Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

MILLIKAN-Versuch - Schwebemethode (Simulation)

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

MILLIKAN-Versuch - Schwebemethode (Simulation)

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Abb.
1
In der Schule üblicher Aufbau des MILLIKAN-Versuchs

Der nach dem amerikanischen Physiker Robert Andrews MILLIKAN (1868 - 1953) benannte MILLIKAN-Versuch ist nicht nur von großer historischer Bedeutung für die Physik (vgl. Geschichte der Bestimmung der Elementarladung), sondern auch einer der zentralen Versuche des Physikunterrichts in der Oberstufe.

Obwohl der prinzipielle Versuchsaufbau relativ einfach ist, sind sowohl die Versuchsdurchführung als auch die theoretischen Überlegungen, die für die Auswertung benötigt werden, teilweise recht komplex. Aus diesem Grund bieten wir auf LEIFIphysik vier verschiedene Methoden der Durchführung einschließlich der jeweiligen Theorie an. Zu jeder Methode gibt es eine angepasste Simulation sowie weitere Hilfsmittel. Mit Hilfe der Simulation können dann selbstständig "Messwerte" aufgenommen und diese dann ausgewertet werden.

Aufbau

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Abb.
2
Skizze des prinzipiellen Aufbaus des MILLIKAN-Versuchs

Der prinzipielle Aufbau des MILLIKAN-Versuchs ist recht einfach; er besteht aus einem horizontal liegenden Plattenkondensator mit dem Plattenabstand \(d\), an den eine elektrische Quelle angeschlossen ist. Die elektrische Quelle kann sowohl ein- und ausgeschaltet als auch umgepolt werden, die angelegte Spannung \(U\) ist regelbar und wird mit einem Voltmeter gemessen. Der Raum zwischen den Platten kann mit einer Lampe beleuchtet und mit einem Mikroskop beobachtet werden; darin eingeblendet ist eine Skala, in der die einzelnen Skalenstriche den Abstand \(s\) haben. In das Innere des Plattenkondensators können mit einem Zerstäuber kleine Öltröpfchen gesprüht werden, die sich durch die Reibung aufladen und deren Bewegung mit Hilfe des Mikroskops beobachtet werden kann.

Hinweis: Durch die Beobachtung des Raums zwischen den Platten durch das Mikroskop werden oben und unten vertauscht; bewegt sich also ein Öltröpfchen in der Realität z.B. zwischen den Platten nach unten zur Erde hin, so beobachtet man im Mikroskop eine Bewegung des Öltröpfchens nach oben.

Theorie der Schwebemethode

Bei der Schwebemethode

wird ein Öltröpfchen durch Anlegen einer Spannung in der Schwebe gehalten (Schweben im elektrischen Feld).

Wie im Folgenden gezeigt wird lässt sich dann durch Messung der anliegenden Spannung und des Radius des Öltröpfchens dessen Ladung bestimmen. Hinweis: Die Schwebemethode ist im Realexperiment kaum durchzuführen, da der Schwebezustand aufgrund der BROWNschen Molekularbewegung schwer einzustellen ist und die Größe der Öltröpfchen wegen der Lichtbeugung nicht richtig zu erkennen ist. Die Simulation ermöglicht aber dieses Verfahren, das wegen der überschaubaren physikalischen Zusammenhänge besonders für einen Grundkurs geeignet erscheint.

Auf ein elektrisch geladenes Öltröpfchen in der Versuchsanordnung des MILLIKAN-Versuchs können die folgenden Kräfte wirken:

Gewichts- und Auftriebskraft

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Abb.
3
Richtungen von Gewichts- und Auftriebskraft sowie reduzierter Gewichtskraft

