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Aufgabe

Fernübertragung 1

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Hinweis: Diese Aufgabe ist nur dann vollständig lösbar, wenn man über den spezifischen elektrischen Widerstand Bescheid weiß.

Ein Elektrizitätswerk liefert die Leistung \(440{\rm{MW}}\). Diese Leistung soll bei einer Spannung von \(220{\rm{V}}\) den Verbrauchern zugeführt werden. Dabei soll der Leistungsverlust \({P_{\rm{V}}}\) in der Leitung höchstens \(10\% \) der Leistung des Elektrizitätswerkes betragen.

a)Berechne den Widerstand, den die Fernleitung höchstens haben darf.

b)Berechne, welchen Querschnitt eine Ader der \(100\rm{km}\) langen Doppelleitung aus Kupfer dann haben muss. (\({\rho _{{\rm{Cu}}}} = 0,017\frac{{\Omega  \cdot {\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}}{{\rm{m}}}\))

Um die Energieverluste zu senken, wird die Spannung beim Elektrizitätswerk auf \(220{\rm{kV}}\) hochtransformiert.

c)Berechne, wie groß der Widerstand der Fernleitung sein darf, wenn die Verlustleistung wieder höchstens \(44{\rm{MW}}\) betragen darf.

d)Berechne nun, welchen Querschnitt eine Ader der \(100\rm{km}\) langen Doppelleitung aus Kupfer jetzt haben muss.

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a)Zuerst berechnet man die Stromstärke \(I_{\rm{L}}\) in der Fernleitung: \[P = U \cdot {I_{\rm{L}}} \Leftrightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{P}{U} \Rightarrow {I_{\rm{L}}} = \frac{{440 \cdot {{10}^6}{\rm{W}}}}{{220{\rm{V}}}} = 2,00 \cdot {10^6}{\rm{A}}\] Dann berechnet man den Widerstand \(R_{\rm{L}}\) unter der Berücksichtigung von \(10\% \) Verlustleistung: \[{P_{\rm{V}}} = {I_{\rm{L}}}^2 \cdot {R_{\rm{L}}} \Leftrightarrow {R_{\rm{L}}} = \frac{{{P_{\rm{V}}}}}{{{I_{\rm{L}}}^2}} \Rightarrow {R_{\rm{L}}} = \frac{{0,10 \cdot 440 \cdot {{10}^6}{\rm{W}}}}{{{{\left( {2,00 \cdot {{10}^6}{\rm{A}}} \right)}^2}}} = 1,1 \cdot {10^{ - 5}}\Omega \]

b)Berechnung der Querschnittsfläche \(A\) über die Formel für den spezifischen Widerstand: \[{R_{\rm{L}}} = \rho  \cdot \frac{{2 \cdot l}}{A} \Leftrightarrow A = \rho  \cdot \frac{{2 \cdot l}}{{{R_{\rm{L}}}}} \Rightarrow A = 0,017\frac{{\Omega  \cdot {\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}}{{\rm{m}}} \cdot \frac{{2 \cdot 100 \cdot {{10}^3}{\rm{m}}}}{{1,1 \cdot {{10}^{ - 5}}\Omega }} = 3,0 \cdot {10^2}{{\rm{m}}^2}\] Der gesamte geschätzte Kupfervorrat der Erde würde nur zur Hälfte für diese Leitung ausreichen.

c)Zuerst berechnet man wieder die Stromstärke \({I_{\rm{L}}}^\prime \) in der Fernleitung: im "hochgespannten" Fall: \[P = U' \cdot {I_{\rm{L}}}^\prime  \Leftrightarrow {I_{\rm{L}}}^\prime  = \frac{P}{{U'}} \Rightarrow {I_{\rm{L}}}^\prime  = \frac{{440 \cdot {{10}^6}{\rm{W}}}}{{220 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}}} = 2,00 \cdot {10^3}{\rm{A}}\] Dann berechnet man wieder den Widerstand \({R_{\rm{L}}}^\prime \) unter der Berücksichtigung von \(10\% \) Verlustleistung: \[{P_{\rm{V}}} = {I_{\rm{L}}}{{^\prime} ^2} \cdot {R_{\rm{L}}}^\prime  \Leftrightarrow {R_{\rm{L}}}^\prime  = \frac{{{P_{\rm{V}}}}}{{{I_{\rm{L}}}{{^\prime }^2}}} \Rightarrow {R_{\rm{L}}}^\prime  = \frac{{0,10 \cdot 440 \cdot {{10}^6}{\rm{W}}}}{{{{\left( {2,00 \cdot {{10}^3}{\rm{A}}} \right)}^2}}} = 11\Omega \]

d)Berechnung des neuen Leiterquerschnitts: \[{R_{\rm{L}}}^\prime  = \rho  \cdot \frac{{2 \cdot l}}{{A'}} \Leftrightarrow A' = \rho  \cdot \frac{{2 \cdot l}}{{{R_{\rm{L}}}^\prime }} \Rightarrow A' = 0,017\frac{{\Omega  \cdot {\rm{m}}{{\rm{m}}^2}}}{{\rm{m}}} \cdot \frac{{2 \cdot 100 \cdot {{10}^3}{\rm{m}}}}{{11\Omega }} = 3,0{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\]