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Versuche

MILLIKAN-Versuch - Steige-Sink-Methode (Simulation)

Das Ziel der Simulation

Mit Hilfe dieser Simulation kannst du dir selbstständig die Ergebnisse des MILLIKAN-Versuchs erarbeiten.

millikan-versuch-aufbau-foto.jpg © von Stefan Pohl in der Wikipedia auf Deutsch (selbst fotografiert) [Public domain], vom Wikimedia Commons
Abb. 1 In der Schule üblicher Aufbau des MILLIKAN-Versuchs

Der nach dem amerikanischen Physiker Robert Andrews MILLIKAN (1868 - 1953) benannte MILLIKAN-Versuch ist nicht nur von großer historischer Bedeutung für die Physik (vgl. Geschichte der Bestimmung der Elementarladung), sondern auch einer der zentralen Versuche des Physikunterrichts in der Oberstufe.

Obwohl der prinzipielle Versuchsaufbau relativ einfach ist, sind sowohl die Versuchsdurchführung als auch die theoretischen Überlegungen, die für die Auswertung benötigt werden, teilweise recht komplex. Aus diesem Grund bieten wir auf LEIFIphysik vier verschiedene Methoden der Durchführung einschließlich der jeweiligen Theorie an. Zu jeder Methode gibt es eine angepasste Simulation sowie weitere Hilfsmittel. Mit Hilfe der Simulation können dann selbstständig "Messwerte" aufgenommen und diese dann ausgewertet werden.

Aufbau

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Abb. 2 Skizze des prinzipiellen Aufbaus des MILLIKAN-Versuchs

Der prinzipielle Aufbau des MILLIKAN-Versuchs ist recht einfach; er besteht aus einem horizontal liegenden Plattenkondensator mit dem Plattenabstand \(d\), an den eine elektrische Quelle angeschlossen ist. Die elektrische Quelle kann sowohl ein- und ausgeschaltet als auch umgepolt werden, die angelegte Spannung \(U\) ist regelbar und wird mit einem Voltmeter gemessen. Der Raum zwischen den Platten kann mit einer Lampe beleuchtet und mit einem Mikroskop beobachtet werden; darin eingeblendet ist eine Skala, in der die einzelnen Skalenstriche den Abstand \(s\) haben. In das Innere des Plattenkondensators können mit einem Zerstäuber kleine Öltröpfchen gesprüht werden, die sich durch die Reibung aufladen und deren Bewegung mit Hilfe des Mikroskops beobachtet werden kann. Schließlich benötigt man zwei Stoppuhren zur Zeitmessung.

Hinweis: Durch die Beobachtung des Raums zwischen den Platten durch das Mikroskop werden oben und unten vertauscht; bewegt sich also ein Öltröpfchen in der Realität z.B. zwischen den Platten nach unten zur Erde hin, so beobachtet man im Mikroskop eine Bewegung des Öltröpfchens nach oben.

Theorie der Steige-Sink-Methode

Bei der Steige-Sink-Methode wird ein Öltröpfchen

zuerst durch Anlegen einer Spannung nach oben bewegt (Steigen im elektrischen Feld) und

dann bei gleich großer, aber umgekehrt gepolter Spannung nach unten bewegt (Sinken im elektrischen Feld).

Wie im Folgenden gezeigt wird lässt sich dann durch Messung der anliegenden Spannung und der Geschwindigkeiten des Tröpchens beim Steigen und Sinken dessen Ladung bestimmen.

Auf ein elektrisch geladenes Öltröpfchen in der Versuchsanordnung des MILLIKAN-Versuchs können die folgenden Kräfte wirken:

Gewichts- und Auftriebskraft

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Abb. 3 Richtungen von Gewichts- und Auftriebskraft sowie reduzierter Gewichtskraft

Da sich die Versuchsanordnung im Gravitationsfeld der Erde befindet, wirkt auf das Öltröpfchen stets die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = m \cdot g\) (\(m\): Masse des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach unten. Die Masse \(m\) des kugelförmigen Öltröpfchens kann man mit Hilfe der bekannten Formeln \(m = \rho  \cdot V\) und \(V_{\rm{Kugel}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3}\) durch \(m = \rho _{\rm{Öl}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3}\) ausdrücken, so dass sich für die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = \rho _{\rm{Öl}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Öl}}\): Dichte von Öl; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

