Ladungen & elektrisches Feld

Public domain, via Wikimedia Commons Stefan Pohl (selbst fotografiert)

Der nach dem amerikanischen Physiker Robert Andrews MILLIKAN (1868 - 1953) benannte MILLIKAN-Versuch ist nicht nur von großer historischer Bedeutung für die Physik (Link am Ende dieses Artikels), sondern auch einer der zentralen Versuche des Physikunterrichts in der Oberstufe.

Obwohl der prinzipielle Versuchsaufbau relativ einfach ist, sind sowohl die Versuchsdurchführung als auch die theoretischen Überlegungen, die für die Auswertung benötigt werden, teilweise recht komplex. Aus diesem Grund bieten wir auf LEIFIphysik vier verschiedene Methoden der Durchführung einschließlich der jeweiligen Theorie an. Zu jeder Methode gibt es eine angepasste Simulation sowie weitere Hilfsmittel. Mit Hilfe der Simulation können dann selbstständig "Messwerte" aufgenommen und diese dann ausgewertet werden.

Aufbau

Joachim Herz Stiftung

Der prinzipielle Aufbau des MILLIKAN-Versuchs ist recht einfach; er besteht aus zwei horizontal liegenden parallelen Platten mit dem Abstand \(d\), an die eine elektrische Quelle angeschlossen ist. Die elektrische Quelle kann sowohl ein- und ausgeschaltet als auch umgepolt werden, die angelegte Spannung \(U\) ist regelbar und wird mit einem Voltmeter gemessen. Der Raum zwischen den Platten kann mit einer Lampe beleuchtet und mit einem Mikroskop beobachtet werden; darin eingeblendet ist eine Skala, in der die einzelnen Skalenstriche den Abstand \(s\) haben. In den Raum zwischen den Platten können mit einem Zerstäuber kleine Öltröpfchen gesprüht werden, die sich durch die Reibung aufladen und deren Bewegung mit Hilfe des Mikroskops beobachtet werden kann.

Hinweis: Wenn du den Raum zwischen den Platten durch das Mikroskop beobachtest, werden oben und unten vertauscht: Bewegt sich ein Öltröpfchen in der Realität nach unten zur Erde hin, so beobachtest du im Mikroskop eine Bewegung des Öltröpfchens nach oben. In der Simulation kannst du dies verhindern, indem du die Ansicht von "Mikroskop" zu "Realität" änderst.

Theorie der Schwebemethode

Bei der Schwebemethode

• wird ein Öltröpfchen durch Anlegen einer Spannung in der Schwebe gehalten (Schweben im elektrischen Feld).

Wenn man die Spannung, die an den Platten anliegt, und den Radius des Öltröpfchens misst, kann man die Ladung des Öltröpfchens bestimmen. Hinweis: Die Schwebemethode ist im Realexperiment kaum durchzuführen, da der Schwebezustand aufgrund der BROWNschen Molekularbewegung schwer einzustellen ist. Auch die Größe der Öltröpfchen ist  wegen der Lichtbeugung nicht richtig zu erkennen. Die Simulation ermöglicht aber dieses Verfahren, das wegen der überschaubaren physikalischen Zusammenhänge besonders für einen Grundkurs geeignet erscheint.

Auf ein elektrisch geladenes Öltröpfchen in der Versuchsanordnung des MILLIKAN-Versuchs können die folgenden Kräfte wirken:

Gewichts- und Auftriebskraft

Joachim Herz Stiftung

Da sich die Versuchsanordnung im Gravitationsfeld der Erde befindet, wirkt auf das Öltröpfchen stets die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = m \cdot g\) (\(m\): Masse des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach unten. Die Masse \(m\) des kugelförmigen Öltröpfchens kann man mit Hilfe der bekannten Formeln \(m = \rho  \cdot V\) und \(V_{\rm{Kugel}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3}\) durch \(m = \rho _{\rm{Öl}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3}\) ausdrücken. Damit ergibt sich für die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = \rho _{\rm{Öl}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Öl}}\): Dichte von Öl; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung).

Da sich weiter zwischen den beiden Platten Luft befindet, wirkt auf das Öltröpfchen zusätzlich stets die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot V \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(V\): Volumen des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach oben. Auch hier kann man das Volumen des Öltröpfchens mit Hilfe seines Radius ausdrücken. Damit ergibt sich für die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung).

Obwohl die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}}\) gegenüber der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\) sehr klein ist und eigentlich vernachlässigt werden kann (vgl. untenstehende Aufgabe), wird häufig mit einer um die Auftriebskraft reduzierten Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = F_{\rm{G}} - F_{\rm{A}}\) gerechnet; man erhält dann (\(\rho ' = \rho _{\rm{Öl}} -\rho _{\rm{Luft}}\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)\[F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\]

Elektrische Kraft

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Liegt an den beiden Platten eine Spannung an, so wirkt auf ein geladenes Öltröpfchen zusätzlich die elektrische Kraft \({F_{\rm{el}}} = q \cdot E\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(E\): Elektrische Feldstärke zwischen den Platten). Die elektrische Feldstärke \(E\) kann man mit Hilfe der Formel \(E = \frac{U}{d}\) ersetzen. Damit ergibt sich für die elektrische Kraft (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Platten; \(d\): Plattenabstand)\[{F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\]

Da die Platten horizontal angeordnet sind, sind die elektrische Kraft und die Gewichtskraft stets parallel gerichtet. Durch Umpolen der an die Platten angeschlossenen elektrischen Quelle kann die elektrische Kraft nach oben oder nach unten wirken.

Schweben im elektrischem Feld

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An die Platten wird eine Spannung \(U\) angelegt und so eingestellt, dass das Öltröpfchen schwebt (Schweben im elektrischen Feld). Für ein negativ geladenes Tröpfchen muss die obere Platte positiv und die untere Platte negativ geladen werden.

Auf das ruhende Tröpfchen wirken

• nach oben die elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}}\)
• nach unten die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\)

Da das Tröpfchen ruht (bzw. aufgrund der BROWNschen Bewegung etwas zittert), wirkt auf das Tröpfchen keine resultierende Kraft mehr und es herrscht folgendes Kräftegleichgewicht:

Die elektrische Kraft \({F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\) ist betragsgleich der (reduzierten) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\):\[\begin{eqnarray} {{F_{\rm{G'}}}} &=& {{F_{\rm{el}}}} \\ \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g &=& q \cdot \frac{U}{d} \quad(1)\end{eqnarray}\]

Berechnung der Ladung des Tröpfchens

Durch Auflösen von Gleichung \((1)\) nach \(q\) (vgl. die untenstehende Aufgabe) erhält man die Formel\[q = \frac{{\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g \cdot d}}{U}\quad(2)\]Die Größen \(\rho'=\rho_{\text{Öl}} - \rho_{\text{Luft}}\) und \(g\) können aus Tabellen entnommen werden, die Größe \(d\) findet sich in den technischen Daten der Versuchsapparatur und die Größe \(U\) kann leicht gemessen werden. Kann man den Radius \(r\) des Tröpfchens bestimmen, so kann die Ladung \(q\) aus den bekannten und gemessenen Größen berechnet werden.

Hinweis: Bei der folgenden Rechnung kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Umformungen online selbst durchführen. Die Lösung findest du hier.