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Aufgabe

Transformator oder Vorwiderstand

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Eine Lampe \(6,0{\rm{V}}/5,0{\rm{A}}\) soll mit der Netzspannung von \(230{\rm{V}}\) betrieben werden.

Möglichkeit 1: Verwendung eines Vorwiderstandes \({R_{\rm{V}}}\)

a)Berechne den nötigen Vorwiderstand \({R_{\rm{V}}}\).

b)Berechne die Leistung, die beim Betrieb der Lampe mit Vorwiderstand insgesamt dem Netz entnommen wird.

c)Berechne den Wirkungsgrad der Anordnung, das ist das Verhältnis der von der Lampe verwendeten zu der dem Netz entnommenen Leistung.

 

Möglichkeit 2: Betreiben mit einem Transformator

d)Berechne die Windungszahl der Sekundärspule, wenn die Primärspule \({N_{\rm{P}}} = 150\) Windungen hat.

e)Der Kupferdraht in der Primärspule hat einen Widerstand von \(1,0\Omega \), der in der Sekundärspule einen von \(0,20\Omega \). Berechne zunächst den Strom in der Primärspule und dann die Verlustleistungen in Primär und Sekundärspule.

f)Berechne den Wirkungsgrad dieser Transformatoranordnung auf Grund der Verlustleistungen an den ohmschen Widerständen.

g)Beurteile, welche der beiden Anordnungen wirtschaftlicher und welche sicherer ist.

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a)Am Vorwiderstand muss die Spannung \(230{\rm{V}} - 6,0{\rm{V}} = 224{\rm{V}}\) abfallen und durch ihn der selbe Strom von \(5,0\rm{A}\) wie durch die Lampe fließen. Daraus ergibt sich der Vorwiderstand \({R_{\rm{V}}}\) zu\[{R_{\rm{V}}} = \frac{{{U_R}}}{I} \Rightarrow {R_{\rm{V}}} = \frac{{224{\rm{V}}}}{{5,0{\rm{A}}}} = 45\Omega \]

b)Dem Netz wird die Leistung von \({P_1} = 230{\rm{V}} \cdot 5,0{\rm{A}} = 1150{\rm{W}}\) entnommen.

c)Die Lampe setzt die Leistung \({P_{\rm{L}}} = 6,0{\rm{V}} \cdot 5,0{\rm{A}} = 30{\rm{W}}\) um. Daraus ergibt sich der Wirkungsgrad\[{\eta _1} = \frac{{{P_{\rm{L}}}}}{{{P_{\rm{1}}}}} \Rightarrow {\eta _1} = \frac{{30{\rm{W}}}}{{1150{\rm{W}}}} = 0,026 = 2,6\% \]

d)\[\frac{{{U_{\rm{S}}}}}{{{U_{\rm{P}}}}} = \frac{{{N_{\rm{S}}}}}{{{N_{\rm{P}}}}} \Leftrightarrow {N_{\rm{S}}} = {N_{\rm{P}}} \cdot \frac{{{U_{\rm{S}}}}}{{{U_{\rm{P}}}}} \Rightarrow {N_{\rm{S}}} = 150 \cdot \frac{{6,0{\rm{V}}}}{{230{\rm{V}}}} = 4\]Die Sekundärspule hat 4 Windungen.

e)\[\frac{{{I_{\rm{P}}}}}{{{I_{\rm{S}}}}} = \frac{{{N_{\rm{S}}}}}{{{N_{\rm{P}}}}} \Leftrightarrow {I_{\rm{P}}} = {I_{\rm{S}}} \cdot \frac{{{N_{\rm{S}}}}}{{{N_{\rm{P}}}}} \Rightarrow {I_{\rm{P}}} = 5,0{\rm{A}} \cdot \frac{4}{{150}} = 0,13{\rm{A}}\]Für die Leistung gilt allgemein \(P = R \cdot {I^2}\). Daraus ergeben sich die Verlustleistungen\[P_{\rm{P}} = 1,0\Omega  \cdot {\left( {0,13{\rm{A}}} \right)^2} = 0,017{\rm{W}}\]und\[P_{\rm{S}} = 0,20\Omega  \cdot {\left( {5,0{\rm{A}}} \right)^2} = 5,0{\rm{W}}\]und somit die Gesamtverlustleistung\[P_2 = P_{\rm{L}} + {P_{\rm{P}}} + {P_{\rm{S}}} = 30{\rm{W}} + 5,0{\rm{W}} + 0,017{\rm{W}} = 35,017{\rm{W}}\]

f)\[{\eta _2} = \frac{{{P_{\rm{L}}}}}{P_2} \Rightarrow {\eta _2} = \frac{{30{\rm{W}}}}{{35,017{\rm{W}}}} = 0,86 = 86\% \]

g)Die zweite Möglichkeit ist wirtschaftlicher (\(86\% \) Wirkungsgrad gegenüber \(2,6\% \)) und sie ist sicherer, weil niedrigere Spannung am Gerät anliegt.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Transformator - Fernübertragung