Elektromagnetische Induktion

Elektrizitätslehre

Elektromagnetische Induktion

  • Wie funktioniert ein Elektromotor?
  • Wie erzeugt ein Dynamo elektrischen Strom?
  • Was bewirkt eine Spule?
1 Entstehung eines elektrischen Feldes bei der Bewegung eines Stabs in einem homogenen Magnetfeld (Erklärung durch LORENTZ-Kraft)

Ein Metalldraht ist elektrisch neutral, d.h. die positiven und die negativen Ladungen halten sich die Waage. Im Mittel gibt jedes Metallatom ein Elektron ab, das sich im Metall frei bewegen kann. Die zurückbleibenden positiven Atomrümpfe (bzw. Ionenrümpfe) sind dagegen ortsfest.

Wird der Leiter senkrecht zu den Feldlinien eines homogenen Magnetfeldes bewegt, erfahren die im Leiter mitbewegten Ladungen eine Lorentzkraft. Als Folge davon werden die beweglichen Elektronen im nebenstehenden Beispiel nach unten verschoben, es kommt längs des Leiters zu einer Verschiebung der Ladungsschwerpunkte (Überschuss an positiven Ladungen oben, Überschuss an negativen Ladungen unten).

Die Ladungsverschiebung bewirkt das Auftreten einer elektrischen Kraft (z.B. auf ein Elektron in der Leitermitte), die umso stärker ist, je mehr Ladungen getrennt wurden.

Im stationären Fall, d.h. bei Bewegung des Leiters mit konstanter Geschwindigkeit, halten sich die Lorentzkraft und die elektrische Kraft auf ein Elektron die Waage. Es gilt
\[{{F_{{\rm{el}}}} = {F_{\rm{L}}} \Leftrightarrow e \cdot E = e \cdot v \cdot B\quad(1)}\]
Verknüpft mit dem als homogen angenommenen elektrischen Feld E, welches längs des Leiters der Länge l wirkt, ist eine Spannung, die Induktionsspannung Uind:
\[E = \frac{{{U_{ind}}}}{l}\quad (2)\]
Setzt man (2) in (1) ein, so erhält man
\[{U_{ind}} = l \cdot v \cdot B\]
Wie du später noch erfahren wirst, bedingt das Gesetz von LENZ, dass man in der letzten Formel ein Minuszeichen einführt, so dass gilt
\[{U_{ind}} = - l \cdot v \cdot B\]

Anstelle eines geraden Leiterstücks soll nun ein rechteckiger Leiterrahmen (Spule mit Windungszahl N = 1) in der skizzierten Weise durch das Magnetfeld bewegt werden. Das Auftreten einer Spannung an den Leiterenden kannst du mit Hilfe der LORENTZ-Kraft verstehen.

2 Entstehung einer Induktionsspannung bei der Bewegung einer Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld (Erklärung durch LORENTZ-Kraft)

Ausgehend von der oben abgeleiteten Formel für die Induktionsspannung soll der in der Animation dargestellte Vorgang unter einem anderen Blickwinkel betrachtet werden:
\[{{U_{{\rm{ind}}}} =  - l \cdot v \cdot B =  - B \cdot l \cdot \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} =  - B \cdot \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}}\]
Bei dieser Herleitung ist das Produkt l·Δx die Flächenänderung ΔA des Magnetfeldes, welches von der Spule umfasst wird. Würde anstelle einer einzigen Leiterschleife eine rechteckige Spule mit N Windungen durch das Magnetfeld bewegt, so würden sich die bei jeder Leiterschleife entstehenden Spannungen addieren und es gilt
\[{U_{{\rm{ind}}}} =  - N \cdot B \cdot \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}\]
Das Entstehen einer Induktionsspannung bei der Bewegung einer Leiterschleife durch ein konstantes, homogenes Magnetfeld kann auch wie folgt gedeutet werden: Ändert sich die Fläche des von einer Spule umschlossenen Magnetfeldes mit der Zeit, so entsteht eine Induktionsspannung:
\[{U_{{\rm{ind}}}} =  - N \cdot B \cdot \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}\]

3 Flächenvektor bei der Bewegung einer Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld

Hinweis: Wir gehen dabei davon aus, dass der sogenannte Flächenvektor parallel zur Magnetfeldrichtung verläuft.

