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Aufgabe

Widerstand einer Hochspannungsleitung

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Mit Hilfe von Hochspannungsleitungen wird elektrische Energie über große Strecken mit möglichst wenig Verlusten transportiert. Eine 110kV-Leitung besteht aus einem siebenadrigen Strahlkern mit einer Gesamtquerschnittsfläche von Astahl = 60 mm2. Der Stahlkern ist von einem Geflecht von Aluminiumadern mit der Gesamtfläche Aal = 257mm2 ummantelt.

a)
CC BY-SA 3.0 Dave Bryant
Abb. 1 Querschnitt Hochspannungskabel

Wie groß ist der Widerstand und die Masse einer 1,00km langen Hochspannungsleitung von obigem Typ? Daten über Dichte und spezifischer Widerstand sind der Übersicht zur finden.

b)

Wie verteilt sich der Gesamtstrom von 550A auf den Stahl- und Aluminiumleiter?

c)

Welche Querschnittsfläche und welche Masse hätte eine Kupferleitung mit dem gleichen Widerstand wie die obige Leitung? Erläutern Sie, warum man heute Fernleitungen nicht aus Kupfer sondern Aluminium baut.

d)

Wie viel Prozent der übertragenen Leistung von ca. 60MW geht in der 1,00km langen Leitung von Teilaufgabe a) verloren?

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a)

Berechnung des Widerstands der Stahladern:\[{R_{st}} = \rho \cdot \frac{l}{{{A_{st}}}}\quad \Rightarrow \quad {R_{st}} = 0,13 \cdot \frac{{1000}}{{60}}\Omega = 2,2\Omega \]Berechnung des Widerstands der Aluminiumadern:\[{R_{al}} = \rho \cdot \frac{l}{{{A_{al}}}}\quad \Rightarrow \quad {R_{al}} = 0,028 \cdot \frac{{1000}}{{257}}\Omega = 0,11\Omega \]Der Gesamtwiderstand ergibt sich aus der Parallelschaltung der beiden Widerstände:\[{R_{ges}} = \frac{{{R_{al}} \cdot {R_{st}}}}{{{R_{al}} + {R_{st}}}}\quad \Rightarrow \quad {R_{ges}} = \frac{{0,11 \cdot 2,2}}{{0,11 + 2,2}}\Omega = 0,10\Omega \]Hinweis: Man verwendet sowohl für die Dichte als auch für den spez. Widerstand den Buchstaben ρ. Achtung, damit keine Verwechslungen passieren!

Berechnung der Masse der Stahladern:\[{m_{st}} = {\rho _{st}} \cdot {A_{st}} \cdot l\quad \Rightarrow \quad {m_{st}} = 7,8 \cdot 60 \cdot {10^{ - 2}} \cdot 1000 \cdot {10^2}\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot {\rm{c}}{{\rm{m}}^2} \cdot {\rm{cm}} = 4,7 \cdot {10^2}{\rm{k}}g\]Berechnung der Masse der Aluminiumadern:\[{m_{al}} = {\rho _{al}} \cdot {A_{al}} \cdot l\quad \Rightarrow \quad {m_{al}} = 2,7 \cdot 257 \cdot {10^{ - 2}} \cdot 1000 \cdot {10^2}\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot {\rm{c}}{{\rm{m}}^2} \cdot {\rm{cm}} = 6,9 \cdot {10^2}{\rm{k}}g\]Gesamtmasse: mges = 1,2t

b)

\[\begin{array}{l}\frac{{{I_{st}}}}{{{I_{al}}}} = \frac{{{R_{al}}}}{{{R_{st}}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{{I - {I_{al}}}}{{{I_{al}}}} = \frac{{{R_{al}}}}{{{R_{st}}}}\quad \Rightarrow \quad {I_{al}} = \frac{{I \cdot {R_{st}}}}{{{R_{st}} + {R_{al}}}}\\ \Rightarrow \quad {I_{al}} = \frac{{550 \cdot 2,2}}{{2,2 + 0,11}}A = 524A\quad \Rightarrow \quad {I_{st}} = 26A\end{array}\]

c)

Berechnung des Querschnitts vom Kupferkabel:\[{R_{ges}} = {\rho _{cu}}\cdot\frac{l}{{{A_{cu}}}}\quad \Rightarrow \quad {A_{cu}} = {\rho _{cu}}\cdot\frac{l}{{{R_{ges}}}}\quad \Rightarrow \quad {A_{cu}} = 0,017\cdot\frac{{1000}}{{0,10}}{\rm{m}}{{\rm{m}}^2} = 1,7 \cdot {10^2}{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}\]Berechnung der Masse des Kupferkabels:\[{m_{cu}} = {\rho _{cu}} \cdot {A_{cu}} \cdot l\quad \Rightarrow \quad {m_{cu}} = 8,9 \cdot 1,7 \cdot 1000 \cdot {10^2}\frac{{\rm{g}}}{{{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot {\rm{c}}{{\rm{m}}^2} \cdot {\rm{cm}} = 1,5{\rm{t}}\]Das Kupferkabel ist bei gleichem Widerstand schwerer als das Kabel aus Stahl und Aluminium und würde somit aufwändigere Trägervorrichtungen erfordern.

d)

Verlustleistung bei einem Kilometer:\[{P_{{\rm{ver}}}} = {I^2} \cdot {R_{ges}}\quad \Rightarrow \quad {P_{{\rm{ver}}}} = {550^2} \cdot 0,10{{\rm{A}}^2} \cdot \Omega = 30{\rm{kW}}\]Prozentualer Verlust pro Kilometer: \(\frac{{100\% }}{{60 \cdot {{10}^6}}} \cdot 30 \cdot {10^3} \approx 0,05\% \)

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Widerstand & spez. Widerstand