Induktion und Transformator

Vorbetrachtung

Bei der Versorgung mit elektrischer Energie besteht eine Reihenschaltung von Quelle (Q), Leitung (L) und Verbraucher (V).

Als Vereinfachung nehmen wir an, dass Hin- und Rückleitung in einem einzigen Widerstand \({R_{\rm{L}}}\) vereinigt sind. Dann gilt für Stromstärke \({I_{\rm{Q}}}\), Spannung \({U_{\rm{Q}}}\) und Leistung \({P_{\rm{Q}}}\)
\[\begin{array}{l}{I_{\rm{Q}}} = {I_{\rm{L}}} = {I_{\rm{V}}} = I\\{U_{\rm{Q}}} = {U_{\rm{L}}} + {U_{\rm{V}}}\\{P_{\rm{Q}}} = {P_{\rm{L}}} + {P_{\rm{V}}}\end{array}\]

Erstes "leuchtendes Beispiel"

Als Quelle nutzen wir die \(230{\rm{V}}\)-Steckdose, als "Leitung" eine Glühlampe mit \(230{\rm{V}}/100{\rm{W}}\) und als Verbraucher eine Glühlampe mit \(230{\rm{V}}/40{\rm{W}}\).

1. Bestimme die Widerstände der beiden Lampen unter Normalbedingungen.

   Für die Widerstände gilt allgemein
   \[P = U \cdot I \Leftrightarrow I = \frac{P}{U} \Rightarrow R = \frac{U}{I} = \frac{{{U^2}}}{P}\]
   Für die \(100{\rm{W}}\)Lampe gilt dann
   \[{R_{100W}} = \frac{{{{(230{\rm{V}})}^2}}}{{100{\rm{W}}}} = 529{\rm{\Omega }}\]
   und für die \(40{\rm{W}}\)-Lampe
   \[{R_{40W}} = \frac{{{{(230{\rm{V}})}^2}}}{{40{\rm{W}}}} = 1320{\rm{\Omega }}\]

2. Nimm vereinfachend an, dass die Widerstände der beiden Lampen konstant und gleich ihrem Widerstand bei Normalbedingungen sind und berechne damit die abfallenden Teilspannungen sowie den Wirkungsgrad der Anordnung.

   Die Widerstände verhalten sich wie \(10:4\); da \(I\) gleich ist, verhalten sich auch die Teilspannungen und die Teilleistungen wie \(10:4\). Für den Wirkungsgrad gilt deshalb
   \[\eta  = \frac{{{P_V}}}{{{P_V} + {P_L}}} = \frac{{{R_{40W}} \cdot {I^2}}}{{({R_{100W}} + {R_{40W}}) \cdot {I^2}}}\, \Rightarrow \eta  = \frac{{1320{\rm{\Omega }}}}{{1320{\rm{\Omega }} + 529{\rm{\Omega }}}} = 71\% \]

3. Die vereinfachende Annahme von Teilaufgaben b) ist nur dann richtig, wenn die Lampendrähte konstante Temperatur hätten. Erläutere, wie sich der Widerstand der Lampen mit steigender Temperatur ändert und was man daraus für den wirklichen Wirkungsgrad der Anordnung aussagen kann.

   Eine Glühlampe hat im heißen Zustand einen größeren Widerstand als im kalten. Deshalb ist das Widerstandsverhältnis im vorliegenden Fall größer als \(10:4\) und der Wirkungsgrad größer als der in Teilaufgabe b) berechnete: \(\eta  > 71\% \).

4. Erläutere, was geschieht, wenn man den Verbraucher (hier die \(40{\rm{W}}\)-Lampe) kurzschließt.

   Die \(40{\rm{W}}\)-Lampe erlischt und die \(100{\rm{W}}\)-Lampe leuchtet normal.

   Anmerkung: Bei einem Verbraucher ohne funktionstüchtige Sicherung kann bei einem Kurzschluss die Zuleitung glühen und einen Hausbrand verursachen. Bei einem Kurzschluss eines normal abgesicherten Verbrauchers wird die Sicherung aktiviert. In unserem Fall übernimmt die \(100{\rm{W}}\)-Lampe die Sicherungsfunktion und begrenzt den Strom. Bei einer Schmelzsicherung würde der Schmelzdraht durchglühen und bei einem Sicherungsautomat würde der Elektromagnet den Stromkreis öffnen.

Zweites "leuchtendes Beispiel"

Als Quelle nutzen wir wieder die \(230{\rm{V}}\)-Steckdose, als "Leitung" nun die Glühlampe mit \(230{\rm{V}}/40{\rm{W}}\) und als Verbraucher nun die Glühlampe mit \(230{\rm{V}}/100{\rm{W}}\).

Nimm wieder vereinfachend an, dass die Widerstände der beiden Lampen konstant und gleich ihrem Widerstand bei Normalbedingungen sind und berechne damit den Wirkungsgrad dieser zweiten Anordnung.

Drittes "leuchtendes Beispiel"

Als Quelle nutzen wir wieder die \(230{\rm{V}}\)-Steckdose, als "Leitung" wieder die Glühlampe mit \(230{\rm{V}}/40{\rm{W}}\) und als Verbraucher wieder die Glühlampe mit \(230{\rm{V}}/100{\rm{W}}\). Es werden aber nun zwei Transformatoren in die Zuleitung geschaltet, und zwar der erste mit dem Übersetzungsverhältnis \(500:10000\) vor und der zweite mit dem Übersetzungsverhältnis \(10000:500\) hinter die "Leitung" geschaltet.

Nimm wieder vereinfachend an, dass die Widerstände der beiden Lampen konstant und gleich ihrem Widerstand bei Normalbedingungen sind und berechne damit den Wirkungsgrad dieser dritten Anordnung. Nimm dazu weiter an, dass die beiden Transformatoren verlustfrei mit einem Wirkungsgrad von 100% sind.