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Aufgabe

Sperrkreis (Abitur BY 2003 LK A2-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Eine ideale Spule mit der Induktivität \({L_0}\) und ein Kondensator mit der Kapazität \(C\) sind parallel geschaltet und an einen Sinusgenerator mit der Effektivspannung \({U_{{\rm{eff}}}} = 200{\rm{V}}\) und der Frequenz \(f = 50{\rm{Hz}}\) angeschlossen. Der ohmsche Widerstand des gesamten Kreises sei vernachlässigbar klein.

a)Zeige allgemein: Sind die Effektivstromstärken in der Spule und im Kondensator gleich groß, schwingt der Kreis mit seiner Eigenfrequenz. (6 BE)

b)Die Messgeräte für \({I_L}\) und \({I_C}\) zeigen jeweils die Effektivstromstärke \(0,20{\rm{A}}\).

Berechne die Induktivität \({L_0}\) und die Kapazität \(C\).

Bestimme mit kurzer Begründung die Stromstärke \({I_{\rm{G}}}\) in der Zuleitung. (8 BE)

c)In die Spule wird nun ein Eisenkern geschoben.

Erläutere, wie sich dadurch die Stromstärken in den Messgeräten und die Eigenfrequenz \({f_0}\) des Schwingkreises ändern. (6 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Da es sich um eine Parallelschaltung von Spule und Kondensator handelt, gilt\[{U_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;L}} = {U_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;C}}\]Zusätzlich mit der Bedingung \({I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;L}} = {I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;C}}\) ergibt sich dann durch Division der beiden Gleichungen\[\frac{{{U_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;L}}}}{{{I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;L}}}} = \frac{{{U_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;C}}}}{{{I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;C}}}} \Leftrightarrow \omega  \cdot L = \frac{1}{{\omega  \cdot C}} \Leftrightarrow \omega  = \frac{1}{{\sqrt {L \cdot C} }} \Rightarrow f = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {L \cdot C} }}\]Dies ist aber genau die Formel für die Eigenfrequenz des Schwingkreises.

b)Es ergibt sich\[\frac{{{U_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;L}}}}{{{I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;L}}}} = \omega  \cdot {L_0} = 2 \cdot \pi  \cdot f \cdot {L_0} \Leftrightarrow {L_0} = \frac{{{U_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;L}}}}{{2 \cdot \pi  \cdot f \cdot {I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;L}}}} \Rightarrow {L_0} = \frac{{200{\rm{V}}}}{{2 \cdot \pi  \cdot 50{\rm{Hz}} \cdot 0,20{\rm{A}}}} = 3,2{\rm{H}}\]und\[\frac{{{U_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;C}}}}{{{I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;C}}}} = \frac{1}{{\omega  \cdot C}} = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot f \cdot C}} \Leftrightarrow C = \frac{{{I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;C}}}}{{2 \cdot \pi  \cdot f \cdot {U_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;C}}}} \Rightarrow C = \frac{{0,20{\rm{A}}}}{{2 \cdot \pi  \cdot 50{\rm{Hz}} \cdot 200{\rm{V}}}} = 3,2{\rm{\mu F}}\]Da \({I_L}\) und \({I_C}\) gegenphasig und betraglich gleich groß sind, ist ihre Summe \({I_{\rm{G}}} = 0\).

c)Bei Einschieben des Eisenkerns wird \(L\) größer und damit \({X_L}\) größer und \({{I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;L}}}\) kleiner. Im Kondensatorzweig ändert sich nichts. Dadurch überwiegt der Strom im Kondensatorzweig und \({I_{\rm{G}}}\) wird größer und gleichphasig zum Kondensatorzweig. Die Eigenfrequenz wird (siehe Formel) geringer.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Wechselstromtechnik