Da sich weiter zwischen den Kondensatorplatten Luft befindet, wirkt auf das Öltröpfchen zusätzlich stets die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot V \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(V\): Volumen des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach oben. Auch hier kann man das Volumen des Öltröpfchens mit Hilfe seines Radius ausdrücken, so dass sich für die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

Obwohl die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}}\) gegenüber der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\) sehr klein ist und eigentlich vernachlässigt werden kann (vgl. untenstehende Aufgabe), wird häufig mit einer um die Auftriebskraft reduzierten Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = F_{\rm{G}} - F_{\rm{A}}\) gerechnet; man erhält dann (\(\rho ' = \rho _{\rm{Öl}} -\rho _{\rm{Luft}}\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)\[F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\]

Aufgabe

Berechne für einen Tröpfchenradius von \(r = 5{,}00 \cdot {10^{ - 7}}\,{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Beträge von Gewichtskraft \(F_G\), Auftriebskraft \(F_A\) und reduzierter Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\).

Lösung

\[{F_{\rm{G}}} = \rho _{\rm{Öl}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{G}}} = 875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {\left( {5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}} \right)^3} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 4{,}49 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{N}}\] \[{F_{\rm{A}}} = {\rho _{{\rm{Luft}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{A}}} = 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {\left( {5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}} \right)^3} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 6{,}63 \cdot {10^{ - 18}}\,{\rm{N}}\] \[{F_{\rm{G'}}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{G'}}} = \left( 875{,}3-1{,}29\right)\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {\left( {5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}} \right)^3} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 4{,}48 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{N}}\]

Begründe durch eine Rechnung, dass unabhängig von allen anderen Größen für \(\rho _{\rm{Öl}} = 875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Vernachlässigung des Auftriebs ungefähr \(0{,}1\%\) Ungenauigkeit bedeutet.

Lösung

\[p\% = \frac{{{\rho _{{\rm{Öl}}}}}}{{{\rho _{{\rm{Öl}}}} - {\rho _{{\rm{Luft}}}}}} = \frac{{875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}}{{875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} - 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 1{,}001 = 100{,}1\% =100\% + 0{,}1\%\]

Elektrische Kraft

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Abb. 4 Richtung der elektrischen Kraft auf ein negativ geladenes Öltröpfchen in Abhängigkeit von der Polung des Plattenkondensators

Liegt an den Platten des Kondensators eine Spannung an, so wirkt auf ein geladenes Öltröpfchen zusätzlich die elektrische Kraft \({F_{\rm{el}}} = q \cdot E\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(E\): Elektrische Feldstärke zwischen den Kondensatorplatten). Die elektrische Feldstärke \(E\) kann man mit Hilfe der Kondensatorformel \(E = \frac{U}{d}\) ersetzen, so dass sich für die elektrische Kraft ergibt (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand)\[{F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\]

Da die Platten horizontal angeordnet sind, sind die elektrische Kraft und die Gewichtskraft stets parallel gerichtet. Durch Umpolen der an den Kondensator angeschlossenen elektrischen Quelle kann die elektrische Kraft nach oben oder nach unten wirken.

Aufgabe

Durch vorhergegangene Experimente wusste MILLIKAN, dass die Öltröpfchen im Kondensator Ladungen in der Größenordnung von ca. \(1 \cdot {10^{ - 19}}\,{\rm{As}}\) tragen.

Berechne für einen Plattenabstand von \(d = 6{,}00 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{m}}\) und die oben berechnete reduzierte Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\), welche Spannung \(U\) an den Kondensatorplatten anliegen muss, um ein Öltröpfchen gegen die reduzierte Gewichtskraft in der Schwebe zu halten.

Lösung

\[F_{\rm{el}} = F_{\rm{G'}} \Leftrightarrow q \cdot \frac{U}{d} = F_{\rm{G'}} \Leftrightarrow U = \frac{{F_{\rm{G'}} \cdot d}}{q}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[U = \frac{{4{,}48 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{N}} \cdot 6{,}00 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}}}{{1 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{As}}}} = 269\,{\rm{V}}\]

STOKESsche Reibungskraft

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Abb. 5 Richtung der STOKESschen Reibungskraft in Abhängigkeit von der Bewegungsrichtung des Öltröpfchens

Bewegt sich das Öltröpfchen durch die Luft im Kondensator, so wirkt auf das Öltröpfchen die STOKESsche Reibungskraft\[{F_{\rm{R}}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v\](\(\eta\): Zähigkeit der Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(v\): Geschwindigkeit des Tröpfchens) (Gesetz von STOKES, George Gabriel STOKES (1819 - 1903)) auf das Öltröpfchen; diese ist eine aus der Strömungslehre für laminare Strömungen bekannte Kraft auf kugelförmige Körper in einem ‚zähen’ Medium mit der Zähigkeit \(\eta\), die stets der Bewegungsrichtung des Körpers entgegen wirkt. Die Kraft wächst zudem mit der Geschwindigkeit und zwar so lange, bis sich der Körper nur noch mit konstanter Geschwindigkeit bewegt (vgl. untenstehende Aufgabe).

