Die skizzierte Schaltung enthält einen Kondensator, dessen Kapazität zwischen \(50{\rm{pF}}\) und \(500{\rm{pF}}\) verändert werden kann. Die Spule hat die Induktivität \(45{\rm{\mu H}}\), ihr ohmscher Widerstand ist vernachlässigbar. Die Spannungsquelle liefert die Wechselspannung \(U(t) = \hat U \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\) mit dem Scheitelwert \(\hat U = 6,0{\rm{V}}\) und der Frequenz \(f = 1,5{\rm{MHz}}\). Der Schalter ist zunächst geöffnet, der Kondensator auf kleinste Kapazität eingestellt.
Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.
a)Bei geöffnetem Schalter liegt nur der Kondensator an der Wechselspannungsquelle:\[{X_C} = \frac{{{U_{{\rm{eff}}}}}}{{{I_{{\rm{eff}}}}}} \Leftrightarrow {I_{{\rm{eff}}}} = \frac{{{U_{{\rm{eff}}}}}}{{{X_C}}} \quad(1)\]Weiter gilt\[{X_C} = \frac{1}{{\omega \cdot C}} = \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot f \cdot C}} \Rightarrow {X_C} = \frac{1}{{2 \cdot \pi \cdot 1,5 \cdot {{10}^6}{\rm{Hz}} \cdot 50 \cdot {{10}^{ - 12}}{\rm{F}}}} = 2,1 \cdot {10^3}\Omega = 2,1{\rm{k\Omega \quad(2)}}\]und außerdem\[{U_{{\rm{eff}}}} = \frac{{\hat U}}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow {U_{{\rm{eff}}}} = \frac{{6,0{\rm{V}}}}{{\sqrt 2 }} = 4,2{\rm{V}} \quad(3)\]Setzt man \((2)\) und \((3)\) in \((1)\) ein, so erhält man\[{I_{{\rm{eff}}}} = \frac{{4,2{\rm{V}}}}{{2,1 \cdot {{10}^3}\Omega }} = 2,0 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{A}} = 2,0{\rm{mA}}\]
b) Für die Schwingungsdauer gilt\[T = \frac{1}{f} \Rightarrow T = \frac{1}{{1,5 \cdot {{10}^6}{\rm{Hz}}}} = 0,67{\rm{\mu s}}\]Für den Scheitelwert der Stromstärke gilt\[\hat I = {I_{{\rm{eff}}}} \cdot \sqrt 2 \Rightarrow \hat I = 2,0{\rm{mA}} \cdot \sqrt 2 = 2,8{\rm{mA}}\]Beim Kondensator eilt der Strom der Spannung um \(\frac{\pi }{2}\) voraus.
Die Stromstärken in Spule und Kondensator sind gegenphasig.
Das Amperemeter zeigt jetzt den Strom \({I_{{\rm{eff}}}} = {I_{{\rm{eff}},\;L}} - {I_{{\rm{eff}},\;C}} = 10{\rm{mA}} - 2,0{\rm{mA}} = 8,0{\rm{mA}}\) an.
d)Wenn der Kondensator im Bereich \(50{\rm{pF}} < C < 500{\rm{pF}}\) variiert, so variiert der Wechselstromwiderstand im Bereich \(2,1{\rm{k\Omega }} < {X_C} < 0,21{\rm{k\Omega }}\). Dies hat zur Folge, dass der Effektivstrom durch den Kondensator im Bereich \(2,0{\rm{mA}} < {I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}C}} < 20{\rm{mA}}\) variiert.
Der Effektivstrom durch die Spule ist konstant \({I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;L}} = 10{\rm{mA}}\). Der Effektivwert des Gesamtstroms in der Hauptleitung ist \({I_{{\rm{eff}}}} = \left| {{I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;\;L}} - {I_{{\rm{eff}}{\rm{,}}\;\;C}}} \right|\). Der Effektivwert nimmt also von \(8,0{\rm{mA}}\) auf \(0{\rm{mA}}\) ab und steigt dann wieder auf \(\left| {10{\rm{mA}} - 20{\rm{mA}}} \right| = 10{\rm{mA}}\) an. Im Resonanzfall gilt\[{X_C} = {X_L} \Leftrightarrow \frac{1}{{\omega \cdot C}} = \omega \cdot L \Leftrightarrow C = \frac{1}{{{\omega ^2} \cdot L}} \Rightarrow C = \frac{1}{{{{\left( {2 \cdot \pi \cdot 1,5 \cdot {{10}^6}{\rm{Hz}}} \right)}^2} \cdot 45 \cdot {{10}^{ - 6}}{\rm{H}}}} = 2,5 \cdot {10^{-10}}{\rm{F}} = 0,25{\rm{nF}}\]