4 Entstehung einer Induktionsspannung bei der Verkleinerung der Fläche einer Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld

In dem obigen Beispiel wurde die Änderung der Fläche des von der Spule umschlossenen Magnetfeldes dadurch erreicht, dass die Spule bzw. die Leiterschleife in das Magnetfeld hineinbewegt oder wieder herausbewegt wurde. Die Flächenänderung kann aber auch noch auf andere Weisen erreicht werden

Bei dem in der nebenstehenden Animation dargestellten Vorgang wird die Spule, die am Anfang eine Fläche \({{A_{{\rm{Anfang}}}}}\) besitzt, auf den Flächeninhalt am Ende \({{A_{{\rm{Ende}}}}}\) verkleinert. Geschieht die Verkleinerung "gleichmäßig", so gilt
\[{U_{{\rm{ind}}}} =  - N \cdot B \cdot \frac{{{A_{{\rm{Ende}}}} - {A_{{\rm{Anfang}}}}}}{{\Delta t}}\]

5 Entstehung einer Induktionsspannung bei der Drehung einer Leiterschleife in einem homogenen Magnetfeld

Auch durch Rotation der Spule (vgl. nebenstehende Animation) kann eine Änderung der Fläche (Aeff) des von der Spule umschlossenen Magnetfeldes erreicht werden.

Beobachte in der Animation den zeitlichen Verlauf von Aeff und gib an, bei welchen Spulenstellungen die zeitliche Änderung von Aeff besonders hoch bzw. besonders niedrig ist.

Versuche, Aeff durch A0 und φ auszudrücken.

1 Entstehung einer Induktionspannung bei ruhender Schleife und sich veränderndem Magnetfeld durch einen bewegten Permanentmagneten

Das Entstehen einer Induktionsspannung in der Spule (Induktionsspule) können Sie mit Hilfe der Lorentzkraft verstehen: Sie haben gelernt, dass bei geeigneter Bewegung eines Leiters im Magnetfeld eine Ladungstrennung und damit eine Spannung im Leiter entsteht (vgl. Leiterschaukel-Versuch).

Hier bewegt sich zwar nicht der Leiter, jedoch der Magnet. Es kommt offensichtlich nur auf die Relativbewegung an.

2 Entstehung einer Induktionspannung bei ruhender Schleife und sich veränderndem Magnetfeld durch die Änderung des Stromflusses in einer Spule

Man kann nun den Permanentmagneten durch einen Elektromagneten (Feldspule) ersetzen. Bewegt man die Feldspule auf die Induktionsspule zu, so entsteht wieder ein Spannungsstoß.
Soweit erbringen die oben angesprochenen Versuche nichts wesentlich Neues. Lässt man nun die Feldspule bezüglich der Induktionsspule ruhen, so kommt es zu keinem Spannungsstoß, auch wenn man das Magnetfeld der Feldspule noch so stark macht.

Es passiert aber etwas ganz Besonderes, wenn man den Strom in der Feldspule ein- bzw. ausschaltet: Ohne irgendwelche Relativbewegung kommt es in der Induktionsspule zu einem Spannungsstoß. Diese Erkenntnis formulierte Faraday (1831) in seinem berühmten Induktionsgesetz.

Ändert sich das von den Windungen einer Spule umschlossene
Magnetfeld, so wird in ihr eine Spannung induziert.

