Die Beziehung \(R \sim \frac{l}{A}\) kannst du über ein kleines Gedankenexperiment mit Hilfe der Formeln für Ersatzwiderstände gewinnen.
Abhängigkeit des Widerstandes von der Länge \(l\)
Du denkst dir einen Drahtwiderstand mit fester Querschnittsfläche \(A\), der Länge \(l\) und mit dem Widerstandswert \(R\). Diesen teilst du nun in \(N\) gleichlange Stücke auf von denen jedes den Widerstand \(R_0\) und die Länge \(l_0\) hat. In der Animation ist \(N = 4\).
Die Anordnung der kleinen Widerstandsstückchen ist eine Reihenschaltung (Serienschaltung). Es gilt also\[R = N \cdot {R_0}\quad (1)\]Außerdem siehst du, dass\[l = N \cdot {l_0}\quad ( 2)\]Dividierst du die Gleichung \((1)\) durch Gleichung \((2)\), so ergibt sich\[\frac{R}{l} = \frac{{N \cdot {R_0}}}{{N \cdot {l_0}}} = \frac{{{R_0}}}{{{l_0}}} \Rightarrow \frac{R}{l} = {\rm{const.}}\]Der Quotient aus \({{R_0}}\) und \({{l_0}}\) ist eine Konstante, so dass der Quotient von \(R\) und \(l\) ebenfalls konstant ist. Dies ist aber gerade das Kennzeichen der Proportionalität zwischen \(R\) undund \(l\). Es folgt also\[R \sim l\]bei festem Material und fester Querschnittsfläche.
Abhängigkeit des Widerstandes vom Flächeninhalt \(A\) der Querschnittsfläche
Du denkst dir einen Drahtwiderstand mit der Querschnittsfläche \(A\)), der festen Länge \(l\) und mit dem Widerstandswert \(R\). Diesen Drahtwiderstand teilst du nun der Länge nach in \(N\) Stücke mit jeweils gleicher Querschnittsfläche \(A_0\) auf, von denen jedes den Widerstand \(R_0\) und die Querschnittsfläche \(A_0\) hat. In der Animation ist \(N = 4\).
Die Anordnung der kleinen Widerstandsstückchen ist eine Parallelschaltung. Es gilt also \[R = \frac{1}{N} \cdot {R_0}\quad (3)\]Außerdem siehst du, dass\[A = N \cdot {A_0}\quad (4)\]Multiplizierst du die Gleichung \((3)\) mit Gleichung \((4)\), so ergibt sich\[R \cdot A = \frac{1}{N} \cdot {R_0} \cdot N \cdot {A_0} = {R_0} \cdot {A_0} \Rightarrow R \cdot A = {\rm{const}}.\]Das Produkt aus \({{R_0}}\) und \({{A_0}}\) ist eine Konstante, so dass das Produkt von \(R\) und \(A\) ebenfalls konstant ist. Dies ist aber gerade das Kennzeichen der indirekten Proportionalität zwischen \(R\) und \(A\). Es folgt also\[R \sim \frac{1}{A}\]bei festem Material und fester Länge.
Kombination beider Erkenntnisse
Die beiden durch Gedankenexperimente gewonnenen Beziehungen kann man nun zu einer Proportionalität zusammenfassen:\[R \sim l \cdot \frac{1}{A} = \frac{l}{A}\]Durch Einführung der Proportionalitätskonstanten \(\rho \) erhält man dann\[R = \rho \cdot \frac{l}{A}\]