplexen Anordnungen sämtliche Teilströme und Teilspannungen zu bestimmen.

Reihenschaltung

1

R12 ist Ersatzwiderstand der Reihenschaltung von R1 und R2, da von der Spannungsquelle aus gesehen der gleiche Strom aus der Quelle fließt.

Zur Berechnung des Ersatzwiderstandes R12 geht man vom gemeinsamen Strom der durch die Widerstände fließt und von der Maschenregel aus:

Für die linke Schaltung besagt die Maschenregel\[\begin{array}{l}U = {U_1} + {U_2}\quad \Rightarrow \quad U = I \cdot {R_1} + I \cdot {R_2}\quad \Rightarrow \\U = I \cdot \left( {{R_1} + {R_2}} \right)\quad \Rightarrow \quad \frac{U}{I} = {R_1} + {R_2}\quad \left( 1 \right)\end{array}\]Für die Ersatzschaltung gilt\[U = I \cdot {R_{12}}\quad \Rightarrow \quad \frac{U}{I} = {R_{12}}\quad \left( 2 \right)\]Der Vergleich von (1) und (2) ergibt\[{R_{12}} = {R_1} + {R_2}\]Für die Reihenschaltung von n Widerständen gilt:

\[{R_{ersatz}} = {R_1} + {R_2} + \;.\;.\;. + {R_n}\]

Merke: Der Wert des Ersatzwiderstands einer Reihenschaltung ist stets größer als der Wert des höchsten Einzelwiderstands.

Parallelschaltung

3 Zielsetzung bei der Berechnung des Ersatzwiderstandes einer Parallelschaltung zweier Widerstände

R12 ist Ersatzwiderstand der Parallelschaltung von R1 und R2, da von der Spannungsquelle aus gesehen der gleiche Strom aus der Quelle fließt.

Zur Berechnung des Ersatzwiderstandes R12 geht man von der gemeinsamen Spannung die an beiden Widerständen liegt und von der Knotenregel aus:

Für die linke Schaltung besagt die Knotenregel:\[\begin{array}{l}I = {I_1} + {I_2}\quad \Rightarrow \quad I = \frac{U}{{{R_1}}} + \frac{U}{{{R_2}}}\quad \Rightarrow \\I = U \cdot \left( {\frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}} \right)\quad \Rightarrow \quad \frac{I}{U} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\quad \left( 1 \right)\end{array}\]Für die Ersatzschaltung gilt\[U = I \cdot {R_{12}}\quad \Rightarrow \quad \frac{U}{I} = {R_{12}}\quad \Rightarrow \quad \frac{I}{U} = \frac{1}{{{R_{12}}}}\quad \left( 2 \right)\]Der Vergleich von (1) und (2) ergibt\[\frac{1}{{{R_{12}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\]

Für die Parallelschaltung von n Widerständen gilt:

\[\frac{1}{{{R_{ersatz}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \;.\;.\;. + \frac{1}{{{R_n}}}\]

Merke: Der Wert des Ersatzwiderstands einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der Wert des niedrigsten Einzelwiderstands.

Wenn der Ersatzwiderstand bei Parallel- und Serienschaltung bekannt ist, kann man auch an die Berechnung komplexer Schaltungen gehen. Die Aufgabenstellung könnte z.B. so aussehen:

Aufgabe

Berechne bei gegebener Spannung \(U=10\rm{V}\) und bekannten Werten für die drei Widerstände (\({R_1} = 100\Omega \), \({R_2} = 200\Omega \), \({R_3} = 50\Omega \)) alle Ströme und alle Teilspannungen.

2 Vorgehensweise bei der Berechnung einer Schaltung mit drei Widerständen

Wir zeigen dir nun, wie wie man schrittweise vorgeht, um diese Aufgabe zu lösen. Die grundlegende Strategie siehst du in der Animation in Abb. 2: Zuerst berechnet man den Ersatzwiderstand der Parallelschaltung der beiden Widerstände, dann den Ersatzwiderstand der Reihenschaltung des Widerstands mit dem Ersatzwiderstand.