Beim Zerstäuben von Öl erhält man allerdings so kleine Kugeln, dass der Radius der beobachteten Tröpfchen in der gleichen Größenordnung liegt wie die mittlere freie Weglänge der Luftmoleküle und das Gesetz von STOKES nur noch bedingt gilt. Die Tröpfchen bewegen sich nicht wie Kugeln durch eine Front von Luftmasse, sondern manövrieren sich zwischen den Luftmolekülen hindurch und erfahren durch Stöße mit einzelnen Molekülen Bremskräfte. Der mittlere Abstand der Luftmoleküle beträgt etwa \({10^{ - 7}}{\rm{m}}\), was in der Größenordnung des Tröpfchenradius liegt. Erstaunlicherweise lässt sich diese Situation durch die sogenannte CUNNINGHAM-Korrektur, die im Jahr 1910 vom britischen Mathematiker Ebenezer CUNNINGHAM (1881 - 1977) abgeleitet wurde, pauschal erfassen, indem man einen Korrekturfaktor für die Zähigkeit der Luft berechnet. Als Erfahrungswert erhält man für die korrigierte Zähigkeit von Luft für Raumtemperatur und Normaldruck \(\eta ' = \frac{\eta }{{\left( {1 + \frac{{6{,}25 \cdot {{10}^{ - 8}}\,{\rm{m}}}}{r}} \right)}}\) (\(r\): Radius des Tröpfchens). Je kleiner also die Tröpfchen sind, desto größer ist die Abweichung vom STOKESschen Gesetz (vgl. untenstehende Aufgabe). Wie man die CUNNINGHAM-Korrektur auf die konkreten Messwerte anwendet wird weiter unten gezeigt.

Aufgabe

Begründe durch eine Rechnung, dass für \({\eta _{{\rm{Luft}}}} = 1{,}81 \cdot {10^{ - 5}}\,\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) und einem Tröpfchenradius von \(r = 5{,}00 \cdot {10^{ - 7}}\,{\rm{m}}\) der Korrekturfaktor in der CUNNINGHAM-Korrektur ca. \(0{,}89\) beträgt und sich damit \(\eta ' = 1{,}61 \cdot {10^{ - 5}}\,\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) ergibt.

Lösung

\[\frac{1}{{\left( {1 + \frac{{6{,}25 \cdot {{10}^{ - 8}}\,{\rm{m}}}}{{5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}}}} \right)}} \approx 0{,}89\]\[\eta ' = \frac{{1{,}81 \cdot {{10}^{ - 5}}\,\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}}}{{\left( {1 + \frac{{6{,}25 \cdot {{10}^{ - 8}}\,{\rm{m}}}}{{5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}}}} \right)}} = 1{,}61 \cdot {10^{ - 5}}\,\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\]

Beim Fall eines Öltröpfchens allein unter dem Einfluss der Gewichtskraft stellt sich nach kurzer Zeit ein Kräftegleichgewicht zwischen der Gewichtskraft und der STOKESschen Reibungskraft ein.

Berechne für \(r = 5{,}00 \cdot {10^{ - 7}}\,{\rm{m}}\), \(\eta ' = 1{,}61 \cdot {10^{ - 5}}\,\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\) und die oben berechnete reduzierte Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\), welche Geschwindigkeit \(v\) die Öltröpfchen beim Fallen erreichen.