Da sich die Versuchsanordnung im Gravitationsfeld der Erde befindet, wirkt auf das Öltröpfchen stets die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = m \cdot g\) (\(m\): Masse des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach unten. Die Masse \(m\) des kugelförmigen Öltröpfchens kann man mit Hilfe der bekannten Formeln \(m = \rho  \cdot V\) und \(V_{\rm{Kugel}} = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3}\) durch \(m = \rho _{\rm{Öl}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3}\) ausdrücken, so dass sich für die Gewichtskraft \(F_{\rm{G}} = \rho _{\rm{Öl}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Öl}}\): Dichte von Öl; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

Da sich weiter zwischen den Kondensatorplatten Luft befindet, wirkt auf das Öltröpfchen zusätzlich stets die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot V \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(V\): Volumen des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) nach oben. Auch hier kann man das Volumen des Öltröpfchens mit Hilfe seines Radius ausdrücken, so dass sich für die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}} = \rho _{\rm{Luft}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\) (\(\rho _{\rm{Luft}}\): Dichte von Luft; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung) ergibt.

Obwohl die Auftriebskraft \(F_{\rm{A}}\) gegenüber der Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\) sehr klein ist und eigentlich vernachlässigt werden kann (vgl. untenstehende Aufgabe), wird häufig mit einer um die Auftriebskraft reduzierten Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = F_{\rm{G}} - F_{\rm{A}}\) gerechnet; man erhält dann (\(\rho ' = \rho _{\rm{Öl}} -\rho _{\rm{Luft}}\): reduzierte Dichte; \(r\): Radius des Tröpfchens; \(g\): Erdbeschleunigung)\[F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\]

Aufgabe

Berechne für einen Tröpfchenradius von \(r = 5{,}00 \cdot {10^{ - 7}}\,{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Beträge von Gewichtskraft \(F_G\), Auftriebskraft \(F_A\) und reduzierter Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\).

Lösung

\[{F_{\rm{G}}} = \rho _{\rm{Öl}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{G}}} = 875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {\left( {5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}} \right)^3} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 4{,}49 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{N}}\] \[{F_{\rm{A}}} = {\rho _{{\rm{Luft}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{A}}} = 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {\left( {5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}} \right)^3} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 6{,}63 \cdot {10^{ - 18}}\,{\rm{N}}\] \[{F_{\rm{G'}}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g \Rightarrow {F_{\rm{G'}}} = \left( 875{,}3-1{,}29\right)\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {\left( {5{,}00 \cdot {{10}^{ - 7}}\,{\rm{m}}} \right)^3} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} = 4{,}48 \cdot {10^{ - 15}}\,{\rm{N}}\]

Begründe durch eine Rechnung, dass unabhängig von allen anderen Größen für \(\rho _{\rm{Öl}} = 875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) und \({\rho _{\rm{Luft}}} = 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\) die Vernachlässigung des Auftriebs ungefähr \(0{,}1\%\) Ungenauigkeit bedeutet.

Lösung

\[p\% = \frac{{{\rho _{{\rm{Öl}}}}}}{{{\rho _{{\rm{Öl}}}} - {\rho _{{\rm{Luft}}}}}} = \frac{{875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}}{{875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} - 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}}} = 1{,}001 = 100{,}1\% =100\% + 0{,}1\%\]

Elektrische Kraft

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Abb.
4
Richtung der elektrischen Kraft auf ein negativ geladenes Öltröpfchen in Abhängigkeit von der Polung des Plattenkondensators

Liegt an den Platten des Kondensators eine Spannung an, so wirkt auf ein geladenes Öltröpfchen zusätzlich die elektrische Kraft \({F_{\rm{el}}} = q \cdot E\) (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(E\): Elektrische Feldstärke zwischen den Kondensatorplatten). Die elektrische Feldstärke \(E\) kann man mit Hilfe der Kondensatorformel \(E = \frac{U}{d}\) ersetzen, so dass sich für die elektrische Kraft ergibt (\(q\): Ladung des Tröpfchens; \(U\): Spannung an den Kondensatorplatten; \(d\): Plattenabstand)\[{F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\]

Da die Platten horizontal angeordnet sind, sind die elektrische Kraft und die Gewichtskraft stets parallel gerichtet. Durch Umpolen der an den Kondensator angeschlossenen elektrischen Quelle kann die elektrische Kraft nach oben oder nach unten wirken.

