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Aufgabe

Fahrradlichtmaschine

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

von Tympanus (Eigenes Werk) [CC0], via Wikimedia Commons

Hinweis: Vor der Bearbeitung dieser - etwas komplexen - Aufgabe sollten Sie die Seite über die Fahrradlichtmaschine studieren. Im täglichen Sprachgebrauch wird die Fahrradlichtmaschine fälschlich als Dynamo bezeichnet. Der Kürze halber sprechen wir hier auch vom Dynamo.

Ein Radfahrer fährt so schnell, dass sich der Vorderreifen genau viermal in der Sekunde dreht (\({f_{\rm{R}}} = 4,0{\rm{Hz}}\)).

a)Berechne die Geschwindigkeit des Radfahrers (in \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\)), wenn der Vorderreifen einen Durchmesser von \(28{\rm{Zoll}}\) hat. (\(1{\rm{Zoll}} = 2,539{\rm{cm}}\))

b)An das Vorderrad drückt im Abstand \(34{\rm{cm}}\) von der Radachse das Reibrädchen des Dynamos, welches einen Durchmesser von \(2,0{\rm{cm}}\) besitzt.

Berechne die Frequenz, mit der sich das Reibrädchen dreht.

c)Das Reibrädchen sitzt auf der gleichen Achse wie der achtpolige Sintermagnet.

Berechne die Frequenz, die bei den obigen Daten für die vom Dynamo bereitgestellte Wechselspannung zu erwarten ist.

d)Der Vorderreifen des Fahrrads werde nun einmalig mit der Hand "in Schwung" gebracht und dann sich selbst überlassen. Der zeitliche Verlauf der am Dynamo auftretenden Spannung wird mit einem Speicheroszilloskop registriert.

Interpretiere das Oszillogramm.

e)Lässt man das Vorderrad mit konstanter Frequenz rotieren, so kann am Dynamo bei angeschalteter Beleuchtung eine nahezu sinusförmige Wechselspannung mit der Amplitude von \(5,0{\rm{V}}\) beobachtet werden.

Untersuche, ob sich die Amplitude der Wechselspannung ändert, wenn man bei gleichbleibender Rotationsfrequenz des Vorderrades die Beleuchtung vom Dynamo abklemmt.

Begründe deine Antwort.

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a)Zuerst berechnet man den Umfang \(u\) des Rades. Für dessen Radius \(r\) ergibt sich\[r = \frac{d}{2} \Rightarrow r = \frac{{28{\rm{Zoll}}}}{2} = \frac{{28 \cdot 0,02539{\rm{m}}}}{2} = 0,36{\rm{m}}\]und damit für den Umfang \(u\)\[u = 2 \cdot \pi  \cdot r \Rightarrow u = 2 \cdot \pi  \cdot 0,36{\rm{m}} = 2,3{\rm{m}}\]Wenn sich das Rad nun in der Sekunde viermal dreht, so wird dabei der Weg \(s = 4 \cdot 2,3{\rm{m}} = 9,2{\rm{m}}\) zurückgelegt. Damit ergibt sich für die Geschwindigkeit \(v\)\[v = \frac{s}{t} \Rightarrow v = \frac{{9,2{\rm{m}}}}{{1{\rm{s}}}} = 9,2\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 9,2 \cdot 3,6\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = 33\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

b)Beim einem Radius von \(34{\rm{cm}}\) hat das Rad den Umfang\[{u_{\rm{R}}} = 2 \cdot \pi  \cdot {r_{\rm{R}}} \Rightarrow {u_{\rm{R}}} = 2 \cdot \pi  \cdot 0,34{\rm{m}} = 2,13{\rm{m}}\]Für den Umfang des Rädchens des Dynamos gilt entsprechend\[{u_{\rm{D}}} = 2 \cdot \pi  \cdot {r_{\rm{D}}} \Rightarrow {u_{\rm{R}}} = 2 \cdot \pi  \cdot 0,010{\rm{m}} = 0,063{\rm{m}}\]Dreht sich nun das Vorderrad einmal, so dreht sich das Reibrädchen um das Verhältnis \(\frac{{{u_{\rm{R}}}}}{{{u_{\rm{D}}}}}\) öfter. Für die Frequenz \({f_{\rm{D}}}\) des Reibrädchens gilt dann\[{f_{\rm{D}}} = \frac{{{u_{\rm{R}}}}}{{{u_{\rm{D}}}}} \cdot {f_{\rm{R}}} \Rightarrow {f_{\rm{D}}} = \frac{{2,13{\rm{m}}}}{{0,063{\rm{m}}}} \cdot 4,0{\rm{Hz}} = 140{\rm{Hz}}\]

c)Beim Betrachten der Animation auf der Dynamoseite sieht man, dass bei einer Umdrehung des Magneten an der Spule viermal ein Nordpol-Südpol-Wechsel stattfindet. Dies hat zur Folge, dass die Frequenz der Wechselspannung viermal so groß ist wie die Rotationsfrequenz des Dynamos, so dass sich ergibt\[{f_{\rm{U}}} = 4 \cdot 140{\rm{Hz}} = 560{\rm{Hz}}\]

d)Solange der Reifen noch nicht sehr schnell rotiert, ist auch die Frequenz der Wechselspannung noch niedriger (dies ist beim Anlaufen und beim Auslaufen des Reifens der Fall). Aus dem Oszilloskopbild sieht man, dass die Amplitude der Wechselspannung bei niedriger Frequenz kleiner ist.Solange der Reifen und damit der Magnet langsamer rotiert, ist die Magnetfeldänderung in der Spule noch nicht so schnell wie bei hoher Rotationsfrequenz. Eine langsamere Magnetfeldänderung bedeutet aber nach dem Induktionsgesetz von Faraday eine niedrigere Induktionsspannung.

e)Bei abgeklemmter Beleuchtung ist die Wechselspannung höher als bei eingeschalteter Beleuchtung.

Bei eingeschalteter Beleuchtung kann Strom fließen. Somit fällt am Innenwiderstand der "Stromquelle Dynamo" eine Spannung ab, die Klemmenspannung ist kleiner als die Leerlaufspannung. Zudem bewirkt der Induktionsstrom (nach Lenz) eine Gegenspannung zur primären Induktionsspannung.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Transformator - Fernübertragung