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Aufgabe

Bestimmung der magnetischen Kraft - Formelumstellung

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Um Aufgaben rund um die Berechnung der magnetischen Kraft zu lösen musst du häufig die Gleichung \({F_{{\rm{mag}}}} = I \cdot l \cdot  B \cdot \sin \left( \varphi \right)\) nach einer Größe, die unbekannt ist, auflösen. Wie du das machen kannst zeigen wir dir in der folgenden Animation.

Die Gleichung\[{\color{Red}{{F_{\rm{mag}}}}} = I \cdot l \cdot B \cdot \sin (\varphi )\]ist bereits nach \(\color{Red}{{F_{\rm{mag}}}}\) aufgelöst. Du brauchst also keine Umformungen durchzuführen.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{mag}}}} = \color{Red}{{I}} \cdot {{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\]nach \(\color{Red}{{I}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[\color{Red}{{I}} \cdot {{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}} = {{F_{\rm{mag}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{\color{Red}{{I}} \cdot {{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}}{{{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}} = \frac{{{F_{\rm{mag}}}}}{{{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\).\[\color{Red}{{I}} = \frac{{{F_{\rm{mag}}}}}{{{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{I}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{mag}}}} = {{I}} \cdot \color{Red}{{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\]nach \(\color{Red}{{l}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{I}} \cdot \color{Red}{{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}} = {{F_{\rm{mag}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{I}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{I}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{{I}} \cdot \color{Red}{{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}}{{{I}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}} = \frac{{{F_{\rm{mag}}}}}{{{I}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{I}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\).\[\color{Red}{{l}} = \frac{{{F_{\rm{mag}}}}}{{{I}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{l}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{mag}}}} = {{I}} \cdot {{l}} \cdot \color{Red}{{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\]nach \(\color{Red}{{B}}\) aufzulösen, musst du drei Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{I}} \cdot {{l}} \cdot \color{Red}{{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}} = {{F_{\rm{mag}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{I}} \cdot {{l}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{I}} \cdot {{l}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{{I}} \cdot {{l}} \cdot \color{Red}{{B}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}}{{{I}} \cdot {{l}} \cdot {{\sin(\varphi)}}} = \frac{{{F_{\rm{mag}}}}}{{{I}} \cdot {{l}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{I}} \cdot {{l}} \cdot {{\sin(\varphi)}}\).\[\color{Red}{{B}} = \frac{{{F_{\rm{mag}}}}}{{{I}} \cdot {{l}} \cdot {{\sin(\varphi)}}}\]Die Gleichung ist nach \(\color{Red}{{B}}\) aufgelöst.
Um die Gleichung\[{{F_{\rm{mag}}}} = {{I}} \cdot {{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\color{Red} \varphi)}}\]nach \(\color{Red}{{\varphi}}\) aufzulösen, musst du vier Umformungen durchführen:


Vertausche die beiden Seiten der Gleichung.
\[{{I}} \cdot {{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\color{Red}\varphi)}} = {{F_{\rm{mag}}}}\]
Dividiere beide Seiten der Gleichung durch \({{I}} \cdot {{l}} \cdot {{B}}\). Schreibe diese Division aber nicht mit dem Divisionszeichen (:), sondern als Bruch, in dem \({{I}} \cdot {{l}} \cdot {{B}}\) im Nenner steht.
\[\frac{{{I}} \cdot {{l}} \cdot {{B}} \cdot {{\sin(\color{Red} \varphi)}}}{{{I}} \cdot {{l}} \cdot {{B}}} = \frac{{{F_{\rm{mag}}}}}{{{I}} \cdot {{l}} \cdot {{B}}}\]
Kürze den Bruch auf der linken Seite der Gleichung durch \({{I}} \cdot {{l}} \cdot {{B}}\).\[{{\sin(\color{Red} \varphi)}} = \frac{{{F_{\rm{mag}}}}}{{{I}} \cdot {{l}} \cdot {{B}}}\]
Damit ergibt sich die gesuchte Winkelweite \(\color{Red}{{\varphi}}\) zu\[\color{Red}{{\varphi}} = \arcsin \left( {\frac{{{F_{\rm{mag}}}}}{{{I}} \cdot {{l}} \cdot {{B}}}} \right)\]
Abb. 1 Schrittweises Auflösen der Formel zur Berechnung der magnetischen Kraft nach den fünf in der Formel auftretenden Größen
a)

Ein \(5{,}0\,{\rm{cm}}\) langer Leiter, der von einem Strom der Stärke \(1{,}5\,{\rm{A}}\) durchflossen wird, liegt in einem Winkel der Weite \(45^\circ\) zu einem homogenen magnetischen Feld mit einer Feldstärke vom Betrag \(0{,}10\,{\rm{T}}\).

Berechne den Betrag der magnetischen Kraft auf den Leiter.

b)

Ein gerader, \(50{,}0\,{\rm{mm}}\) langer stromdurchflossener Leiter befindet sich in einem homogenen Magnetfeld und erfährt dort eine Kraft vom Betrag \(3{,}72 \cdot {10^{-4}}\,{\rm{N}}\). Die magnetische Feldstärke hat den Betrag \(2{,}33 \cdot {10^{-3}}\,{\rm{T}}\). Die Stromrichtung und die magnetischen Feldlinien schließen einen Winkel von \(45^\circ\) ein.

Berechne die Stärke des Stroms, der durch den Leiter fließt.

c)

Ein gerades Leiterstück befindet sich in einem homogenen Magnetfeld mit der Feldstärke \(14 \,{\rm{mT}}\). Der Leiter wird von einem Strom der Stärke \(4{,}4{\rm{A}}\) durchflossen und schließt mit den Feldlinien einen Winkel der Weite \(60^\circ\) ein. Dabei erfährt er eine Kraft vom Betrag \(5{,}3\,{\rm{mN}}\).

