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Aufgabe

Modellversuch zur Fernübertragung

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Hinweis: Diese Aufgabe ist nur dann vollständig lösbar, wenn man über den spezifischen elektrischen Widerstand Bescheid weiß.

Eine Glühlampe (\(220{\rm{V}}/15{\rm{W}}\)) soll von einem \(110{\rm{km}}\) entfernten Modell-Elektrizitätswerk betrieben werden. Zur Verfügung steht eine Kupfer-Doppelleitung mit einem Querschnitt von \(0,75{\rm{mm}}^2\) pro Ader.

a)Berechne den Widerstand \({R_{{\rm{Lampe}}}}\) der Glühlampe sowie den Widerstand \({R_{\rm{L}}}\) der gesamten Fernleitung. (\({\rho _{{\rm{Cu}}}} = 0,017\frac{{\Omega  \cdot {\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}}{{\rm{m}}}\))

b)Berechne die Stromstärke \({I_{\rm{L}}}\) in der Fernleitung, wenn das Modell-Elektrizitätswerk nur die Spannung \(220{\rm{V}}\) liefert.

c)Berechne in diesem Fall die Verlustleistung \({P_{\rm{V}}}\) in der Fernleitung und die in der Lampe umgesetzte elektrische Leistung \({P_{\rm{Lampe}}}\). Untersuche, welchen Wirkungsgrad man für diese Energieübertragung ansetzen könnte.

Die Spannung des Elektrizitätswerkes wird vor der Fernleitung um den Faktor \(20\) hochtransformiert. Vor dem Verbraucher transformiert ein Trafo (Windungsverhältnis \(20:1\)) die Spannung wieder herunter.

d)Skizziere die gesamte Anordnung schematisch.

e)Berechne den Strom \({I_{\rm{L}}}^*\) der nun in der Fernleitung fließt. Hinweis: Überlege dir, wie sich der Lampenwiderstand in der Fernleitung auswirkt (Widerstandstransformation).

Berechne in diesem Fall die Verlustleistung \({P_{\rm{V}}}^*\) in der Fernleitung.

g)Berechne, welche elektrische Leistung \({P_{\rm{Lampe}}}^*\) nun in der Lampe umgesetzt wird und welchen Wirkungsgrad man nun für die Übertragung ansetzen kann.

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a)Zuerst berechnet man die Stromstärke \({I_{{\rm{Lampe}}}}\): \[{P_{{\rm{Lampe}}}} = {U_{{\rm{Lampe}}}} \cdot {I_{{\rm{Lampe}}}} \Leftrightarrow {I_{{\rm{Lampe}}}} = \frac{{{P_{{\rm{Lampe}}}}}}{{{U_{{\rm{Lampe}}}}}} \Rightarrow {I_{{\rm{Lampe}}}} = \frac{{15{\rm{W}}}}{{220{\rm{V}}}} = 0,068{\rm{A}}\] und dann den Lampenwiderstandes \({R_{{\rm{Lampe}}}}\): \[{U_{{\rm{Lampe}}}} = {R_{{\rm{Lampe}}}} \cdot {I_{{\rm{Lampe}}}} \Leftrightarrow {R_{{\rm{Lampe}}}} = \frac{{{U_{{\rm{Lampe}}}}}}{{{I_{{\rm{Lampe}}}}}} \Rightarrow {R_{{\rm{Lampe}}}} = \frac{{220{\rm{V}}}}{{0,068{\rm{A}}}} = 3,2{\rm{k\Omega }}\] Berechnung des Widerstand \({R_{\rm{L}}}\) der gesamten Fernleitung: \[{R_{\rm{L}}} = \rho  \cdot \frac{{2 \cdot l}}{A} \Rightarrow R = 0,017\frac{{\Omega  \cdot {\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}}{{\rm{m}}} \cdot \frac{{2 \cdot 110 \cdot {{10}^3}{\rm{m}}}}{{0,75{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}} = 5,0{\rm{k\Omega }}\]

b)Berechnung der Stromstärke \({I_{\rm{L}}}\) in der Fernleitung: \[{U_{\rm{L}}} = \left( {{R_{\rm{L}}} + {R_{{\rm{Lampe}}}}} \right) \cdot {I_{\rm{L}}} \Leftrightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{{{U_{\rm{L}}}}}{{{R_{\rm{L}}} + {R_{{\rm{Lampe}}}}}} \Rightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{{220{\rm{V}}}}{{5,0 \cdot {{10}^3}{\rm{\Omega }} + 3,2 \cdot {{10}^3}{\rm{\Omega }}}} = 2,7 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{A}} = 27{\rm{mA}}\]

