Definition des Wechselstromwiderstands \(X\)
Elektrische Stromkreise mit Gleichspannungsquellen
Alle elektrischen Stromkreise mit einer Gleichspannungsquelle betrachten wir praktisch so, als ob in ihnen nur OHMsche Widerstände eingebaut wären. Der Grund hierfür ist, dass sich Kondensatoren und Spulen lediglich beim Ein- und beim Ausschalten der elektrischen Quelle anders als OHMsche Widerstände verhalten:
- Ein Kondensator verhält sich z.B. beim Einschalten zuerst wie ein idealer elektrischer Leiter, nach einiger Zeit ist der Widerstand eines Kondensators aber sehr groß, so dass er wie ein offener Schalter im Stromkreis betrachtet werden kann.
- Eine Spule verhält sich z.B. beim Einschalten wie eine entgegegesetzt gepolte elektrische Quelle, nach einiger Zeit verhält eine Spule sich aber nur noch wie der OHMsche Widerstand des Drahtes, aus dem sie gewickelt ist.
Der Widerstand \(R\) eines Bauelements in einem Gleichstromkreis lässt sich deshalb einige Zeit nach dem Einschalten aus der Stärke \(I\) des Stroms, der durch das Bauelemt fließt und der Spannung \(U\), die über ihm abfällt, nach der Definition\(R=\frac{U}{I}\) berechnen und hat einen konstanten Wert.
Elektrische Stromkreise mit Wechselspannungsquellen
In elektrischen Stromkreisen mit Wechselspannungsquellen muss man dagegen die speziellen Eigenschaften der Kondensatoren und Spulen berücksichtigen. Die ständigen Spannungs- und damit Stromstärkeänderungen wirken auf die Kondensatoren und Spulen wie ein dauerndes Ein- und Ausschalten; sie "reagieren" darauf mit ihren typischen, oben bereits beschriebenen Verhaltensweisen:
- Zeitweise wirkt der Kondensator wie ein guter Leiter, zeitweise wie ein schlechter.
- Zeitweise wirkt die Spule wie eine elektrische Quelle, zeitweise wie ein Leiter.
Damit ist klar, dass man den Widerstand eines Bauelements in einem Wechselstromkreis nicht einfach nach der obigen Definition berechnen kann.
Stattdessen wird eine andere Größe, der sogenannte Wechselstromwiderstand \(X\) eines Bauelements in einem Wechselstromkreis eingeführt. Man definiert diesen Wechselstromwiderstand als den Quotienten aus dem Effektivwert \(U_{\rm{eff}}\) der Spannung, die über dem Bauelement abfällt und dem Effektivwert \(I_{\rm{eff}}\) der Stärke des Stroms, der durch das Bauelement fließt:\[X = \frac{U_{\rm{eff}}}{I_{\rm{eff}}}\]Wir werden später sehen, dass mit Hilfe dieses Wechselstromwiderstands das Verhalten der einzelnen Bauelemente in einem Wechselstromkreis beschrieben werden kann.
Für den Fall, dass die Wechselspannung sinusförmig ist, gilt nach dem vorherigen Artikel \(U_{\rm{eff}}=\frac{\hat U}{\sqrt(2)}\) und \(I_{\rm{eff}}=\frac{\hat U}{\sqrt(2)}\). In diesem Fall gilt also\[X = \frac{U_{\rm{eff}}}{I_{\rm{eff}}}=\frac{\frac{\hat U}{\sqrt(2)}}{\frac{\hat I}{\sqrt(2)}}=\frac{\hat U}{\hat I}\]
Wechselstromwiderstand \(X\)
Als Wechselstromwiderstand \(X\) eines Bauelements in einem Wechselstromkreis definieren wir den Quotienten aus dem Effektivwert \(U_{\rm{eff}}\) der Spannung, die über dem Bauelement abfällt und dem Effektivwert \(I_{\rm{eff}}\) der Stärke des Stroms, der durch das Bauelement fließt:\[X = \frac{U_{\rm{eff}}}{I_{\rm{eff}}}\]Für den Fall einer sinusförmigen Wechselspannung vereinfacht sich die Berechnung des Wechselstromwiederstandes eines Bauelementes zu\[X = \frac{\hat U}{\hat I}\]
Hinweis
Für die unterschiedlichen Bauelemente ergeben sich durch diese Definition verschiedene Formeln für ihren jeweiligen Wechselstromwiderstand.