Genauere Untersuchungen zeigen zusätzlich:

  • Je größer die Änderung des Magnetfeldes ist (bei gleicher Zeitdauer der Änderung), desto größer ist die Induktionsspannung.
  • Je schneller die Änderung des Magnetfeldes ist (bei gleichem Betrag der Änderung), desto
    größer ist die Induktionsspannung.
  • Die Induktionsspannung ist bei fester Feldspule umso größer, je mehr Windungen die Induktionsspule besitzt.
  • Besonders hohe Induktionsspannungen erhält man, wenn man Feld- und Induktionsspule auf einen gemeinsamen Eisenkern setzt.
1 Entstehung einer Induktionspannung bei ruhender Schleife und sich veränderndem Magnetfeld

Wie experimentell gezeigt werden konnte, entsteht nicht nur durch geeignete Bewegung eines Leiters im Magnetfeld eine Induktionsspannung, sondern auch im ruhenden Leiter kann eine Induktionsspannung auftreten, wenn sich die magnetische Flussdichte im Leiter ändert.

Ändert sich die magnetische Flussdichte eines von einer Spule umschlossenen Magnetfeldes mit der Zeit, so tritt an den Spulenenden eine Induktionsspannung auf, für die gilt:\[{U_i} = - N \cdot A \cdot \frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\]

Wie Sie in den vorangegangenen Überlegungen gesehen haben, kann eine Induktionsspannung sowohl bei der Bewegung eines Leiters im Magnetfeld, als auch bei der Magnetfeldänderung in einem ruhenden Leiter auftreten. Durch die Einführung der Größe magnetischer Fluss Φ gelingt es, die beiden gewonnenen Gesetze für die Induktionsspannung zu einem Gesetz zusammen zu führen:

Unter dem magnetischen Fluss Φ versteht man das Skalarprodukt aus dem Vektor der magnetischen Flussdichte \(\vec B\) und dem Flächenvektor \(\vec A\) der Leiterschleife bzw. Spule:

 

\[\begin{array}{l}\quad \quad \Phi = \vec B \cdot \vec A\\\left[ \Phi \right] = 1\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^2}}} \cdot {{\rm{m}}^2} = 1{\rm{Vs}}\end{array}\]

 

Für Φ kann man auch schreiben: Φ = B·A·cosα. Sind die Vektoren der Flussdichte und der Fläche gleichgerichtet, so ist cosα = 1 und es gilt in diesem Fall Φ = B·A.

Für eine Veranschaulichung kann man sich für die magnetische Flussdichte B die Feldliniendichte vorstellen, für den magnetischen Fluss Φ die Zahl der Feldlinien, die durch eine betrachtete Fläche tritt.

Flussänderung bei konstanter magnetischer Flussdichte B und Flächenänderung:

\[\begin{array}{l}\;\Delta \Phi = {\Phi _e} - {\Phi _a}\quad \Rightarrow \quad \Delta \Phi = B \cdot {A_e} - B \cdot {A_a}\\\Delta \Phi = B \cdot \left( {{A_e} - {A_a}} \right)\quad \Rightarrow \quad \Delta \Phi = B \cdot \Delta A\quad \left( 1 \right)\end{array}\]

 

Flussänderung bei konstanter Fläche und Änderung der magnetischer Flussdichte B:

\[\begin{array}{l}\;\Delta \Phi = {\Phi _e} - {\Phi _a}\quad \Rightarrow \quad \Delta \Phi = A \cdot {B_e} - A \cdot {B_a}\\\Delta \Phi = A \cdot \left( {{B_e} - {B_a}} \right)\quad \Rightarrow \quad \Delta \Phi = A \cdot \Delta B\quad \left( 2 \right)\end{array}\]

Induktion durch Bewegung:

\[{U_{ind}} = - N \cdot B \cdot \frac{{\Delta A}}{{\Delta t}}\]

unter Verwendung von (1) ergibt sich:

\[{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

 

Induktion durch Feldänderung:

\[{U_{ind}} = - N \cdot A \cdot \frac{{\Delta B}}{{\Delta t}}\]

unter Verwendung von (2) ergibt sich:

\[{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

In der Formulierung des Induktionsgesetzes mit Hilfe des magnetischen Flusses kann man die beiden Spezialfälle "Induktion durch Bewegung" und "Induktion durch Feldänderung" zu einem Gesetz zusammenfassen. Natürlich gibt es auch die Situation bei der sich die Leiterschleife in einem Magnetfeld bewegt und gleichzeitig sich die Flussdichte ändert. Auch dieser Fall ist in der Formulierung des Induktionsgesetzes mit Hilfe des Flussbegriffs enthalten.