Berechne die Länge des Leiterstücks.

d)

Ein Leiter der Länge \(10\,{\rm{cm}}\) wird von einem Strom der Stärke \(2{,}0\,{\rm{A}}\) durchflossen und erfährt in einem homogenen Magnetfeld, dessen Feldlinien orthogonal zum Leiter verlaufen, eine magnetische Kraft vom Betrag \(5{,}0\,{\rm{mN}}\).

Berechne den Betrag der magnetischen Feldstärke.

e)

Ein gerader Leiter hat die Länge \(10\,{\rm{cm}}\) und wird von einem Strom der Stärke \(2{,}5\,\rm{A}\) durchflossen. Der Leiter befindet sich in einem homogenen Magnetfeld der Feldstärke \(55\,{\rm{mT}}\); es wirkt auf ihn eine magnetische Kraft mit dem Betrag \(9{,}72\,{\rm{mN}}\).

Berechne die Weite des Winkels, den Leiter und magnetische Feldlinien einschließen.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken
a)

Mit \(I=1{,}5\,{\rm{A}}\), \(l=5{,}0\,{\rm{cm}}=5{,}0 \cdot 10^{-2}\,{\rm{m}}\), \(B=0{,}10\,{\rm{T}}\) und \(\varphi =45^\circ\) nutzen wir die Formel für den Betrag der magnetischen Kraft\[{F_{\rm{mag}}} = I \cdot l \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{\rm{mag}}} = 1{,}5\,{\rm{A}} \cdot 5{,}0 \cdot 10^{-2}\,{\rm{m}} \cdot 0{,}10\,{\rm{T}} \cdot \sin \left( {45^\circ } \right) = 5{,}3 \cdot {10^{-3}}\,{\rm{N}}=5{,}3\,{\rm{mN}}\]

b)

Mit \(F_{\rm{mag}}=3{,}72 \cdot {10^{-4}}\,{\rm{N}}\), \(l=50{,}0\,{\rm{mm}}=50{,}0 \cdot 10^{-3}\,{\rm{m}}\), \(B=2{,}33 \cdot {10^{-3}}\,{\rm{T}}\) und \(\varphi =45^\circ\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der magnetischen Kraft\[{F_{{\rm{mag}}}} = I \cdot l \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Leftrightarrow I = \frac{{{F_{{\rm{mag}}}}}}{{l \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[I = \frac{{3{,}72 \cdot {{10}^{ - 4}}\,{\rm{N}}}}{{50{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}} \cdot 2{,}33 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{T}} \cdot \sin \left( {45^\circ } \right)}} = 4{,}54\,{\rm{A}}\]

c)

Mit \(F_{\rm{mag}}=5{,}3\,{\rm{mN}}=5{,}3 \cdot {10^{-3}}\,{\rm{N}}\), \(I=4{,}4\,{\rm{A}}\), \(B=14 \,{\rm{mT}}=14 \cdot 10^{-3}\,{\rm{T}}\) und \(\varphi =60^\circ\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der magnetischen Kraft\[{F_{{\rm{mag}}}} = I \cdot l \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Leftrightarrow l = \frac{{{F_{{\rm{mag}}}}}}{{I \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[l = \frac{{5{,}3 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{N}}}}{{4{,}4\,{\rm{A}} \cdot 14 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{T}} \cdot \sin \left( {60^\circ } \right)}} = 9{,}9 \cdot {10^{ - 2}}\,{\rm{m}} = 9{,}9\,{\rm{cm}}\]

d)

Mit \(F_{\rm{mag}}=5{,}0\,{\rm{mN}}=5{,}0 \cdot {10^{-3}}\,{\rm{N}}\), \(I=2{,}0\,{\rm{A}}\), \(l=10\,{\rm{cm}}=10 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) und \(\varphi =90^\circ\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der magnetischen Kraft\[{F_{{\rm{mag}}}} = I \cdot l \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Leftrightarrow B = \frac{{{F_{{\rm{mag}}}}}}{{I \cdot l \cdot \sin \left( \varphi  \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[B = \frac{{5{,}0 \cdot {{10}^{-3}}\,{\rm{N}}}}{{2{,}0\,{\rm{A}} \cdot 10 \cdot {{10}^{-2}}\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {90^\circ } \right)}} = 2{,}5 \cdot {10^{-2}}\,{\rm{T}}\]

e)

Mit \(F_{\rm{mag}}=9{,}72\,{\rm{mN}}=9{,}72 \cdot 10^{-3}\,{\rm{N}}\), \(I=2{,}5\,{\rm{A}}\), \(l=10\,{\rm{cm}}=10 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) und \(B =55\,{\rm{mT}}=55 \cdot 10^{-3}\,{\rm{T}}\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der magnetischen Kraft\[{F_{{\rm{mag}}}} = I \cdot l \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Rightarrow \varphi  = \arcsin \left( {\frac{{{F_{{\rm{mag}}}}}}{{I \cdot l \cdot B}}} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\varphi  = \arcsin \left( {\frac{{9{,}72 \cdot {{10}^{-3}}\,{\rm{N}}}}{{2{,}5\,{\rm{A}} \cdot 10 \cdot {{10}^{-2}}\,{\rm{m}} \cdot 55 \cdot {{10}^{-3}}\,{\rm{T}}}}} \right) = 45^\circ \]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Elektrizitätslehre

Ströme & magnetisches Feld