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Aufgabe

Kurzschluss in der Telegrafenleitung

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Illusstration der Aufgabenstellung

Ein Stück einer Telegrafenleitung sei \(1000\,\rm{m}\) lang. Der Gesamtwiderstand von Hin- und Rückleitung sei \(22{,}67\,\Omega\). Nun entsteht an einer zunächst unbekannten Stelle ein Kurzschluss durch ein auf die Leitung geschleudertes Blech. Der Übergangswiderstand des Blechs sei \(R_{\rm{ue}}\).

Um herauszufinden, wo der Kurzschluss entstanden ist, messen Techniker am Ende A zwischen 1 und 2 einen Widerstand von \(11{,}07\,\Omega\), während bei B zwischen 3 und 4 ein Widerstand von \(15{,}60\,\Omega\) nachgewiesen wird.

Berechne, in welcher Entfernung (x) von A der Kurzschluss entstand.

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Widerstand RA zwischen 1 und 2:\[{R_{\rm{A}}} = \rho \cdot \frac{{2 \cdot x}}{A} + {R_{{\rm{ue}}}}\quad(1)\]Widerstand RB zwischen 3 und 4:\[{R_{\rm{B}}} = \rho \cdot \frac{{2 \cdot \left( {l - x} \right)}}{A} + {R_{{\rm{ue}}}}\quad (2)\]Durch Addition der beiden Gleichungen (1) und (2) erhält man den Übergangswiderstand\[\begin{array}{*{20}{l}}{\quad {R_{\rm{A}}} + {R_{\rm{B}}} = \rho \cdot\frac{{2 \cdot {\rm{x}}}}{A} + {R_{{\rm{ue}}}} + \rho \cdot\frac{{2\cdot\left( {l - {\rm{x}}} \right)}}{A} + {R_{{\rm{ue}}}}\quad \Rightarrow \quad 2\cdot{R_{ue}} = {R_{\rm{A}}} + {R_{\rm{B}}} - \rho \cdot\frac{{2 \cdot l}}{A}\quad \Rightarrow }\\{2\cdot{R_{ue}} = {R_{\rm{A}}} + {R_{\rm{B}}} - {R_{{\rm{ges}}}}\quad \Rightarrow \quad {R_{ue}} = \frac{{{R_{\rm{A}}} + {R_{\rm{B}}} - {R_{{\rm{ges}}}}}}{2}\quad \Rightarrow \quad {R_{ue}} = \frac{{15,60 + 11,07 - 22,67}}{2}\Omega = 2,0\Omega }\end{array}\]Durch Division der beiden Gleichungen (1) und (2) erhält man eine Gleichung aus der man - bei bekanntem Rü - die Entfernung x des Kurzschlusses von A berechnen kann:\[\begin{array}{l}\quad \rho \cdot\frac{{2\cdot{\rm{x}}}}{A} = {R_{\rm{A}}} - {R_{{\rm{ue}}}}\quad (1)\quad {\rm{und}}\quad \rho \cdot \frac{{2 \cdot \left( {l - {\rm{x}}} \right)}}{A} = {R_{\rm{B}}} - {R_{{\rm{ue}}}}\quad (2)\\\quad \quad \quad \quad \quad \quad {\rm{dividiert}}\;{\rm{man}}\;{\rm{(2)}}\;{\rm{durch}}\;{\rm{(1)}}{\rm{,}}\;{\rm{so}}\;{\rm{ergibt}}\;{\rm{sich:}}\\\;\;\frac{{\rho \cdot \frac{{2 \cdot \left( {l - {\rm{x}}} \right)}}{A}}}{{\rho \cdot\frac{{2\cdot{\rm{x}}}}{A}}} = \frac{{{R_{\rm{B}}} - {R_{{\rm{ue}}}}}}{{{R_{\rm{A}}} - {R_{{\rm{ue}}}}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{{l - {\rm{x}}}}{{\rm{x}}} = \frac{{{R_{\rm{B}}} - {R_{{\rm{ue}}}}}}{{{R_{\rm{A}}} - {R_{{\rm{ue}}}}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{l}{{\rm{x}}} - 1 = \frac{{{R_{\rm{B}}} - {R_{{\rm{ue}}}}}}{{{R_{\rm{A}}} - {R_{{\rm{ue}}}}}}\\\frac{l}{{\rm{x}}} = 1 + \frac{{{R_{\rm{B}}} - {R_{{\rm{ue}}}}}}{{{R_{\rm{A}}} - {R_{{\rm{ue}}}}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{l}{{\rm{x}}} = \frac{{{R_{\rm{A}}} - {R_{{\rm{ue}}}} + {R_{\rm{B}}} - {R_{{\rm{ue}}}}}}{{{R_{\rm{A}}} - {R_{{\rm{ue}}}}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{l}{{\rm{x}}} = \frac{{{R_{\rm{A}}} + {R_{\rm{B}}} - 2 \cdot {R_{{\rm{ue}}}}}}{{{R_{\rm{A}}} - {R_{{\rm{ue}}}}}}\\\quad \quad {\rm{x}} = \frac{{l \cdot \left( {{R_{\rm{A}}} - {R_{{\rm{ue}}}}} \right)}}{{{R_{\rm{A}}} + {R_{\rm{B}}} - 2 \cdot {R_{{\rm{ue}}}}}}\quad \Rightarrow \quad {\rm{x}} = \frac{{1000 \cdot \left( {11,07 - 2,0} \right)}}{{11,07 + 15,60 - 2 \cdot 2,0}}{\rm{m = 400m}}\end{array}\]Die Kurzschlussstelle ist also 400m von A entfernt.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Widerstand & spez. Widerstand