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Aufgabe

Lichtmaschine im Auto

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein Autoscheinwerfer (\(12\rm{V}\) / \(120\rm{W}\)) ist an den Akku (\(12\rm{V}\) ; Innenwiderstand \(R_{ak} = 0,010\rm{\Omega}\) ; Ladung \(45\rm{Ah}\)) eines Autos angeschlossen.

a)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Scheinwerfer mit Batterie

Berechne, wie lange der Scheinwerfer leuchten würde, wenn vergessen worden wäre ihn auszuschalten.

Um die Entladung des Akkus zu verhindern, wird während der Fahrt die Lichtmaschine durch den Motor betrieben. Sie hat den Innenwiderstand \(R_{lm} = 0,10\rm{\Omega}\) und liefert eine Spannung von \(14\rm{V}\). Sie verhindert die Entladung des Akkus, ja sie lädt sogar den Akku mit einer Stromstärke von \(I_{ak} = 9,0\rm{A}\).

b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Scheinwerfer mit Batterie und Lichtmaschine

Entwirf einen schematischen Schaltplan.

Zeichne mit Hilfe der obigen Informationen die technischen Stromrichtungen ein.

c)

Berechne die Stromstärke \(I_{lm}\), welche die Lichtmaschine liefert.

Berechne den Strom \(I_{sw}\), der dann durch den Scheinwerfer fließt.

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a)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Lösung a)

Berechnung des Scheinwerferwiderstands \(R_{sw}\): \[{P_{\rm{sw}}} = {U_{\rm{ak}}} \cdot {I_{\rm{sw}}} = \frac{{U_{\rm{ak}}^2}}{{{R_{\rm{sw}}}}} \Leftrightarrow {R_{\rm{sw}}} = \frac{{U_{\rm{ak}}^2}}{{{P_{\rm{sw}}}}} \Rightarrow {R_{\rm{sw}}} = \frac{{{{\left( {12{\rm{V}}} \right)}^2}}}{{120{\rm{W}}}} = 1,2{\rm{\Omega }}\] Berechnung des Stroms \(I_{\rm{ak}}\): \[{I_{\rm{ak}}} = \frac{U_{\rm{ak}}}{{{R_{\rm{ak}}} + {R_{\rm{sw}}}}} \Rightarrow {I_{\rm{ak}}} = \frac{{12{\rm{V}}}}{{0,01{\rm{\Omega }} + 1,2{\rm{\Omega }}}} = 9,9{\rm{A}}\]Berechnung der Entladezeit \(t\): \[Q = {I_{\rm{ak}}} \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{Q}{{{I_{\rm{ak}}}}} \Rightarrow t = \frac{{45{\rm{Ah}}}}{{9,0{\rm{A}}}} = 4,5{\rm{h}}\]

b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Lösung b)
c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 5 Lösung c)

In dem unteren Teilzweig (roter Umlaufsinn) sind die Spannungsquellen "Lichtmaschine" (\(14{\rm{V}}\)) und "Akku" (\(12{\rm{V}}\)) gegeneinandergeschaltet. Dies ist so, als ob nur eine Spannungsquelle mit \({U_{res}} = 14{\rm{V}} - 12{\rm{V}} = 2,0{\rm{V}}\) in dem Kreis wäre. Nach der Maschenregel gilt dann \[{U_{{\rm{res}}}} = {U_1} + {U_2} = {I'_{{\rm{ak}}}} \cdot {R_{{\rm{ak}}}} + {I_{{\rm{lm}}}} \cdot {R_{{\rm{lm}}}} \Leftrightarrow {I_{{\rm{lm}}}}{\rm{ = }}\frac{{{U_{{\rm{res}}}} - {{I'}_{{\rm{ak}}}} \cdot {R_{{\rm{ak}}}}}}{{{R_{{\rm{lm}}}}}}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[{I_{{\rm{lm}}}}{\rm{ = }}\frac{{2,0{\rm{V}} - 9,0{\rm{A}} \cdot 0,010{\rm{\Omega }}}}{{0,10{\rm{\Omega }}}} = 19,1{\rm{A}}\] Wendet manschließlich im Punkt A die Knotenregel an, so ergibt sich \[{I_{{\rm{lm}}}} = {I'_{{\rm{ak}}}} + {I_{sw}} \Leftrightarrow {I_{sw}} = {I_{{\rm{lm}}}} - {I'_{{\rm{ak}}}} \Rightarrow {I_{sw}} = 19,1{\rm{A}} - 9,0{\rm{A}} = 10,1{\rm{A}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Widerstand & spez. Widerstand