Lösung

\[{F_{\rm{R}}} = {F_{{\rm{G'}}}} \Leftrightarrow 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v = {F_{{\rm{G'}}}} \Leftrightarrow v = \frac{{{F_{{\rm{G'}}}}}}{{6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r}}\]\[v = \frac{{4{,}48 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{N}}}}{{6 \cdot \pi \cdot 1{,}61 \cdot {{10}^{ - 5}}\,\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}} \cdot 5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}}} = 2{,}95 \cdot {10^{ - 5}}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

Steigen im elektrischem Feld

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Abb. 6 Kräftegleichgewicht beim Steigen eines negativ geladenen Öltröpfchens im elektrischen Feld

Zuerst wird an die Kondensatorplatten eine Spannung \(U\) angelegt und so eingestellt, dass das Öltröpfchen nach oben steigt (Steigen im elektrischen Feld). Für ein negativ geladenes Tröpfchen muss die obere Platte positiv und die untere Platte negativ geladen werden.

Nach einer kaum beobachtbaren Beschleunigungsphase steigt das Tröpfchen mit konstanter Geschwindigkeit \({{\vec v}_1}\) nach oben. Auf das Tröpfchen wirken

nach oben die elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}}\)

nach unten die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\) sowie die der Bewegung entgegengerichtete STOKESsche Reibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{R,1}}}}\).

Die STOKESsche Reibungskraft hat sich dabei so "eingestellt", dass auf das Tröpfchen keine resultierende Kraft mehr wirkt und folgendes Kräftegleichgewicht herrscht:

Die Summe aus (reduzierter) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) und STOKESscher Reibungskraft \(F_{\rm{R,1}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_1}\) ist betragsgleich der elektrischen Kraft \(F_{\rm{el}} = q \cdot \frac{U}{d}\):\[\begin{eqnarray} F_{\rm{R,1}} + F_{\rm{G'}} &=& F_{\rm{el}} \\ 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_1} +  \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g &=& q \cdot \frac{U}{d} \quad(1)\end{eqnarray}\]

 
Sinken im elektrischem Feld

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Abb. 7 Kräftegleichgewicht beim Sinken eines negativ geladenen Öltröpfchens im elektrischen Feld

Die Spannung \(U\) wird nun umgepolt, so dass das Tröpfchen jetzt nach unten sinkt (Sinken im elektrischen Feld). Für ein negativ geladenes Tröpfchen ist jetzt die obere Platte negativ und die untere Platte positiv geladen.

Nach einer kaum beobachtbaren Beschleunigungsphase sinkt das Tröpfchen mit konstanter Geschwindigkeit \({{\vec v}_2}\) nach unten. Auf das Tröpfchen wirken

nach oben die der Bewegung entgegengerichtete STOKESsche Reibungskraft \({{\vec F}_{{\rm{R,2}}}}\)

nach unten die elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}}\) sowie die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\).

Die STOKESsche Reibungskraft hat sich dabei so "eingestellt", dass auf das Tröpfchen keine resultierende Kraft mehr wirkt und folgendes Kräftegleichgewicht herrscht:

Die Summe aus (reduzierter) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g\) und elektrischer Kraft \({F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\) ist betragsgleich der STOKESschen Reibungskraft \({F_{\rm{R,2}}} = 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_2}\):\[\begin{eqnarray} F_{\rm{G'}} + F_{\rm{el}} &=& F_{\rm{R,2}} \\ \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g + q \cdot \frac{U}{d} &=& 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_2} \quad(2)\end{eqnarray}\]

 
Herleitung der Formel für die Ladung des Tröpfchens

Durch Kombinieren der Gleichungen \((1)\) und \((2)\) (vgl. die untenstehende Aufgabe) erhält man für die gesuchte Ladung \(q\) die Formel\[q = \frac{{9 \cdot \pi \cdot d}}{{2 \cdot U}} \cdot \sqrt {\frac{{{\eta ^3}}}{{\rho ' \cdot g}}} \cdot \sqrt {{v_2} - {v_1}} \cdot \left( {{v_1} + {v_2}} \right) \quad (5)\]Die Größen \(\eta \), \(\rho'=\rho_{\rm{Öl}} - \rho_{\rm{Luft}}\) und \(g\) können aus Tabellen entnommen werden, die Größe \(d\) findet sich in den technischen Daten der Versuchsapparatur und die Größen \(U\), \(v_1\) und \(v_2\) können gemessen werden, so dass sich nun die gesuchte Ladung \(q\) berechnen lässt.