Aufgabe

Durch vorhergegangene Experimente wusste MILLIKAN, dass die Öltröpfchen im Kondensator Ladungen in der Größenordnung von ca. \(1 \cdot {10^{ - 19}}\,{\rm{As}}\) tragen.

Berechne für einen Plattenabstand von \(d = 6{,}00 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{m}}\) und die oben berechnete reduzierte Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}}\), welche Spannung \(U\) an den Kondensatorplatten anliegen muss, um ein Öltröpfchen gegen die reduzierte Gewichtskraft in der Schwebe zu halten.

Lösung

\[F_{\rm{el}} = F_{\rm{G'}} \Leftrightarrow q \cdot \frac{U}{d} = F_{\rm{G'}} \Leftrightarrow U = \frac{{F_{\rm{G'}} \cdot d}}{q}\] Einsetzen der gegebenen Werte liefert \[U = \frac{{4{,}48 \cdot {{10}^{ - 15}}\,{\rm{N}} \cdot 6{,}00 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}}}{{1 \cdot {{10}^{ - 19}}\,{\rm{As}}}} = 269\,{\rm{V}}\]

Schweben im elektrischem Feld

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Abb.
5
Kräftegleichgewicht beim Schweben im elektrischen Feld

An die Kondensatorplatten wird eine Spannung \(U\) angelegt und so eingestellt, dass das Öltröpfchen schwebt (Schweben im elektrischen Feld). Für ein negativ geladenes Tröpfchen muss die obere Platte positiv und die untere Platte negativ geladen werden.

Auf das ruhende Tröpfchen wirken

nach oben die elektrische Kraft \({{\vec F}_{{\rm{el}}}}\)

nach unten die (reduzierte) Gewichtskraft \({\vec F_{{\rm{G'}}}}\)

Da das Tröpfchen ruht (bzw. aufgrund der BROWNschen Bewegung etwas zittert), wirkt auf das Tröpfchen keine resultierende Kraft mehr und es herrscht folgendes Kräftegleichgewicht:

Die elektrische Kraft \({F_{{\rm{el}}}} = q \cdot \frac{U}{d}\) ist betragsgleich der (reduzierten) Gewichtskraft \(F_{\rm{G'}} = \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot {r^3} \cdot g\):\[\begin{eqnarray} {{F_{\rm{G'}}}} &=& {{F_{\rm{el}}}} \\ \rho' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g &=& q \cdot \frac{U}{d} \quad(1)\end{eqnarray}\]

Herleitung der Formel für die Ladung des Tröpfchens

Durch Auflösen von Gleichung \((1)\) nach \(q\) (vgl. die untenstehende Aufgabe) erhält man die Formel\[q = \frac{{\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g \cdot d}}{U}\quad(2)\]Die Größen \(\rho'=\rho_{\text{Öl}} - \rho_{\text{Luft}}\) und \(g\) können aus Tabellen entnommen werden, die Größe \(d\) findet sich in den technischen Daten der Versuchsapparatur und die Größe \(U\) kann leicht gemessen werden. Kann man den Radius \(r\) des Tröpfchens bestimmen, so kann die Ladung \(q\) aus den bekannten und gemessenen Größen berechnet werden.

Hinweis: Bei der folgenden Rechnung kann dir ein Computeralgebrasystem wie z.B. GeoGebra CAS gute Dienste leisten. Mit wenigen Befehlen kannst du die Umformungen online selbst durchführen. Die Lösung findest du hier.

Aufgabe

Löse Gleichung \((1)\) nach \(q\) auf.

