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Aufgabe

Parallelresonanzkreis (Abitur BY 2000 LK A2-1)

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Die skizzierte Schaltung enthält einen Kondensator, dessen Kapazität zwischen \(50{\rm{pF}}\) und \(500{\rm{pF}}\) verändert werden kann. Die Spule hat die Induktivität \(45{\rm{\mu H}}\), ihr ohmscher Widerstand ist vernachlässigbar. Die Spannungsquelle liefert die Wechselspannung \(U(t) = \hat U \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\) mit dem Scheitelwert \(\hat U = 6,0{\rm{V}}\) und der Frequenz \(f = 1,5{\rm{MHz}}\). Der Schalter ist zunächst geöffnet, der Kondensator auf kleinste Kapazität eingestellt.

a)Berechne, welchen Effektivwert das Amperemeter anzeigt. [zur Kontrolle: \(2,0{\rm{mA}}\)] (2 BE)

b)Zeichne den zeitlichen Verlauf der Stromstärke \(I(t)\) und der Spannung \(U(t)\) in ein gemeinsames Koordinatensystem. (6 BE)

Nun wird der Schalter geschlossen.

c)Berechne den Effektivwert der Stromstärke in der Spule.

Gib an, welche Phasenbeziehung zwischen den Stromstärken in der Spule und im Kondensator besteht.

Bestimme den Wert, den das Amperemeter jetzt anzeigt. (5 BE)

d)Die Kapazität des Kondensators wird nun kontinuierlich vergrößert.

Begründe, dass dabei die vom Amperemeter angezeigte Stromstärke zunächst abnimmt, ein Minimum erreicht und dann wieder ansteigt.

Berechne, bei welcher Kapazität das Amperemeter die kleinste Stromstärke anzeigt. (7 BE)

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Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Bei geöffnetem Schalter liegt nur der Kondensator an der Wechselspannungsquelle:\[{X_C} = \frac{{{U_{{\rm{eff}}}}}}{{{I_{{\rm{eff}}}}}} \Leftrightarrow {I_{{\rm{eff}}}} = \frac{{{U_{{\rm{eff}}}}}}{{{X_C}}} \quad(1)\]Weiter gilt\[{X_C} = \frac{1}{{\omega  \cdot C}} = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot f \cdot C}} \Rightarrow {X_C} = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot 1,5 \cdot {{10}^6}{\rm{Hz}} \cdot 50 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{F}}}} = 2,1 \cdot {10^3}\Omega  = 2,1{\rm{k\Omega \quad(2)}}\]und außerdem\[{U_{{\rm{eff}}}} = \frac{{\hat U}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {U_{{\rm{eff}}}} = \frac{{6,0{\rm{V}}}}{{\sqrt 2 }} = 4,2{\rm{V}} \quad(3)\]Setzt man \((2)\) und \((3)\) in \((1)\) ein, so erhält man\[{I_{{\rm{eff}}}} = \frac{{4,2{\rm{V}}}}{{2,1 \cdot {{10}^3}\Omega }} = 2,0 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{A}} = 2,0{\rm{mA}}\]

b) Für die Schwingungsdauer gilt\[T = \frac{1}{f} \Rightarrow T = \frac{1}{{1,5 \cdot {{10}^6}{\rm{Hz}}}} = 0,67{\rm{\mu s}}\]Für den Scheitelwert der Stromstärke gilt\[\hat I = {I_{{\rm{eff}}}} \cdot \sqrt 2  \Rightarrow \hat I = 2,0{\rm{mA}} \cdot \sqrt 2  = 2,8{\rm{mA}}\]Beim Kondensator eilt der Strom der Spannung um \(\frac{\pi }{2}\) voraus.

c)\[{X_L} = \omega  \cdot L = 2 \cdot \pi  \cdot f \cdot L \Rightarrow {X_L} = 2 \cdot \pi  \cdot 1,5 \cdot {10^6}{\rm{Hz}} \cdot 45 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{H}} = 4,2 \cdot {10^2}\Omega \]\[{I_{{\rm{eff}}}} = \frac{{{U_{{\rm{eff}}}}}}{{{X_L}}} \Rightarrow {I_{{\rm{eff}}}} = \frac{{4,2{\rm{V}}}}{{4,2 \cdot {{10}^2}\Omega }} = 1,0 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{A}} = 10{\rm{mA}}\]

Die Stromstärken in Spule und Kondensator sind gegenphasig.

Das Amperemeter zeigt jetzt den Strom \({I_{{\rm{eff}}}} = {I_{{\rm{eff}},\;L}} - {I_{{\rm{eff}},\;C}} = 10{\rm{mA}} - 2,0{\rm{mA}} = 8,0{\rm{mA}}\) an.

d)Wenn der Kondensator im Bereich \(50{\rm{pF}} < C < 500{\rm{pF}}\) variiert, so variiert der Wechselstromwiderstand im Bereich \(2,1{\rm{k\Omega }} < {X_C} < 0,21{\rm{k\Omega }}\). Dies hat zur Folge, dass der Effektivstrom durch den Kondensator im Bereich \(2,0{\rm{mA}} < {I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}C}} < 20{\rm{mA}}\) variiert.

Der Effektivstrom durch die Spule ist konstant \({I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;L}} = 10{\rm{mA}}\). Der Effektivwert des Gesamtstroms in der Hauptleitung ist \({I_{{\rm{eff}}}} = \left| {{I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;\;L}} - {I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;\;C}}} \right|\). Der Effektivwert nimmt also von \(8,0{\rm{mA}}\) auf \(0{\rm{mA}}\) ab und steigt dann wieder auf \(\left| {10{\rm{mA}} - 20{\rm{mA}}} \right| = 10{\rm{mA}}\) an. Im Resonanzfall gilt\[{X_C} = {X_L} \Leftrightarrow \frac{1}{{\omega  \cdot C}} = \omega  \cdot L \Leftrightarrow C = \frac{1}{{{\omega ^2} \cdot L}} \Rightarrow C = \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot \pi  \cdot 1,5 \cdot {{10}^6}{\rm{Hz}}} \right)}^2} \cdot 45 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{H}}}} = 2,5 \cdot {10^{-10}}{\rm{F}} = 0,25{\rm{nF}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Wechselstromtechnik