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Aufgabe

Bestimmung der LORENTZ-Kraft

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

a)

Ein Elektron fliegt mit der Geschwindigkeit \(1{,}0 \cdot 10^5\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) durch ein homogenes Magnetfeld mit der magnetischen Feldstärke \(1{,}2 \cdot 10^{-2}\,\rm{T}\). Die Weite des von dem Geschwindigkeitsvektor und dem Vektor der magnetischen Feldstärke eingeschlossenen Winkels beträgt \(35^\circ\).

Berechne den Betrag der auf das Elektron wirkenden LORENTZ-Kraft.

b)

Ein geladenes Teilchen tritt mit der Geschwindigkeit \(1{,}0 \cdot 10^5\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) senkrecht zu den Feldlinien in ein homogenes Magnetfeld mit der magnetischen Feldstärke \(10\,{\rm{mT}}\) ein und erfährt eine Kraft vom Betrag \(3{,}2 \cdot 10^{-16}\,\rm{N}\).

Berechne die Ladung des Teilchens.

c)

In ein Magnetfeld von \(2{,}40\,\rm{mT}\) tritt ein Proton unter einem Winkel der Weite \(45{,}0^\circ\) ein und erfährt eine Kraft von \(7{,}30\,\cdot 10^{-16}\,\rm{N}\).

Berechne die Geschwindigkeit des Protons.

d)

Ein dreifach ionisiertes Atom tritt mit der Geschwindigkeit \(2{,}73 \cdot 10^{6}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) senkrecht in ein Magnetfeld ein und erfährt eine Kraft von \(8{,}61 \cdot 10^{-15}\,\rm{N}\).

Berechne den Betrag der magnetischen Feldstärke.

e)

Ein Elektron fliegt durch ein Magnetfeld. Das Magnetfeld hat am Ort des Elektrons die magnetische Feldstärke \(2{,}15 \cdot 10^{-4}\,\rm{T}\), das Elektron hat die Geschwindigkeit \(4{,}22 \cdot 10^6\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\). Auf das Elektron wirkt die LORENTZ-Kraft vom Betrag \(1{,}26 \cdot 10^{-16}\,\rm{N}\).

Berechne die Weite des von dem Geschwindigkeitsvektor und dem Vektor der magnetischen Feldstärke eingeschlossenen Winkels.

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a)

Mit \(q=e=1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\rm{C}\), \(v=1{,}0 \cdot 10^5\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\), \(B=1{,}2 \cdot 10^{-2}\,\rm{T}\) und \(\varphi =35^\circ\) nutzen wir die Formel für den Betrag der LORENTZ-Kraft\[{F_{\rm{L}}} = q \cdot v \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{\rm{L}}} = 1{,}6 \cdot {10^{ - 19}}\,{\rm{C}} \cdot 1{,}0 \cdot {10^5}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot B = 1{,}2 \cdot {10^{ - 2}}\,{\rm{T}} \cdot \sin \left( {35^\circ } \right) = 1{,}1 \cdot {10^{ - 16}}\,{\rm{N}}\]

b)

Mit \(F_{\rm{L}}=3{,}2 \cdot 10^{-16}\,\rm{N}\), \(v=1{,}0 \cdot 10^5\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\), \(B=10\,{\rm{mT}}=10\cdot10^{-3}\,\rm{T}\) und \(\varphi =90^\circ\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der LORENTZ-Kraft\[{F_{\rm{L}}} = q \cdot v \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Leftrightarrow q = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{v \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[q = \frac{{3{,}2 \cdot {{10}^{ - 16}}\,{\rm{N}}}}{{1{,}0 \cdot {{10}^5}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 10 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{T}} \cdot \sin \left( {90^\circ } \right)}} = 3{,}2 \cdot {10^{ - 19}}\,{\rm{C}}=2 \cdot e\]

c)

Mit \(F_{\rm{L}}=7{,}30\,\cdot 10^{-16}\,\rm{N}\), \(q=e=1{,}6 \cdot 10^{-19}\,\rm{C}\), \(B=2{,}40\,\rm{mT}=2{,}40\cdot 10^{-3}\,\rm{T}\) und \(\varphi =45{,}0^\circ\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der LORENTZ-Kraft\[{F_{\rm{L}}} = q \cdot v \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Leftrightarrow v = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{q \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v = \frac{{7{,}30\cdot {{10}^{-16}}\,{\rm{N}}}}{{1{,}6 \cdot {{10}^{-19}}\,{\rm{C}} \cdot 2{,}40 \cdot {{10}^{-3}}\,{\rm{T}} \cdot \sin \left( {45{,}0^\circ } \right)}} = 2{,}26 \cdot {10^6}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

d)

Mit \(F_{\rm{L}}=8{,}61 \cdot 10^{-15}\,\rm{N}\), \(q=3 \cdot e=4{,}81 \cdot {10^{-19}}\,{\rm{C}}\), \(v=2{,}73 \cdot 10^{6}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(\varphi =90{,}0^\circ\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der LORENTZ-Kraft\[{F_{\rm{L}}} = q \cdot v \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Leftrightarrow B = \frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{q \cdot v \cdot \sin \left( \varphi  \right)}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[B = \frac{{8{,}61 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{N}}}}{{4{,}81 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{C}} \cdot 2{,}73 \cdot {{10}^6}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {90{,}0^\circ } \right)}} = 6{,}56 \cdot {10^{-3}}\,{\rm{T}} = 6{,}56\,{\rm{mT}}\]

e)

Mit \(F_{\rm{L}}=1{,}26 \cdot 10^{-16}\,\rm{N}\), \(q=e=1{,}60 \cdot 10^{-19}\,\rm{C}\), \(v=4{,}22 \cdot 10^6\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(B=2{,}15 \cdot 10^{-4}\,\rm{T}\) erhalten wir mit der Formel für den Betrag der LORENTZ-Kraft\[{F_{\rm{L}}} = q \cdot v \cdot B \cdot \sin \left( \varphi  \right) \Rightarrow \varphi  = \arcsin \left( {\frac{{{F_{\rm{L}}}}}{{q \cdot v \cdot B}}} \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\varphi  = \arcsin \left( {\frac{{1{,}26 \cdot {{10}^{ - 16}}\,{\rm{N}}}}{{1{,}60 \cdot {{10}^{-19}}\,{\rm{C}} \cdot 4{,}22 \cdot {{10}^6}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 2{,}15 \cdot {{10}^{-4}}\,{\rm{T}}}}} \right) = 60{,}2^\circ \]oder \(\varphi = 180{,}0^\circ-60{,}2^\circ=119{,}8^\circ \).