Um eine höhere Genauigkeit zu erreichen muss der so berechnete Wert allerdings noch nach der Methode von CUNNINGHAM korrigiert werden. Dazu benutzt man Gleichung \((4)\) (vgl. die untenstehende Aufgabe)\[r = \sqrt {\frac{{9 \cdot \eta  \cdot {v_2}}}{{2 \cdot \rho ' \cdot g}}} \quad(4)\]zur Berechnung des Tröpfchenradius \(r\) und berechnet mit Hilfe des Terms (ohne Herleitung)\[{r_{{\rm{korrigiert}}}} = \sqrt {{r^2} + \frac{{{A^2}}}{4}}  - \frac{A}{2}\;;\;A = 6{,}25 \cdot {10^{ - 8}}\,{\rm{m}} \quad (6)\]den nach CUNNINGHAM korrigierten Radius \(r_{{\rm{korrigiert}}}\). Anschließend berechnet man mit diesem Wert und mit Hilfe des Terms (ohne Herleitung)\[{q_{{\rm{korrigiert}}}} = \frac{q}{{{{\left( {1 + \frac{A}{{{r_{{\rm{korrigiert}}}}}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}\;;\;A = 6{,}25 \cdot {10^{ - 8}}\,{\rm{m}} \quad (7)\]die nach CUNNINGHAM korrigierte Ladung \(q_{{\rm{korrigiert}}}\).

Hinweis: Bei der folgenden Rechnung kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die gesamte Rechnung online selbst durchführen. Die Lösung findest du hier.

Aufgabe

Herleitung der Formeln \((4)\) und \((5)\)

Bringe in Gleichung \((2)\) den Term für die STOKESsche Reibungskraft auf die linke und den für die Elektrische Kraft auf die rechte Seite. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei \((2.1)\).

Lösung

\[\begin{eqnarray}\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g + q \cdot \frac{U}{d} &=& 6 \cdot \pi  \cdot \eta \cdot r \cdot {v_2}\\ \Leftrightarrow \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g - 6 \cdot \pi \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_2} &=&  - q \cdot \frac{U}{d} \quad(2.1)\end{eqnarray}\]

Subtrahiere von Gleichung \((1)\) Gleichung \((2.1)\), fasse beide Seiten der sich ergebenden Gleichung so weit wie möglich zusammen und löse die Gleichung nach der Ladung \(q\) auf. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei Gleichung \((3)\).

Lösung

\[\begin{eqnarray}(1) - (2.1):\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g + 6 \cdot \pi \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_1} - \left( {\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g - 6 \cdot \pi \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_2}} \right) &=& q \cdot \frac{U}{d} - \left( { - q \cdot \frac{U}{d}} \right)\\ \Leftrightarrow \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g + 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_1} - \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g + 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_2} &=& q \cdot \frac{U}{d} + q \cdot \frac{U}{d}\\ \Leftrightarrow 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_1} + 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_2} &=& 2 \cdot q \cdot \frac{U}{d}\\ \Leftrightarrow 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot \left( {{v_1} + {v_2}} \right) &=& 2 \cdot q \cdot \frac{U}{d}\\ \Leftrightarrow q &=& \frac{{3 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot \left( {{v_1} + {v_2}} \right) \cdot d}}{U} \quad(3)\end{eqnarray}\]

Addiere zu Gleichung \((1)\) Gleichung \((2.1)\), fasse die linke Seite der sich ergebenden Gleichung so weit wie möglich zusammen und löse die Gleichung nach dem Radius \(r\) auf. Die dadurch neu entstehende Gleichung sei Gleichung \((4)\).

Lösung

\[\begin{eqnarray}(1) + (2.1):\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g + 6 \cdot \pi  \cdot \eta \cdot r \cdot {v_1} + \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g - 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot {v_2} &=& q \cdot \frac{U}{d} + \left( { - q \cdot \frac{U}{d}} \right)\\ \Leftrightarrow 2 \cdot \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g + 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_1} - 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot {v_2} &=& 0\\ \Leftrightarrow 2 \cdot \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g + 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot \left( {{v_1} - {v_2}} \right) &=& 0\\ \Leftrightarrow 2 \cdot \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g &=&  - 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot \left( {{v_1} - {v_2}} \right) &=& 6 \cdot \pi  \cdot \eta  \cdot r \cdot \left( {{v_2} - {v_1}} \right) |:r|:\pi \\ \Leftrightarrow 2 \cdot \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot {r^2} \cdot g &=& 6 \cdot \eta  \cdot \left( {{v_2} - {v_1}} \right)\\ \Leftrightarrow {r^2} &=& \frac{9}{4} \cdot \frac{{\eta  \cdot \left( {{v_2} - {v_1}} \right)}}{{\rho ' \cdot g}}\\ \Rightarrow r &=& \frac{3}{2} \cdot \sqrt {\frac{{\eta  \cdot \left( {{v_2} - {v_1}} \right)}}{{\rho ' \cdot g}}} \;\;\;(4)\end{eqnarray}\]

Ersetze die Größe \(r\) in Gleichung \((3)\) durch den gleichwertigen Term für \(r\) aus Gleichung \((4)\) und fasse die rechte Seite der neuen Gleichung so weit wie möglich zusammen. Es ergibt sich Gleichung \((5)\).