Ändert sich der magnetische Fluss Φ durch eine Leiterschleife oder Spule mit der Zeit, so tritt in der Leiterschleife bzw. Spule eine Induktionsspannung Uind auf. Es gilt:

\[{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\]

N: Windungszahl der Spule;   ΔΦ: Änderung des magnetischen Flusses;  Δt: Zeitintervall

Hinweise für Experten:

  • Bei den betrachteten Beispielen hat sich entweder die Fläche oder das Magnetfeld linear mit der Zeit verändert. Wenn dies nicht mehr der Fall ist, muss man im Induktionsgesetz den Differenzenquotienten ΔΦ/Δt durch den entsprechenden Differentialquotienten dΦ/dt ersetzen:

\[{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{d\Phi }}{{dt}}\]

Induktionsgesetz in differentieller Form

 

  • Durch Umformung des oben dargestellten Induktionsgesetzes erhält man:

\[\begin{array}{l}{U_{ind}} = - N \cdot \frac{{\Delta \Phi }}{{\Delta t}}\quad \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \quad {U_{ind}} \cdot \Delta t = - N \cdot \Delta \Phi \\\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{Spannungssto{ß}}}\quad {\rm{Flussänderung}}\end{array}\]

 

Die letzte Beziehung gilt nur beim Auftreten einer konstanten Induktionsspannung (d.h. bei zeitlich linearer Flächenänderung, bzw. Flussänderung). Etwas allgemeiner lässt sich unter der Verwendung der Integralrechnung schreiben:

\[\int_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt = - N \cdot \Delta \Phi } \]

Induktionsgesetz in integraler Form

Bei konstanter Induktionsspannung bezeichnet man das Produkt Uind·Δt, bei nicht konstanter Spannung das Integral \(\int_{{t_1}}^{{t_2}} {{U_{ind}}dt} \) als Spannungsstoß.

Heinrich Friedrich Emil LENZ
(1804 - 1865)
unbekannter Autor [Public domain], via Wikimedia Commons

Heinrich Friedrich Emil LENZ (1804 - 1865), Professor in St. Petersburg führte nach der Entdeckung der Induktion durch FARADAY eine Reihe von wichtigen Versuchen durch. Nach ihm ist die Regel von LENZ (oder LENZsche Regel) benannt, welche eine Vorhersage über die Richtung des Induktionsstroms macht, ohne dass man immer das Experiment bis in alle Details betrachten muss.

Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass er die Ursache seiner Entstehung zu hemmen sucht.

1 Durch eine äußere Kraft im Magnetfeld eines Hufeisenmagneten bewegte Leiterschaukel

Beim Grundversuch zur Induktion wurde eine Leiterschaukel im Magnetfeld eines Hufeisenmagneten durch eine äußere Kraft \(\vec F_{\rm{A}}\) bewegt. Dabei kam es zur Ladungstrennung im Leiter, die wir mit einem Spannungsmesser nachgewiesen haben.

Ersetzt man nun den hochohmigen Spannungsmesser durch einen niederohmigen Strommesser, so kann im Leiterkreis ein merklicher Strom fließen, d.h. man hat einen stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld vorliegen, auf den eine Kraft \(\vec F_{^*}\) wirkt, deren Richtung mit der ersten UVW-Regel ermittelt werden kann. Die Animation zeigt die Gedankenschritte zur Ermittlung der Richtung von \(\vec F_{^*}\).

Hinweis: Zum besseren Verständnis sind die oben beschriebenen Vorgänge in der Animation zeitlich versetzt dargestellt. Tatsächlich ist es so, dass beim Einsetzen der Bewegung sofort die Ladungstrennung, der Strom und die Kraft \(\vec F_{^*}\) existent sind.