Zunächst wird der Ersatzwiderstand \({{R_{23}}}\) der Parallelschaltung der beiden Widerstände \({{R_2}}\) und \({{R_3}}\) bestimmt:\[{\frac{1}{{{R_{23}}}} = \frac{1}{{{R_2}}} + \frac{1}{{{R_3}}} = \frac{{{R_3}}}{{{R_2} \cdot {R_3}}} + \frac{{{R_2}}}{{{R_3} \cdot {R_2}}} = \frac{{{R_3} + {R_2}}}{{{R_2} \cdot {R_3}}} \Rightarrow {R_{23}} = \frac{{{R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}}}\]

 

Danach wird der Ersatzwiderstand \({R_{123}}\) für die Serienschaltung von \({{R_1}}\) und \({{R_{23}}}\) bestimmt:\[ R_{123} = R_{1} + R_{23} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert für \({R_{123}}\)
\[{R_{123}} = {R_1} + \frac{{{R_2} \cdot {R_3}}}{{{R_2} + {R_3}}} \Rightarrow {R_{123}} = 100\Omega  + \frac{{200\Omega  \cdot 50\Omega }}{{200\Omega  + 50\Omega }} = 100\Omega  + 40\Omega  = 140\Omega \]
Damit ergibt sich für \(I_1\)
\[{I_1} = \frac{U}{{{R_{123}}}} \Rightarrow {I_1} = \frac{{10{\rm{V}}}}{{140\Omega }} = 71{\rm{mA}}\]

 

Weiter ergibt sich für \(U_1\)
\[{{\rm{U}}_1} = {I_1} \cdot {R_1} \Rightarrow {{\rm{U}}_1} = 71 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{A}} \cdot 100\Omega  = 7,1{\rm{V}}\]

 

Da die beiden Widerstände \({{R_2}}\) und \({{R_3}}\) parallel geschaltet sind, ist die Spannung, die an ihnen anliegt gleich. Damit ergibt sich nach der Maschenregel
\[{U_2} = {U_3} = U - {U_1} \Rightarrow {U_2} = {U_3} = 10{\rm{V}} - 7,1{\rm{V}} = 2,9{\rm{V}}\]
Weiter ergibt sich für die Ströme \(I_2\) und \(I_3\)
\[{I_2} = \frac{{{U_2}}}{{{R_2}}} \Rightarrow {I_2} = \frac{{2,9{\rm{V}}}}{{200\Omega }} = 15{\rm{mA}}\]
und schließlich aufgrund der Knotenregel
\[{I_3} = {I_1} - {I_2} \Rightarrow {I_3} = 71{\rm{mA}} - 15{\rm{mA}} = 56{\rm{mA}}\]

1 Bedeutung des physikalischen Begriffs eines Knotens

Zum in der Animation in Abb. 1 skizzierten Knotenpunkt in einer Schaltung laufen mehrere Leitungen. Vereinbahrt man, dass die zum Knoten hinfließenden Ströme positiv und die vom Knoten wegfließenden Ströme negativ gezählt werden, so gilt in dem Beispiel\[{I_1} + {I_2} + {I_3} - {I_4} - {I_5} = 0\]Die Verallgemeinerung der Knotenregel lautet dann

1. Regel von KIRCHHOFF: Knotenregel

In jedem Verzweigungspunkt (Knoten) eines Stromkreises ist die Summe aller (mit Vorzeichen angegebener) Ströme gleich Null.\[{I_1} + {I_2} + {I_3} + ... + {I_n} = 0\]

Bei einfacheren Stromkreisen (Mittelstufe) mit nur einer Spannungsquelle wurde die Maschenregel in der folgenden Form formuliert:

Die Spannung der Quelle ist gleich der Summe der Teilspannungen auf einem Weg vom Pluspol zum Minuspol der Quelle

Bei komplexeren Netzwerken mit mehreren Quellen und Widerständen und evtuell mehreren Maschen (eine Masche oder auch Stromschleife besteht i.a. aus mehreren elektrischen Bauteilen und Spannungsquellen, die so angeordnet sind, dass sich ein geschlossener Stromkreis ergibt) hat es - ähnlich wie mit den Strömen bei der Knotenregel - bewährt, nicht mehr nur von positiven Spannungen auszugehen.