Wechselstromwiderstand eines OHMschen Leiters
Abb. 1 zeigt einen Wechselstromkreis mit einem OHMschen Leiter, einem Strom- und einem Spannungsmesser sowie das zugehörige \(t\)-\(I\)- bzw. \(t\)-\(U\)- und Zeigerdiagramm. Du kannst hier bereits erkennen, dass zwischen der Stromstärke und der Spannung, die über dem Widerstand abfällt, keine Phasenverschiebung besteht.
Im Folgenden werden wir theoretisch die Formel für den Wechselstromwiderstand \(X_R\) und die Phasenverschiebung \(\Delta \varphi\) der Spannung gegenüber der Stromstärke1 herleiten.
Wir gehen davon aus, dass bei einer sinusförmigen Quellspannung durch den Widerstand ein sinusförmiger Strom der Stärke\[I(t) = \hat I \cdot \sin (\omega \cdot t)\quad(1)\]fließt. Nach dem OHMschen Gesetz\[U=R \cdot I\]ergibt sich daraus\[U(t) = R \cdot I(t) = {\underbrace {R \cdot \hat I}_{ = :\;\hat U}} \cdot \sin (\omega \cdot t)\quad (2)\]Mit \((1)\) und \((2)\) ergibt sich nun\[X_R = \frac{\hat U}{\hat I} = \frac{R \cdot \hat I}{\hat I} = R\]Weiter kann man aus \((1)\) und \((2)\) direkt erkennen, dass sowohl Stromstärke als auch Spannung durch Sinusfunktionen ohne Phasenverschiebung, d.h. mit \(\Delta \varphi = 0\), beschrieben werden. Wir erhalten also als Ergebnis\[X_R = R\;;\;\Delta \varphi = 0\]
Wechselstromwiderstand und Phasenverschiebung eines OHMschen Leiters
Bei sinusförmiger Spannung gilt für den Wechselstromwiderstand eines OHMschen Leiters\[X_R = R\;;\;\Delta \varphi = 0\]Die Phasenverschiebung \(\Delta \varphi = 0\) wird oft so formuliert, dass Spannung und Stromstärke "in Phase sind."
Wechselstromwiderstand eines Kondensators
Abb. 2 zeigt einen Wechselstromkreis mit einem Kondensator, einem Strom- und einem Spannungsmesser sowie das zugehörige \(t\)-\(I\)- bzw. \(t\)-\(U\)- und Zeigerdiagramm. Du kannst hier bereits erkennen, dass zwischen der Stromstärke und der Spannung, die über dem Kondensator abfällt, eine Phasenverschiebung von \(\frac{\pi }{2}\) (\(90^\circ\)) besteht.
Im Folgenden werden wir theoretisch die Formel für den Wechselstromwiderstand \(X_C\) und die Phasenverschiebung \(\Delta \varphi\) der Spannung gegenüber der Stromstärke1 herleiten.
Wir gehen davon aus, dass bei einer sinusförmigen Quellspannung durch den Kondensator ein sinusförmiger Strom der Stärke\[I(t) = \hat I \cdot \sin (\omega \cdot t)\quad(1)\]fließt. Nach der Kondensatorformel\[Q=C \cdot U \Leftrightarrow U = \frac{Q}{C}\]und dem Zusammenhang\[\dot Q(t)=I(t) \underbrace {\Rightarrow} _{(1)} Q(t)=\frac{\hat I}{\omega} \cdot \left(-\cos (\omega \cdot t)\right)\]ergibt sich\[U(t)={\underbrace {\frac{\hat I}{\omega \cdot C}}_{ = :\;\hat U}} \cdot \left( -\cos (\omega \cdot t)\right) \quad(2)\]Mit \((1)\) und \((2)\) ergibt sich nun\[X_C = \frac{\hat U}{\hat I} = \frac{\frac{\hat I}{\omega \cdot C}}{\hat I} = \frac{1}{\omega \cdot C}\]Nun nutzen wir noch den aus der Trigonometrie bekannten Zusammenhang \(-\cos(\alpha)=\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)\), mit dem sich für die Spannung \(U\) ergibt\[U(t) = \hat U \cdot \sin \left(\omega \cdot t -\frac{\pi}{2}\right)\quad(3)\]Nun kann man aus \((1)\) und \((3)\) erkennen, dass sowohl Stromstärke als auch Spannung durch Sinusfunktionen, jedoch mit der Phasenverschiebung \(\Delta \varphi = -\frac{\pi}{2}\) beschrieben werden. Wir erhalten also als Ergebnis\[X_C = \frac{1}{\omega \cdot C}\;;\;\Delta \varphi = -\frac{\pi}{2}\]
Wechselstromwiderstand und Phasenverschiebung eines Kondensators
Bei sinusförmiger Spannung gilt für den Wechselstromwiderstand \(X_C\) eines kapazitiven Widerstands (Kondensator) und die dabei auftretende Phasenverschiebung \(\varphi\) der Spannung gegenüber der Stromstärke1\[X_C = \frac{1}{\omega \cdot C}\;;\;\Delta \varphi = -\frac{\pi }{2}\]Die Phasenverschiebung \(\Delta \varphi = -\frac{\pi }{2}\) wird so interpretiert, dass "die Spannung der Stromstärke um \(\frac{\pi }{2}\) ( \(90^\circ\)) nachfolgt."
