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Aufgabe

Formeln für das Spulenfeld

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Abb. 1 Veränderung der Spulenlänge bei konstantem Spulenradius

Für die magnetische Feldstärke im Innenraum einer langgestreckten Zylinderspule (d.h. für eine Spule, deren Länge wesentlich größer ist als ihr Radius) gilt die Formel\[B = \mu_0 \cdot \frac{{N \cdot I}}{l}\quad (1)\]Kann man nicht von einer langgestreckten Zylinderspule ausgehen, so gibt es eine kompliziertere Formel für die magnetische Flussdichte, allerdings nur im Mittelpunkt der Zylinderspule\[B_0 = \mu_0 \cdot \frac{{N \cdot I}}{l} \cdot \frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{{4 \cdot {r^2}}}{{{l^2}}}} }} \quad (2)\]

a)

Erläutere, dass die "exakte" Formel \((2)\) für die Berechnung von \(B_0\) für eine langgestreckte Spule in die Formel \((1)\) für die Berechnung von \(B\) übergeht.

b)

Berechne, wie lange eine Zylinderspule mit dem Radius \(4{,}0\,\rm{cm}\) mindestens sein muss, damit der mit Formel \((2)\) exakt berechnete \(B_0\)-Wert um weniger als \(5{,}0\%\) von dem mit der Näherungsformel \((1)\) berechneten \(B\)-Wert abweicht.

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a)

Ist \({r \ll l}\), so geht der Ausdruck \(\frac{{{r^2}}}{{{l^2}}}\) gegen Null. Somit gilt dann\[\frac{1}{{\sqrt {1 + \frac{{4 \cdot {r^2}}}{{{l^2}}}} }} \to \frac{1}{{\sqrt {1 + 4 \cdot 0} }} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} = 1\]Man erkennt, dass somit für \({r \ll l}\) Formel \((2)\) in Formel \((1)\) übergeht.

b)

\[\begin{eqnarray}B &\le& 1{,}05 \cdot {B_0}\\{\mu _0} \cdot \frac{{N \cdot I}}{l} &\le& 1{,}05 \cdot {\mu _0} \cdot \frac{{N \cdot I}}{l} \cdot \frac{1}{{\sqrt {1 + 4 \cdot \frac{{{r^2}}}{{{l^2}}}} }}\\1 &\le& 1{,}05 \cdot \frac{1}{{\sqrt {1 + 4 \cdot \frac{{{r^2}}}{{{l^2}}}} }}\\1 + 4 \cdot \frac{{{r^2}}}{{{l^2}}} &\le& {1{,}05^2}\\\frac{{{r^2}}}{{{l^2}}} &\le& \frac{{{{1{,}05}^2} - 1}}{4}\\{l^2} &\ge& \frac{{4 \cdot {r^2}}}{{{{1{,}05}^2} - 1}}\\l &\ge& \frac{{2 \cdot r}}{{\sqrt {{{1{,}05}^2} - 1} }}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[l \ge \frac{2 \cdot 4{,}0\,\rm{cm}}{\sqrt{ 1{,}05^2 - 1} } = 25\,\rm{cm}\]Die Spule muss also mindestens \(25\,\rm{cm}\) lang sein.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Ströme & magnetisches Feld