c)Berechnung der Verlustleistung \({P_{\rm{V}}}\) in der Fernleitung: \[{P_{\rm{V}}} = {I_{\rm{L}}}^2 \cdot {R_{\rm{L}}} \Rightarrow {P_{\rm{V}}} = {\left( {2,7 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{A}}} \right)^2} \cdot 5,0 \cdot {10^3}{\rm{\Omega }} = 3,6{\rm{W}}\]
Berechnung der in der Lampe umgesetzte elektrische Leistung \({P_{\rm{Lampe}}}\): \[{P_{{\rm{Lampe}}}} = {I_{\rm{L}}}^2 \cdot {R_{{\rm{Lampe}}}} \Rightarrow {P_{{\rm{Lampe}}}} = {\left( {2,7 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{A}}} \right)^2} \cdot 3,2 \cdot {10^3}{\rm{\Omega }} = 2,3{\rm{W}}\] Berechnung des Wirkungsgrades \(\eta \): \[\eta  = \frac{{{P_{{\rm{Lampe}}}}}}{{{P_{{\rm{Lampe}}}} + {P_{\rm{V}}}}} \Rightarrow \eta  = \frac{{2,3{\rm{W}}}}{{2,3{\rm{W}} + 3,6{\rm{W}}}} = 39\% \]

d) 

e)Der Lampenwiderstand \({R_{{\rm{Lampe}}}}\) wirkt sich auf der Primärseite des rechten Trafos aus, wie ein Widerstand mit dem Wert \[{R_{{\rm{Lampe}}}}^* = {20^2} \cdot 3,2 \cdot {10^3}{\rm{\Omega }} = 1,28{\rm{M}}\Omega \] Damit ergibt sich für die Stromstärke \({I_{\rm{L}}}^*\) in der Fernleitung \[{U_{\rm{L}}}^* = \left( {{R_{\rm{L}}} + {R_{{\rm{Lampe}}}}^*} \right) \cdot {I_{\rm{L}}}^* \Leftrightarrow {I_{\rm{L}}}^* = \frac{{{U_{\rm{L}}}^*}}{{{R_{\rm{L}}} + {R_{{\rm{Lampe}}}}^*}} \Rightarrow {I_{\rm{L}}}^* = \frac{{20 \cdot 220{\rm{V}}}}{{5,0 \cdot {{10}^3}{\rm{\Omega }} + 1,28 \cdot {{10}^6}{\rm{\Omega }}}} = 3,4 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{A}} = 3,4{\rm{mA}}\]

f)Berechnung der Verlustleistung \({P_{\rm{V}}}^*\) in der Fernleitung: \[{P_{\rm{V}}}^* = {I_{\rm{L}}}{^*}{^2} \cdot {R_{\rm{L}}} \Rightarrow {P_{\rm{V}}}^* = {\left( {3,4 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{A}}} \right)^2} \cdot 5,0 \cdot {10^3}{\rm{\Omega }} = 5,8 \cdot {10^{ - 2}}{\rm{W}} = 58{\rm{mW}}\]

g)Berechnung der in der Lampe umgesetzten elektrischen Leistung \({P_{\rm{Lampe}}}^*\): \[{P_{{\rm{Lampe}}}}^* = {I_{\rm{L}}}{^*}{^2} \cdot {R_{{\rm{Lampe}}}} \Rightarrow {P_{{\rm{Lampe}}}}^* = {\left( {20 \cdot 3,4 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{A}}} \right)^2} \cdot 3,2 \cdot {10^3}{\rm{\Omega }} = 15{\rm{W}}\] Berechnung des Wirkungsgrades \(\eta^* \): \[{\eta ^*} = \frac{{{P_{{\rm{Lampe}}}}^*}}{{{P_{{\rm{Lampe}}}}^* + {P_{\rm{V}}}^*}} \Rightarrow {\eta ^*} = \frac{{15{\rm{W}}}}{{15{\rm{W}} + 0,058{\rm{W}}}} \approx 100\% \]