Lösung

\[(4)\;{\rm{in}}\;(3):q = \frac{{3 \cdot \pi \cdot \eta \cdot \frac{3}{2} \cdot \sqrt {\frac{{\eta \cdot \left( {{v_2} - {v_1}} \right)}}{{\rho ' \cdot g}}} \cdot \left( {{v_1} + {v_2}} \right) \cdot d}}{U} = \frac{{9 \cdot \pi \cdot d}}{{2 \cdot U}} \cdot \sqrt {\frac{{{\eta ^3}}}{{\rho ' \cdot g}}}  \cdot \sqrt {{v_2} - {v_1}}  \cdot \left( {{v_1} + {v_2}} \right)\quad(5)\]

Zeige durch eine Einheitenrechnung, dass Gleichung \((5)\) für die Ladung \(q\) die korrekte Einheit ergibt.

Lösung

\[\begin{eqnarray}\left[ q \right] &=& \frac{{\left[ d \right]}}{{\left[ U \right]}}\sqrt {\frac{{{{\left[ \eta \right]}^3}}}{{\left[ {\rho'} \right] \cdot \left[ g \right]}}} \cdot \left[ v \right] \cdot \sqrt {\left[ v \right]}  = \frac{{\left[ d \right] \cdot \left[ v \right]}}{{\left[ U \right]}}\sqrt {\frac{{{{\left[ \eta  \right]}^3} \cdot \left[ v \right]}}{{\left[ {\rho'} \right] \cdot \left[ g \right]}}} \\ &=& \frac{{{\rm{m}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{\frac{{\rm{J}}}{{\rm{C}}}}}\sqrt {\frac{{\frac{{{{\rm{N}}^3}{{\rm{s}}^3}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{6}}}}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}} = \frac{{{\rm{C}} \cdot {{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{J}} \cdot {\rm{s}}}}\sqrt {\frac{{{{\rm{N}}^3}{{\rm{s}}^3}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{6}}}}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \frac{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{m}}}}  = \frac{{{\rm{C}} \cdot {{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{J}} \cdot {\rm{s}}}}\sqrt {\frac{{{{\rm{N}}^3}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \frac{{{{\rm{s}}^4}}}{{{{\rm{m}}^3}}}}  = \frac{{{\rm{C}} \cdot {{\rm{m}}^2} \cdot {\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{N}} \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{m}}}}\sqrt {\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \frac{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}{{\rm{m}}}}  = C \cdot \sqrt {\frac{{\rm{N}}}{{\rm{N}}}}  = {\rm{C}}\end{eqnarray}\]

Durchführung

Aufgabe

Sprühe Öltröpfchen in die Versuchsapparatur, konzentriere dich auf ein einzelnes Öltröpfchen und warte, bis sich dieses im Mikroskop am oberen Rand befindet.

Schalte die Kondensatorspannung \(U\) ein und regele diese so weit hoch, dass sich das Öltröpfchen im Mikroskop nach unten bewegt.

Pole die Spannung um - das Öltröpfchen bewegt sich im Mikroskop nach oben.

Aktiviere die Stoppuhr.

Pole die Spannung genau dann um, wenn sich das Öltröpfchen auf einem Skalenstrich befindet. Merke dir diesen Skalenstrich. Das Öltröpfchen bewegt sich im Mikroskop weiter nach unten.

Pole die Spannung um, wenn das Öltröpfchen eine bestimmt Anzahl (z.B. \(20\)) von Skalenteilen zurückgelegt hat. Das Öltröpfchen bewegt sich im Mikroskop nach oben.

Wiederhole die beiden letzten Schritte mehrmals. Die Variable \(m\) zählt, wie oft du die Spannung umgepolt hast und damit, wie oft die \(n\) Skalenteile zurückgelegt wurden.

Stoppe die Stoppuhr manuell, wenn sich das Öltröpfchen wieder an dem Skalenstrich befindet, an dem die erste Stoppuhr gestartet ist.