Zunächst soll der die Änderung der potententiellen Einergie einer positiven Ladung \(q\) beim Durchwandern des nebenstehend skizzierten Kreises von Punkt A aus betrachtet werden:

Im Widerstand \(R_1\) verliert die Ladung die potentielle Energie \(\Delta {E_{\rm{pot,1}}} = q \cdot {U_1}\), analog geht beim Durchwandern des Widerstandes \(R_2\) die potentielle Energie \(\Delta {E_{\rm{pot,2}}} = q \cdot {U_2}\) verloren. Beim Durchlaufen der Spannungsquelle gewinnt die Ladung die potentielle Energie \(\Delta {E_{\rm{pot,bat}}} = q \cdot {U_{\rm{bat}}}\). Bei Wiederankunft im Punkt A hat die Ladung wieder die gleiche potentielle Energie wie zu Beginn des Durchlaufs. Fachmännischer ausgedrückt sagt man: "Die Ladung ist wieder auf dem gleichen Potential".

 

Das oben Gesagte wird durch die folgende Gleichung ausgedrückt:
\[q \cdot {U_1} + q \cdot {U_2} + q \cdot {U_{\rm{bat}}} = 0\]
Dividiert man diese Gleichung durch \(q\), so erhält man: \({U_1} + {U_2} + {U_{\rm{bat}}} = 0\). Diese Gleichung lässt sich nur erfüllen, wenn man für die Spannung positive und negative Werte zulässt.

Die Maschenregel von KIRCHHOFF lässt sich allgemein in der Form schreiben:

2. Regel von KIRCHHOFF: Maschenregel

Beim Durchlaufen einer Masche in einem willkürlich gewählten Durchlaufsinn ist die Summe aller (mit Vorzeichen angegebener) Spannungen gleich Null.
\[{U_1} + {U_2} + {U_3} + ... + {U_n} = 0\]

 

Wie man mit den KIRCHHOFFschen Regeln bei komplexen Stromkreisen sicher umgehen kann, wird an zwei Beispielen erläutert.

Beispiel 1: Stromkreis mit einer Masche

Um die technische Stromrichtung in der skizzierten Schaltung vorhersagen zu können, müsste man die Beträge der Batteriespannungen kennen. Für eine allgemeine Rechnung kann man die Richtung des Stromes einfach willkürlich festlegen; meist gibt man jedoch die technische Stromrichtung "von Plus nach Minus" vor. Ergibt sich bei der Rechnung ein positiver Wert für den Strom \(I\), so fließt der Strom in Pfeilrichtung. Ergibt sich ein negativer Stromwert, so fließt der Strom entgegen der gewählten Pfeilrichtung. Alle Spannungspfeile, die in Durchlaufrichtung zeigen, werden positiv gezählt. Spannungspfeile, die entgegen den Durchlaufsinn zeigen, werden negativ gezählt. Wir stellen hier drei verschiedene Ansätze vor, die aber alle zum gleichen Ergebnis führen.

gegeben: \(\left| {{U_{{\rm{bat}}{\rm{,1}}}}} \right| = 12{\rm{V}}\), \(\left| {{U_{{\rm{bat}}{\rm{,2}}}}} \right| = 9{\rm{V}}\), \({R_1} = 3\Omega \), \({R_2} = 8\Omega \) und \({R_3} = 4\Omega \)

gesucht: \(I\)

Ansatz 1: Allgemeine Berechnung des Stroms mit Hilfe der rechts dargestellten Pfeilwahl

