Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Flusskraftwerk

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

von Richard Huber (Eigenes Werk) [CC-BY-SA-3.0], via Wikimedia Commons

Bei einem Elektrizitätswerk am Fluss fallen je Sekunde \(230{{\rm{m}}^3}\) Wasser um \(19,4{\rm{m}}\) hinunter und treiben eine Turbine an.

a)Berechne die Leistung, die das E-Werk abgibt, wenn mit einem Wirkungsgrad von \(79\% \) gerechnet werden kann.

b)Berechne die Stromstärke in der Leitung.

c)Berechne die Leistung, mit der die Leitung erwärmt wird.

d)Berechne, welche Leistung längs der Fernleitung zusätzlich verloren geht, wenn man je Kilometer bei ungünstiger Wetterlage mit Verlusten von bis zu \(2,0{\rm{kW}}\) zu rechnen hat. Berechne weiter, was diese Verluste zusammen mit denen aus Teilaufgabe b) in einer Stunde bei einem Preis von \(0,15€\) für \(1{\rm{kWh}}\) kosten.

e)\(100{\rm{km}}\) vom E-Werk entfernt wird die Spannung von einem Transformator von \(110{\rm{kV}}\) auf \(20{\rm{kV}}\) heruntertransformiert, nach weiteren \(10{\rm{km}}\) von \(20{\rm{kV}}\) auf \(220{\rm{V}}\).

Erläutere, warum man die \(110{\rm{kV}}\) nicht direkt am Verbrauchsort auf \(220{\rm{V}}\) heruntertranformiert.

Erläutere weiter, warum man die \(110{\rm{kV}}\) nicht in \(10{\rm{km}}\) Entfernung vom Verbraucher gleich auf \(220{\rm{V}}\) heruntertransformiert.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)Berechnung der mechanischen Leistung \({P_{{\rm{mech}}}}\) aus der Fallhöhe:\[{P_{{\rm{mech}}}} = \frac{E}{t} = \frac{{m \cdot g \cdot h}}{t} = \frac{{\rho  \cdot V \cdot g \cdot h}}{t} \Rightarrow {P_{{\rm{mech}}}} = \frac{{1,0 \cdot {{10}^3}\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot 230{{\rm{m}}^3} \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot 19,2{\rm{m}}}}{{1{\rm{s}}}} = 4,33 \cdot {10^7}{\rm{W}} = 43,3{\rm{MW}}\]Berechnung der abgegebenen elektrischen Leistung \({P_{{\rm{el}}}}\):\[{P_{{\rm{el}}}} = \eta  \cdot {P_{{\rm{mech}}}} \Rightarrow {P_{{\rm{el}}}} = 0,79 \cdot 43,3{\rm{MW}} = 34,2{\rm{MW}}\]

b)Berechnung der Stromstärke \(I\) aus der elektrischen Leistung:\[{P_{{\rm{el}}}} = U \cdot I \Leftrightarrow I = \frac{{{P_{{\rm{el}}}}}}{U} \Rightarrow I = \frac{{34,2 \cdot {{10}^6}{\rm{W}}}}{{110 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}}} = 312{\rm{A}}\]

c)Berechnung der Verlustleistung \({P_{\rm{V}}}\) aus dem Strom in der Fernleitung:\[{P_{\rm{V}}} = {I^2} \cdot R \Rightarrow {P_{\rm{V}}} = {\left( {312{\rm{A}}} \right)^2} \cdot 30\Omega  = 2,9 \cdot {10^6}{\rm{W}} = 2,9{\rm{MW}}\]

d)Die Verluste \({P_{\rm{W}}}\) durch ungünsige Witterung betragen\[{P_{\rm{W}}} = 2 \cdot 100{\rm{km}} \cdot 2,0 \cdot {10^3}\frac{{\rm{W}}}{{{\rm{km}}}} = 4,0 \cdot {10^5}{\rm{W}} = 0,40{\rm{MW}}\]Somit beträgt die Summe \(P_{\rm{ges}}\) aller Verluste\[{P_{{\rm{ges}}}} = {P_{\rm{V}}} + {P_{\rm{W}}} = 2,9{\rm{MW}} + 0,40{\rm{MW}} = 3,3{\rm{MW}}\]und die somit pro Stunde hierdurch entwertete Energie\[{E_{{\rm{V,ges}}}} = {P_{{\rm{ges}}}} \cdot 1{\rm{h}} = 3,3{\rm{MWh}}\]Damit betragen die Kosten pro Stunde\[K = 3,3 \cdot {10^3}{\rm{kWh}} \cdot {\rm{0,15}}\frac{{\rm{€}}}{{{\rm{kWh}}}} = 495€\]

e)Würde man die \(110{\rm{kV}}\)-Leitung direkt bis zum Verbrauchsort führen, so wären dort sehr aufwändige Sicherheitsmaßnahmen notwendig. Die Wohngebiete würden durch die großen Hochspannungsmasten "verschandelt".

Würde man bereits in \(10{\rm{km}}\) Entfernung vom Verbrauchsort auf\(220{\rm{V}}\) heruntertransformieren, so würden auf dieser Strecke bereits nennenswerte Verluste auftreten.