Ein Sinusgenerator wird an eine Spule der Induktivität \(L\) angeschlossen. Der ohmsche Widerstand der Spule ist zu vernachlässigen.
a)Man will experimentell den Zusammenhang zwischen dem Wechselstromwiderstand \({X_L}\) der Spule und der Frequenz \(f\) herausfinden.
Zeichnen Sie eine geeignete Schaltung mit den erforderlichen Messgeräten und erläutern Sie, wie \({X_L}\) damit bestimmt wird. (4 BE)
b)Mit Hilfe der Messwerte aus obigem Versuch wurde folgende Tabelle ermittelt:
\(f\;{\rm{in}}\;{\rm{kHz}}\)
\(0{,}60\)
\(0{,}80\)
\(1{,}4\)
\({X_L}\;{\rm{in}}\;{\rm{k\Omega }}\)
\(0{,}21\)
\(0{,}28\)
\(0{,}49\)
Werten Sie die Tabelle graphisch aus und ermitteln Sie den Zusammenhang zwischen \({X_L}\) und \(f\) für diese Spule. (5 BE)
c)Leiten Sie den Zusammenhang zwischen \({X_L}\) und \(f\) für eine ideale Spule allgemein her. Berechnen Sie die Induktivität der oben benutzten Spule. (8 BE)
d)Am Sinusgenerator werden nun der Effektivwert der Spannung \({U_{{\rm{eff}}}} = 7,1{\rm{V}}\) und die Frequenz \(f = 1,5{\rm{kHz}}\) eingestellt.
Berechnen Sie die Scheitelwerte von Strom und Spannung. (4 BE)
e)Skizzieren Sie in einem Diagramm den zeitlichen Verlauf von Stromstärke und Spannung, wobei zur Zeit \(t = 0\rm{s}\) die Spannung ihren maximalen Wert annehmen soll. Kennzeichnen Sie in der Zeichnung alle Zeitabschnitte, in denen die magnetische Feldenergie der Spule zunimmt und begründen Sie kurz ihr Vorgehen. (6 BE)
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Der Wechselstromwiderstand wird aus den Effektivwerten von Spannung und Strom bestimmt. Die Frequenz wird z.B. mit einem Digitalzähler oder einem Oszilloskop bestimmt.\[{X_L} = \frac{{{U_{{\rm{eff}}}}}}{{{I_{{\rm{eff}}}}}}\]
c)\[U(t) + {U_{ind}}(t) = 0 \Leftrightarrow \hat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right) - L \cdot \dot I\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \dot I\left( t \right) = \frac{{\hat U}}{L} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]
Daraus ergibt sich durch Integration
\[I(t) = - \frac{1}{\omega } \cdot \frac{{\hat U}}{L} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) = \frac{{\hat U}}{{\omega \cdot L}} \cdot \sin \left( {\omega \cdot t - \frac{\pi }{2}} \right)\]
Daraus ergibt sich weiter
\[{X_L} = \frac{{{U_{{\rm{eff}}}}}}{{{I_{{\rm{eff}}}}}} \Rightarrow {X_L} = \frac{{\hat U}}{{\frac{{\hat U}}{{\omega \cdot L}}}} = \omega \cdot L = 2 \cdot \pi \cdot f \cdot L \Leftrightarrow L = \frac{{{X_L}}}{{2 \cdot \pi \cdot f}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[L = \frac{{0,35\frac{\Omega }{{{\rm{Hz}}}} \cdot f}}{{2 \cdot \pi \cdot f}} = \frac{{0,35\frac{\Omega }{{{\rm{Hz}}}}}}{{2 \cdot \pi }} = 5,6 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{H}} = 56{\rm{mH}}\]
d)\[\hat U = \sqrt 2 \cdot {U_{{\rm{eff}}}} \Rightarrow \hat U = \sqrt 2 \cdot 7,1{\rm{V}} = 10{\rm{V}}\]
\[\hat I = \frac{{\hat U}}{{{X_L}}} \Rightarrow \hat I = \frac{{10{\rm{V}}}}{{0,35\frac{\Omega }{{{\rm{Hz}}}} \cdot 1,5 \cdot {{10}^3}{\rm{Hz}}}} = 1,9 \cdot {10^2}{\rm{A}} = 19{\rm{mA}}\]
e)Die Energie \({W_{{\rm{mag}}}} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot {I^2}\) des Magnetischen Feldes nimmt zu, wenn \(\left| I \right|\) zunimmt. Dies ist in den grau markierten Bereichen der Fall.