Wir wenden die Maschenregel an:
\[\begin{eqnarray} - \left| {{U_{{\rm{bat}}{\rm{,1}}}}} \right| + {U_1} + \left| {{U_{{\rm{bat}}{\rm{,2}}}}} \right| + {U_2} + {U_3} &=& 0\\ - 12{\rm{V}} + I \cdot 3\Omega + 9{\rm{V}} + I \cdot 8\Omega + I \cdot 4\Omega &=& 0\\I \cdot \left( {3\Omega + 8\Omega + 4\Omega } \right) &=& 12{\rm{V}} - 9{\rm{V}}\\I &=& \frac{{12{\rm{V}} - 9{\rm{V}}}}{{3\Omega + 8\Omega + 4\Omega }} = \frac{{3{\rm{V}}}}{{15\Omega }} = 0,2{\rm{A}}\end{eqnarray}\]
Um zu zeigen, dass weder die Wahl der Stromrichtung noch die des Druchlaufsinns einen Einfluss auf das Ergebnis hat, werden noch zwei weitere Ansätze durchgeführt.

 

 

Verständnisaufgabe

Aufgabe: Stromkreis mit drei Maschen

Gegeben ist die nebenstehende Schaltung mit den Daten \(\left| {{U_{{\rm{bat,1}}}}} \right| = 10,8{\rm{V}}\), \(\left| {{U_{{\rm{bat,2}}}}} \right| = 3,2{\rm{V}}\), \({R_1} = 6,0\Omega \), \({R_2} = 8,0\Omega \) und \({R_3} = 4,0\Omega \).

Verdeutliche in der obigen Schaltskizze, dass die Schaltung 3 Maschen und 2 Knoten aufweist.

Lösung

Die 3 grünen Bögen deuten die 3 Maschen an:

1. Masche mit \({U_{{\rm{bat,1}}}}\), \(R_1\) und \(R_2\)

2. Masche mit \({U_{{\rm{bat,2}}}}\), \(R_3\) und \(R_2\)

3. Masche mit \({U_{{\rm{bat,1}}}}\), \({U_{{\rm{bat,2}}}}\), \(R_1\) und \(R_3\)

Die 2 schwarzen Kreise mit den Ziffern deuten die 2 Knoten an.

Berechne aus den gegeben Daten die Stromstärken \(I\), \(I_2\) und \(I_3\).

Lösung

Zur Berechnung der 3 unbekannten Stromstärken sind 3 Gleichungen notwendig:

1. Gleichung aus der Kontenregel für Knoten 1 (man könnte auch Knoten 2 nehmen):
\[ + I - {I_2} - {I_3} = 0 \quad (1)\]
2. Gleichung aus der Maschenregel für Masche 1
\[ - \left| {{U_{{\rm{bat,1}}}}} \right| + {U_1} + {U_2} = 0 \Leftrightarrow  - \left| {{U_{{\rm{bat,1}}}}} \right| + I \cdot {R_1} + {I_2} \cdot {R_2} = 0\quad (2)\]
3. Gleichung aus der Maschenregel für Masche 2
\[\left| {{U_{{\rm{bat,2}}}}} \right| + {U_3} - {U_2} = 0 \Leftrightarrow \left| {{U_{{\rm{bat,2}}}}} \right| + {I_3} \cdot {R_3} - {I_2} \cdot {R_2} = 0\quad (3)\]
Damit nicht zu "voluminöse Ausdrücke" entstehen, sollen von nun an die gegebenen Zahlenwerte eingesetzt werden:
\[\begin{eqnarray}I - {I_2} - {I_3} &=& 0\quad(1)\\ - 10,8{\rm{V}} + I \cdot 6,0\Omega + {I_2} \cdot 8,0\Omega &=& 0\quad(2)\\3,2{\rm{V}} + {I_3} \cdot 4,0\Omega - {I_2} \cdot 8,0\Omega &=& 0\quad(3)\end{eqnarray}\]
Lösen dieses Linearen Gleichungssystems für die 3 Unbekannten \(I\), \(I_2\) und \(I_3\) z.B. mit dem Eliminationsverfahren von GAUSS liefert \(I = 1,0A\), \({I_2} = 0,60{\rm{A}}\) und \({I_3} = 0,40{\rm{A}}\)

Berechne die Spannungen, die über den Widerständen \(R_1\), \(R_2\) und \(R_3\) anliegen.