Notiere die Werte von Spannung \(U\), Anzahl \(n\), Zeiten \(t_1\) und \(t_2\) sowie Anzahl \(m\).

Führe den Versuch mehrmals mit verschiedenen Öltröpfchen durch. Notiere jeweiligen Messwerte in der folgenden Tabelle.

\(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(n\) \(t_1\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(t_2\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(m\) \(v_1\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(v_2\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(q\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\) \(r\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(r_{{\rm{korr}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \({q_{{\rm{korr}}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\)
\(1\) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
\(2\) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Lösung

\(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(n\) \(t_1\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(t_2\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(m\) \(v_1\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(v_2\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(q\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\) \(r\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(r_{{\rm{korr}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \({q_{{\rm{korr}}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\)
\(1\) \(316\) \(10\) \(110\) \(18,7\) \(6\) ... ... ... ... ... ...
\(2\) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Kondensatorspannung
U
Stoppuhren
Uhr 1 startet nach dem Aktivieren
beim Umpolen der Spannung.
Uhr 1 stoppt/startet bzw. Uhr 2 startet/stoppt
jeweils beim Umpolen der Spannung.
Uhr 2 muss schließlich manuell gestoppt werden.
HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 8 Bestimmung der Elementarladung nach der Steige-Sink-Methode

Hinweis: Die Simulation arbeitet mit den Parametern \(d = 6{,}00 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{m}}\), \(s = 5{,}33 \cdot {10^{ - 5}}\,{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \({\rho _{{\rm{Luft}}}} = 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \(\eta  = 1{,}81 \cdot {10^{ - 5}}\,\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{s}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}\), \(g = 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\) sowie dem Wert \(A = 6{,}25 \cdot {10^{ - 8}}\,{\rm{m}}\) für die CUNNINGHAM-Korrektur. Ist die Kondensatorspannung \(U\) positiv, so ist die (in der Realität obere, im Mikroskop untere) Platte des Kondensators positiv geladen.

Auswertung

Hinweis: Bei der Auswertung der Messwerte kann dir eine Tabellenkalkulation gute Dienste leisten. Ein passendes Tabellenblatt kannst du leicht selbst anfertigen. Ein vorgefertigtes Tabellenblatt im .xls-Format findest du hier.

Aufgabe

Berechne für alle Einzelmessungen durch \(v_1 = \frac{{\frac{m}{2} \cdot n \cdot s}}{t_1}\) bzw. \(v_2 = \frac{{\frac{m}{2} \cdot n \cdot s}}{t_2}\) die Geschwindigkeiten \(v_1\) und \(v_2\) sowie damit den Wert für die Ladung \(q\). Er sollte in der Größenordnung von \({10^{ - 19}}{\rm{As}}\) liegen. Berechne anschließend wie in den Gleichungen \((4)\), \((6)\) und \((7)\) angegeben den Tröpfchenradius \(r\), den korrigierten Tröpfchenradius \(r_{{\rm{korrigiert}}}\) und schließlich die korrigierte Ladung \(q_{{\rm{korrigiert}}}\).

Lösung

\(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(n\) \(t_1\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(t_2\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) \(m\) \(v_1\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(v_2\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) \(q\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\) \(r\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \(r_{{\rm{korr}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{m}}\) \({q_{{\rm{korr}}}}\;{\rm{in}}\;{\rm{As}}\)
\(1\) \(316\) \(10\) \(110\) \(18{,}7\) \(6\) \(1{,}45\cdot 10^{-5}\) \(8{,}56\cdot 10^{-5}\) \(1{,}88\cdot 10^{-19}\) \(5{,}81\cdot 10^{-7}\) \(5{,}50\cdot 10^{-7}\) \(1{,}60\cdot 10^{-19}\)
\(2\) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Erstelle ein Diagramm, in dem du auf der horizontalen Achse die Versuchsnummer \(N\) und auf der vertikalen Achse jeweils die berechnete korrigierte Ladung \(q_{{\rm{korrigiert}}}\) aufträgst.

Lösung

millikan-versuch-auswertung-diagramm-0.svg
Abb. 9 Diagramm mit der Darstellung der Messergebnisse

Interpretiere das Diagramm.

Lösung

Die elektrischen Ladungen aller Tröpfchen sind ganzzahlige Vielfache einer Ladung der Größe \(1{,}6 \cdot {10^{ - 19}}\,{\rm{As}}\).