Abb. 1 Ersatzschaltbild einer realen belasteten Batterie
Meist wird bei Rechenaufgaben der Innenwiderstand einer Spannungsquelle nicht berücksichtigt. Für genauere Betrachtungen muss man jedoch davon ausgehen, dass z.B. ein \(12\,\rm{V}\)-Akkumulator einen Innenwiderstand aufweist, der noch dazu von dessen jeweiligem Ladezustand, der Temperatur und dem Alter des Akkus abhängt. Die Größenordnung des Innenwiderstands eines üblichen Bleiakkus, wie er bei Autos verwendet wird, liegt im \({\rm{m\Omega }}\)-Bereich.
Die Leerlaufspannung eines Akkus sei \(U_0 = 12\,\rm{V}\), der Innenwiderstand \(R_{\rm i} = 50\,\rm{m}\Omega\), mit dem Akku soll der Anlasser eines Autos mit dem Widerstand \(R_{\rm a} = 0{,}30\,\rm{Ω}\) betrieben werden.
a)
Berechne die Klemmenspannung \(U_{\rm{kl}}\), wenn an den Akku zunächst noch kein Verbraucher angeschlossen ist.
Erläutere den Begriff "Leerlaufspannung".
b)
Berechne die maximale Stromstärke, die dieser Akku liefern könnte.
c)
Berechne die Klemmenspannung \(U_{\rm{kl}}\), wenn nun der Anlasser mit dem Akku betrieben wird.
d)
Das Auto mit obiger Batterie wurde schon lange nicht mehr gefahren, außerdem ist die Temperatur sehr tief, so dass der Innenwiderstand auf \(150\,\rm{mΩ}\) angestiegen ist. Beim Starten ist fälschlicherweise auch noch die Lichtanlage des Autos (Gesamtwiderstand \(1{,}0\,Ω\)) eingeschaltet.
Untersuche, ob damit der Anlasser noch ordnungsgemäß betätigt werden kann, wenn dieser eine Mindestspannung von \(9{,}0\,\rm{V}\) benötigt.
Wenn der Akku nicht belastet wird, d.h. kein Strom fließt, fällt am Innenwiderstand \(R_{\rm i}\) keine Spannung ab. In diesem Fall ist die Klemmenspannung gleich der Spannung \(U_0\). Man bezeichnet daher \(U_0\) auch als Leerlaufspannung. Auch die Maschenregel zeigt dies: Es gilt \[U_0 = U_{\rm i} + U_{\rm kl} \Rightarrow U_0 = I \cdot R_{\rm a} + U_{\rm kl}\]Da der Stromkreis noch offen ist, gilt \(I = 0\) und somit \(U_0 = U_{\rm kl}\).
b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Schaltskizze zu Aufgabenteil b)
Der Maximalstrom fließt dann, wenn im Außenkreis ein Kurzschluss hergestellt wird:\[{I_{\rm K}} = \frac{{{U_0}}}{{{R_{\rm i}}}} \Rightarrow {I_{\rm K}} = \frac{12\,\rm{V}}{{0{,}050\,\Omega}} = 240\,{\rm{A}}\]Man bezeichnet den Maximalstrom auch als Kurzschlussstrom.
c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Schaltskizze zu Aufgabenteil c)
Berechnung des Stroms \(I\) im Kreis:\[I = \frac{{{U_0}}}{{{R_{\rm i}} + {R_{\rm a}}}} \Rightarrow I = \frac{{12\,\rm{V}}}{{0{,}050\,\Omega + 0{,}30\,\Omega}} = 34\,{\rm{A}}\]Berechnung der Klemmenspannung:\[{U_{\rm kl}} = I \cdot {R_{\rm a}} \Rightarrow {U_{\rm kl}} = 34\,\rm{A} \cdot 0{,}30\,{\rm{\Omega}} = 10\,{\rm{V}}\]
d)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 5 Schaltskizze zu Aufgabenteil d)
Berechnung des Ersatzwiderstandes von Anlasser und Beleuchtungsanlage:\[{R^*} = \frac{{{R_1} \cdot {R_{\rm a}}}}{{{R_1} + {R_{\rm a}}}} \Rightarrow {R^*} = \frac{{1{,}0\,\Omega \cdot 0{,}30\,\Omega}}{{1{,}0\,\Omega + 0{,}30\,\Omega}} = 0{,}23\,\Omega \]Somit ergibt sich für \(I'\):\[I' = \frac{{{U_0}}}{{{R_{\rm i}} + {R^*}}} \Rightarrow I' = \frac{12\,\rm{V}}{{0{,}150\,\Omega + 0{,}23\,\Omega}} = 32\,{\rm{A}}\]\[{U_{\rm kl}} = {U_0} - I' \cdot {R_{\rm i}} \Rightarrow {U_{\rm kl}} = 12\,{\rm{V}} - 32\,{\rm{A}} \cdot 0{,}150\,\Omega = 7{,}2\,{\rm{V}}\]Die Klemmenspannung ist kleiner als \(9{,}0\,\rm{V}\), also wird der Anlasser nicht mehr zuverlässig arbeiten.
