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Aufgabe

Belasteter Spannungsteiler

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Schaltkreis a) und b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Schaltkreis c) und d)

Flexon möchte eine Reuterlampe (6V/5A) betreiben. Er hat eine Spannungsquelle mit U = 10V und einen 50cm langen Schiebewiderstand mit dem Gesamtwiderstand 12Ω zur Verfügung.

Zunächst schließt er zwischen A und S einen hochohmigen Spannungsmesser an und verschiebt S so lange, bis die Spannung U* = 6,0V ist.

a)Berechne, welche Entfernung x der Schieber S vom Punkt A haben muss, damit U* = 6,0V ist. Welchen Widerstandswert hat dann die Strecke von A bis S?

Nun ersetzt Flexon den Spannungsmesser durch die Reuterlampe und stellt fest, dass diese weit unter ihrer maximalen Helligkeit leuchtet.

b)Auf was ist die verminderte Helligkeit der Lampe zurückzuführen? Keine Rechnung, sondern qualitative Erläuterung!

Flexon will nun das Problem in den Griff bekommen und entwickelt die nebenstehende Ersatzschaltung.

c)Berechne aus R' = 7,2Ω, R'' = 4,8Ω, U = 10V und R* (Widerstand der Reuterlampe) die Spannung U* und vergleiche mit der Teilspannung U* vom Aufgabenbeginn.

d)Nur für hartnäckige Experten: Allgemeine Rechnung!

Der Gesamtwiderstand des Potenziometers sei R, die Gesamtlänge l, die an das Potenziometer gelegte Spannung U. Zwischen A und S werde der Widerstand R* = n·R (n ist eine positive Zahl) geschaltet. Drücke die Spannung U* durch U, l, n und x aus. Dabei ist x die Entfernung des Punktes S von A.

Solltest du mit einem Programm, welches Funktionsgraphen zeichnen kann, umgehen können, so zeichne ein x-U*-Diagramm für ein sehr großes n (z.B 1000), n = 0,5, n = 0,1 und n = 0,01 und interpretiere die Kurvenschar.

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a)Es liegt ein nahezu unbelasteter Spannungsteiler vor:\[\begin{array}{l}\frac{{U^*}}{U} = \frac{x}{l}\quad \Rightarrow \quad x = l \cdot \frac{{U^*}}{U}\quad \Rightarrow \quad x = 50 \cdot \frac{{6,0}}{{10}}{\rm{cm}} = 30{\rm{cm}}\\\\\frac{{R^*}}{R} = \frac{x}{l}\quad \Rightarrow \quad R^* = R \cdot \frac{x}{l}\quad \Rightarrow \quad R^* = 12 \cdot \frac{{30}}{{50}}\Omega = 7,2\Omega \end{array}\]

b)Die verminderte Helligkeit der Lampe ist darauf zurückzuführen, dass nun ein belasteter Spannungsteiler vorliegt. Im Gegensatz zum Spannungsmesser hat die Reuterlampe einen vergleichsweise kleinen Widerstand (R* = 6V/5A = 1,2Ω Dies führt offensichtlich dazu, dass die Spannung U* im Vergleich zum unbelasteten Fall absinkt und somit die Lampe nicht mehr mit voller Helligkeit leuchtet.

c)Berechnung des Gesamtwiderstandes der Schaltung:\[{R_{ges}} = \frac{{R' \cdot R^*}}{{R' + R^*}} + R''\quad \Rightarrow \quad {R_{ges}} = \frac{{7,2 \cdot 1,2}}{{7,2 + 1,2}}\Omega + 4,8\Omega = 5,8\Omega \]Berechnung des Gesamtstroms in der Hauptleitung:\[{I_{ges}} = \frac{U}{{{R_{ges}}}}\quad \Rightarrow \quad {I_{ges}} = \frac{{10}}{{5,8}}{\rm{A}} = 1,7{\rm{A}}\]Berechnung der Spannung an R'':\[U'' = {I_{ges}} \cdot R''\quad \Rightarrow \quad U'' = 1,7 \cdot 4,8{\rm{V}} = 8,2{\rm{V}}\]Somit bleibt für die Spannung U* im belasteten Fall:\[U^* = U - U''\quad \Rightarrow \quad U^* = 10{\rm{V - 8}}{\rm{,2V}} = 1,8{\rm{V}}\]Diese niedrige Spannung erklärt, warum die Reuterlampe nur noch schwach leuchtet.

d) Für den Gesamtwiderstand gilt:\[{R_{ges}} = \frac{{R' \cdot R^*}}{{R' + R^*}} + R''\]Unter Benutzung der Größen x und l führt dies zu\[\begin{array}{l}{R_{ges}} = \frac{{R \cdot {\textstyle{x \over l}} \cdot n \cdot R}}{{R \cdot {\textstyle{x \over l}} + n \cdot R}} + R''\quad \Rightarrow \quad {R_{ges}} = \frac{{R \cdot {\textstyle{x \over l}} \cdot n \cdot R}}{{R \cdot {\textstyle{x \over l}} + n \cdot R}} + R \cdot \frac{{l - x}}{l}\;\\{\rm{nach}}\;{\rm{etwas}}\;{\rm{Rechnung}}\;{\rm{folgt:}}\quad {R_{ges}} = R \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + n \cdot l} \right) \cdot l}}} \right)\end{array}\]\[{U^*} = U - {I_{ges}} \cdot R''\quad \Rightarrow \quad {U^*} = U - \frac{U}{{{R_{ges}}}} \cdot \left( {1 - \frac{x}{l}} \right)\]Setzt man nun das Ergebnis für Rges ein, so folgt nach einiger Rechnung\[{U^*} = U \cdot \left( {1 - \frac{{l - x}}{{l - {\textstyle{{{x^2}} \over {x + n \cdot l}}}}}} \right)\]

Für U = 10V und l = 50cm kann man bei Auswahl verschiedener n die x-U*-Diagramme zeichnen lassen:

Die blaue Kurve stellt den in Teilaufgabe c) berechneten Fall dar. Wurde der Schleifer auf 30cm eingestellt (wie in Teilaufgabe a) berechnet), so stellt sich eine Spannung U* von knapp unter 2V ein.

Je größer n gewählt wird, d.h. je größer R* im Vergleich zu R ist, desto mehr nähert sich der Kurvenverlauf dem Geradenstück (lila) für den unbelasteten Fall.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Widerstand & spez. Widerstand