Lösung

Nach dem Gesetz von OHM ergibt sich
\[{U_1} = {R_1} \cdot I \Rightarrow {U_1} = 6,0\Omega \cdot 1,0{\rm{A}} = 6,0{\rm{V}}\]
\[{U_2} = {R_2} \cdot {I_2} \Rightarrow {U_2} = 8,0\Omega \cdot 0,6{\rm{A}} = 4,8{\rm{V}}\]
\[{U_3} = {R_3} \cdot {I_3} \Rightarrow {U_3} = 4,0\Omega \cdot 0,4{\rm{A}} = 1,6{\rm{V}}\]

Zusammenstellung wichtiger Beziehungen der Elektrizitätslehre

Phänomene

Beziehungen

Grafik

Ladung und Strom

\[\begin{array}{l}{\rm{Strom}}\quad \quad I\quad \quad \quad \quad \quad {\rm{Einheit}}:\;\;\left[ I \right] = 1{\rm{A}}\\{\rm{Ladung}}\quad {\rm{ }}Q\quad \quad \quad \quad \quad {\rm{Einheit:}}\;\;\left[ Q \right] = 1{\rm{As}} = 1{\rm{C}}\\\\\quad \quad \quad {\rm{Zusammenhang: }}\Delta Q = I \cdot \Delta t\end{array}\]

Definition des Widerstandes
\[\begin{array}{l}\quad R: = \frac{U}{I}\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{Einheit}}:\;\left[ R \right] = 1\Omega \\{\rm{weitere}}\;{\rm{Formen:}}\\U = R \cdot I\quad {\rm{und}}\quad I = \frac{U}{R}\end{array}\]

nicht "gymnasial"
Gesetz von Ohm

\( U \sim I \)

oder

\(R\) = konstant, unabhängig von \(I\)

Knotenregel
Summe der zum Knoten hinfließenden Ströme ist gleich der Summe der vom Knoten wegfließende Ströme
Maschenregel

Summe der Teilspannungen ist gleich der Gesamtspannung

z.B. \( U = U_{1} + U_{2} \) oder

\( U = U_{1} + U_{3} + U_{4} \)

Wichtige Details

Spannungsteilung:

\[\frac{{{U_1}}}{{{U_2}}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}}\]

Stromteilung:

\[\frac{{{I_1}}}{{{I_2}}} = \frac{{{R_2}}}{{{R_1}}}\]

 

Ersatzwiderstand bei

Serienschaltung

\[R = {R_1} + {R_2} + \;.\;.\;. + {R_n}\]

Ersatzwiderstand bei

Parallelschaltung

\[\frac{1}{{{R}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} + \;.\;.\;. + \frac{1}{{{R_n}}}\]

Elektrische Arbeit

und

Leistung

\[\begin{array}{l}{W_{el}} = U \cdot I \cdot t\\\quad \;\;\;\left[ {{W_{el}}} \right] = 1{\rm{J}} = 1{\rm{Ws}}\\\\\quad \quad \quad {P_{el}} = U \cdot I\\\quad \;\;\;\left[ {{P_{el}}} \right] = 1{\rm{W}} = 1\frac{{\rm{J}}}{{\rm{s}}}\end{array}\]

Spezifischer Widerstand

 


\[R = \frac{{\rho \cdot l}}{A}\quad \quad \left[ \rho \right] = \Omega \cdot \frac{{{\rm{m}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{m}}}\]

 

 

Innenwiderstand

von Stromquellen


Klemmenspannung:
\[{U_{kl}} = {U_0} - I \cdot {R_i}\]

Kurzschlussstrom:
\[{I_{\max }} = \frac{{{U_0}}}{{{R_i}}}\]


Druckversion