Lösung

\[\begin{eqnarray}\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g &=& q \cdot \frac{U}{d} \quad| \cdot d\\ \Leftrightarrow \rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g \cdot d &=& q \cdot U\quad |:U\\ \Leftrightarrow q &=& \frac{{\rho ' \cdot \frac{4}{3} \cdot \pi  \cdot {r^3} \cdot g \cdot d}}{U}\quad(2)\end{eqnarray}\]

Zeige durch eine Einheitenrechnung, dass Gleichung \((2)\) für die Ladung \(q\) die korrekte Einheit ergibt.

Lösung

\[\left[ q \right] = \frac{{\left[ {\rho '} \right] \cdot {{\left[ r \right]}^3} \cdot \left[ g \right] \cdot \left[ d \right]}}{{\left[ U \right]}} = \frac{{\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot {{\rm{m}}^3} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\rm{m}}}}{{\rm{V}}} = \frac{{\frac{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{m}}^2}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{{\frac{{\rm{J}}}{{\rm{C}}}}} = \frac{{\rm{J}}}{{\frac{{\rm{J}}}{{\rm{C}}}}} = {\rm{C}}\]

Durchführung und Beobachtung

Aufgabe

Sprühe Öltröpfchen in die Versuchsapparatur und konzentriere dich auf ein einzelnes Öltröpfchen.

Schalte die Kondensatorspannung \(U\) ein und regele diese so weit hoch, dass das ausgewählte Öltröpfchen ruht.

Klicke mit der Maus auf das Öltröpfchen - du bekommst dessen Radius \(r\) angezeigt.

Notiere die Werte von Spannung \(U\) und Radius \(r\).

Führe den Versuch mehrmals mit verschiedenen Öltröpfchen durch. Notiert die jeweiligen Messwerte in der folgenden Tabelle.

\(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(r\;{\rm{in}}\;10^{-7}\,{\rm{m}}\) \(q\;{\rm{in}}\;10^{-19}\,{\rm{As}}\)
\(1\) ... ... ...
\(2\) ... ... ...
Lösung
\(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(r\;{\rm{in}}\;10^{-7}\,{\rm{m}}\) \(q\;{\rm{in}}\;10^{-19}\,{\rm{As}}\)
\(1\) \(168\) \(5{,}00\) ...
\(2\) ... ... ...
Kondensatorspannung
U
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6 Bestimmung der Elementarladung nach der Schwebemethode

Hinweis: Die Simulation arbeitet mit den Parametern \(d = 6{,}00 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{m}}\), \({\rho _{{\rm{Öl}}}} = 875{,}3\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \({\rho _{{\rm{Luft}}}} = 1{,}29\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\), \(g = 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\). Der Tröpfchenradius wird beim Anklicken des Tröpfchens mit der Maus angezeigt. Ist die Kondensatorspannung \(U\) positiv, so ist die (in der Realität obere, im Mikroskop untere) Platte des Kondensators positiv geladen.

Auswertung

Hinweis: Bei der Auswertung der Messwerte kann dir eine Tabellenkalkulation gute Dienste leisten. Ein passendes Tabellenblatt kannst du leicht selbst anfertigen. Ein vorgefertigtes Tabellenblatt im .xls-Format findest du hier.

Aufgabe

Berechne für alle Einzelmessungen wie in Gleichung \((2)\) angegeben den Wert für die Ladung \(q\). Er sollte in der Größenordnung von \({10^{ - 19}}{\rm{As}}\) liegen.

Lösung
\(N\) \(U\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) \(r\;{\rm{in}}\;10^{-7}\,{\rm{m}}\) \(q\;{\rm{in}}\;10^{-19}\,{\rm{As}}\)
\(1\) \(168\) \(5{,}00\) \(1{,}60\)
\(2\) ... ... ...

Erstelle ein Diagramm, in dem du auf der horizontalen Achse die Versuchsnummer \(N\) und auf der vertikalen Achse jeweils die berechnete Ladung \(q\) aufträgst.

Lösung

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Abb.
7
Diagramm mit der Darstellung der Messergebnisse

Interpretiere das Diagramm.

Lösung

Die Interpretation des Diagramms und damit das Versuchsergebnis findest du hier.

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