Wechselstromwiderstand einer Spule
Abb. 3 zeigt einen Wechselstromkreis mit einer Spule, einem Strom- und einem Spannungsmesser sowie das zugehörige \(t\)-\(I\)- bzw. \(t\)-\(U\)- und Zeigerdiagramm. Du kannst hier bereits erkennen, dass zwischen der Stromstärke und der Spannung, die über der Spule abfällt, eine Phasenverschiebung von \(\frac{\pi }{2}\) (\(90^\circ\)) besteht.
Im Folgenden werden wir theoretisch die Formel für den Wechselstromwiderstand \(X_L\) und die Phasenverschiebung \(\Delta \varphi\) der Spannung gegenüber der Stromstärke1 herleiten.
Wir gehen davon aus, dass bei einer sinusförmigen Quellspannung durch die Spule ein sinusförmiger Strom der Stärke\[I(t) = \hat I \cdot \sin (\omega \cdot t)\quad(1)\]fließt. Nach der Spulenformel\[U=-L \cdot \dot I\]und dem Zusammenhang\[\dot I(t) \underbrace {=} _{(1)} \hat I \cdot \omega \cdot \left(\cos (\omega \cdot t)\right)\]ergibt sich\[U(t)=- {\underbrace {\hat I \cdot \omega \cdot L}_{ = :\;\hat U}} \cdot \left(\cos (\omega \cdot t)\right) \quad(2)\]Mit \((1)\) und \((2)\) ergibt sich nun\[X_L = \frac{\hat U}{\hat I} = \frac{\hat I \cdot \omega \cdot L}{\hat I} = \omega \cdot L\]Nun nutzen wir noch den aus der Trigonometrie bekannten Zusammenhang \(\cos(\alpha)=\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)\), mit dem sich für die Spannung \(U\) ergibt\[U(t) = \hat U \cdot \sin \left(\omega \cdot t +\frac{\pi}{2}\right)\quad(3)\]Nun kann man aus \((1)\) und \((3)\) erkennen, dass sowohl Stromstärke als auch Spannung durch Sinusfunktionen, jedoch mit der Phasenverschiebung \(\Delta \varphi = +\frac{\pi}{2}\) beschrieben werden. Wir erhalten also als Ergebnis\[X_L = {\omega \cdot L}\;;\;\Delta \varphi = +\frac{\pi}{2}\]
Wechselstromwiderstand und Phasenverschiebung einer Spule
Bei sinusförmiger Spannung gilt für den Wechselstromwiderstand \(X_L\) eines induktiven Widerstands (Spule) und die dabei auftretende Phasenverschiebung \(\varphi\) der abfallenden Spannung gegenüber der Stromstärke1\[X_L = \omega \cdot L\;;\;\Delta \varphi = + \frac{\pi }{2}\]Die Phasenverschiebung \(\Delta \varphi = +\frac{\pi }{2}\) wird so interpretiert, dass "die Spannung der Stromstärke um \(\frac{\pi }{2}\) (\(90^\circ\)) vorauseilt."
1Wir folgen bei dieser Definition ("Verschiebung der Spannung gegenüber der Stromstärke") der DIN-Norm, denn natürlich könnte man umgekehrt auch die Verschiebung der Stromstärke gegenüber der Spannung betrachten. Die DIN-Normierung ist aber auch messtechnisch naheliegend, wenn man sagt, dass durch ein Bauelement in einem Stromkreis ein elektrischer Strom fließt und man dann die über dem Bauteil abfallende Spannung auf diesen Strom in Form einer Phasenverschiebung bezieht.