Auf das obige Problem angewandt bedeutet die Regel von LENZ dies: Die Bewegung des Leiters aufgrund der äußeren Kraft ruft einen Induktionsstrom hervor, der die Ursache für die Kraft \(\vec F_{^*}\) ist, welche die Bewegung des Leiters (und dies ist die Ursache für den Induktionsstrom) zu hemmen sucht.

Hinweis: Wäre die Kraft \(\vec F_{^*}\) bei dem obigen Versuch nach rechts gerichtet, so würde sie die Bewegung unterstützen. Der Leiter würde sich dann - ohne Einwirkung von außen - immer schneller bewegen. Dies wäre ein Energiezuwachs ohne dass man von außen Energie zuführt und damit ein Widerspruch zum Energiesatz.

 

Mit der Regel von LENZ kann auch die folgende Versuchsserie verstanden werden (Quelle: Staatliche Berufsschule Neu-Ulm):

Versuch
Nähert man einen Magneten einer kurzgeschlossenen und frei aufgehängten Spule, so wird die Spule in Bewegung versetzt.

Erklärung
Infolge der Bewegung des Magneten ändert sich die Stärke des von der Spule umfassten Magnetfeldes, so dass in der Spule eine Induktionsspannung erzeugt wird. Im geschlossenen Leiterkreis (die Spule ist kurzgeschlossen) fließt folglich ein Induktionsstrom, der selbst ein Magnetfeld hervorruft, welches mit dem des Stabmagneten in Wechselwirkung tritt.

 

 

 

Magnet wird auf Spule zubewegt → Spule weicht nach links aus, da sie den ursprünglichen Zustand (Feldfreiheit) aufrechterhalten will. Es fließt in ihr der Induktionsstrom so, dass am rechten Spulenende ein Nordpol entsteht. Auf diese Weise kommt es zur Abstoßung nach links.   Magnet wird von Spule wegbewegt → Spule folgt Magneten, da sie den ursprünglichen Zustand (Feld in Spule) aufrechterhalten will. Es fließt in ihr der Induktionsstrom so, dass am rechten Spulenende ein Südpol entsteht. Auf diese Weise kommt es zur Anziehung nach rechts.   Argumentation analog zur 1. Spalte   Argumentation analog zur 2. Spalte

Zum Einstieg in das Thema "Induktion durch Änderung des Magnetfeldes" werden meist Anordnungen betrachtet, bei denen die Feldspule (in ihr wird das Magnetfeld verändert) und die Induktionsspule (in ihr wird die induzierte Spannung festgestellt) zwei verschiedene Anordnungen waren. Wie die Experimente zur Selbstinduktion aber zeigen, tritt ein Induktionseffekt beim Ein- und Ausschalten des Stromes in der Feldspule selbst auf. In diesem Fall spricht man von Selbstinduktion.

Unter Selbstinduktion versteht man die Induktionswirkung eines Stromes auf seinen eigenen Leiterkreis:

  • Ändert sich der durch eine Spule fließende Strom (z.B. beim Ein- und Ausschalten), so bewirkt dieser eine Änderung des magnetischen Flusses durch die "eigene" Spule.

  • Aufgrund des Induktionsgesetzes tritt eine Induktionsspannung auf, die nach LENZ die Ursache ihrer Entstehung zu hemmen sucht.

  • Dadurch steigt der Strom beim Einschalten einer Spule erst allmählich auf seinen stationären Endwert. Beim Ausschalten der Spule kann der Strom noch "nachfließen", wenn ein entsprechender Stromkreis zur Verfügung steht.

 

Die folgende Animation zeigt den Verlauf der Batteriespannung \({U_{{\rm{bat}}}}\), der an der idealen Spule \(L\) anliegenden Spannung \({U_{{\rm{Lt}}}}\) (diese ist gegengleich zur induzierten Spannung \({U_{{\rm{ind}}}}\) der Spule) und der Spannung \({U_{{\rm{R}}}}\) am Widerstand \(R\). Der zeitliche Verlauf von \({U_{\rm{R}}}(t)\) ist proportional zum Strom \(I(t)\) im Kreis.