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Aufgabe

Wechselstromwiderstand einer realen Spule (Abitur BY 2009 LK A2-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Um die Frequenzabhängigkeit des Widerstands einer realen Spule bei sinusförmiger Wechselspannung zu untersuchen, betrachtet man die reale Spule als Serienschaltung eines rein OHMschen Widerstandes \(R = 12\Omega \) und einer idealen Spule der Induktivität \(L = 36{\rm{mH}}\). Für den Wechselstromwiderstand \(X\) einer realen Spule gilt \(X = \sqrt {{R^2} + {{\left( {2 \cdot \pi  \cdot f \cdot L} \right)}^2}} \) (Herleitung nicht erforderlich).

a)Berechne den Wechselstromwiderstand \(X\) der realen Spule für die Frequenzen \(0{\rm{Hz}}\), \(20{\rm{Hz}}\), \(40{\rm{Hz}}\), \(60{\rm{Hz}}\), \(80{\rm{Hz}}\) und \(100{\rm{Hz}}\).

Fertige mit Hilfe dieser Werte ein \(f\)-\(X\)-Diagramm für den Bereich \(0 \le f \le 100{\rm{Hz}}\) an. (6 BE)

b)Trage in das Diagramm von Teilaufgabe a) auch den Graphen für den rein induktiven Widerstand \(X_L\) der Spule in Abhängigkeit von \(f\) ein.

Berechne, ab welcher Frequenz der Wechselstromwiderstand \(X\) vom induktiven Widerstand \(X_L\) um weniger als \(1\% \) abweicht. (8 BE)

c)Nun schaltet man die reale Spule mit einem Kondensator in Reihe, legt eine Wechselspannung variabler Frequenz \(f\) an und misst die Stromstärke \(I\).

Entscheide, welche der folgenden Diagramme könnten mit dieser Versuchsanordnung aufgezeichnet worden sein.

Begründe deine Entscheidung an Hand des Wechselstromverhaltens der verwendeten Bauteile. (6 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Man erhält folgende Tabelle:

\(f\;{\rm{in}}\;{\rm{Hz}}\) \(0\) \(20\) \(40\) \(60\) \(80\) \(100\)
\(X\;{\rm{in}}\;{\rm{\Omega }}\) \(12\) \(13\) \(15\) \(18\) \(22\) \(26\)

Man erhält folgendes Diagramm:

b)Der Graph des rein induktiven Widerstands ist eine Ursprungsgerade (z.B. durch \(\left( {80{\rm{Hz}}|18\Omega } \right)\)).

Berechnung des Frequenzbereichs, in dem \(\frac{{X - {X_L}}}{{{X_L}}} < 0,01\)  ist:\[{\frac{{X - {X_L}}}{{{X_L}}} < 0,01 \Leftrightarrow X - {X_L} < 0,01 \cdot {X_L} \Leftrightarrow X < 1,01 \cdot {X_L} \Rightarrow {X^2} < {{\left( {1,01 \cdot {X_L}} \right)}^2} = {{1,01}^2} \cdot {X_L}^2}\]Einsetzen der bekannten Terme für \(X\) und \(X_L\) liefert dann\[{{R^2} + {{\left( {2 \cdot \pi \cdot f \cdot L} \right)}^2} < {{1,01}^2} \cdot {{\left( {2 \cdot \pi \cdot f \cdot L} \right)}^2} \Leftrightarrow {R^2} < \underbrace {\left( {{{1,01}^2} - 1} \right)}_{0,0201} \cdot {{\left( {2 \cdot \pi  \cdot f \cdot L} \right)}^2} \Rightarrow R < 0,142 \cdot 2 \cdot \pi  \cdot f \cdot L}\]Auflösen nach \(f\) ergibt schließlich\[{f > \frac{R}{{0,284 \cdot \pi  \cdot L}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[f > \frac{{12\frac{{\rm{V}}}{{\rm{A}}}}}{{0,284 \cdot \pi  \cdot 36 \cdot {{10}^{ - 3}}\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{A}}}}} = 0,37{\rm{kHz}}\]

c)Für sehr niedere Frequenzen „sperrt“ in dieser Serienschaltung aus Spule und Kondensator der Kondensator, d.h. der Gesamtstrom muss sehr klein ausfallen. Daher scheiden die Diagramme 3 und 4 aus.

Für sehr hohe Frequenzen „sperrt“ die Spule, d.h. der Gesamtstrom muss sehr klein ausfallen. Daher scheidet das Diagramm1 aus.

Nur Diagramm 2 ist möglich, es zeigt den typischen Verlauf einer Serienresonanz.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Wechselstromtechnik