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Versuche

Kapazität des Plattenkondensators

Ziel des Versuchs

  • Bestimmung der Einflussfaktoren auf die Kapazität \(C\) eines Plattenkondensators.
  • Quantitative Herleitung der allgemeinen Formel \(C={\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot \frac{A}{d}\).

Kondensatoren sind Anordnungen, mit denen sich Ladungen speichern lassen. In der Regel bestehen sie aus zwei voneinander elektrisch isolierten Elektroden, zwischen denen sich meist ein Isoliermedium, das sogenannte Dielektrikum befindet. Zur Zeit werden große Anstrengungen unternommen, die Speicherfähigkeit eines Kondensators zu erhöhen. Am Beispiel des Plattenkondensators soll im Folgenden untersucht werden, von welchen Parametern die Speicherfähigkeit eines Kondensators abhängt.

Grundprinzip bei allen Teilversuchen

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Schaltplan

Lädt man einen Kondensator mit einer bestimmten Spannung \(U\), so herrscht auf der einen Platte ein Elektronenmangel und auf der anderen Platte ein Elektronenüberschuss. Der Ladungsbetrag \(Q\) ist auf beiden Platten gleich groß.

Löst man den Kondensator von der Stromquelle und entlädt ihn über ein Ladungsmessgerät (z.B. ballistisches Galvanometer oder auf Ladung eingestellter Messverstärker), so gleichen sich Ladungsmangel und Ladungsüberschuss aus, es fließt die Ladung \(Q\).

Aufbau und Durchführung bei allen Teilversuchen

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Abb. 2 Versuchsaufbau

Die untere Platte wird über die elektrische Quelle und den Messverstärker mit der gemeinsamen Erde verbunden.

Die obere Platte wird zunächst durch Berühren mit dem Ladekontakt 1, der mit dem Pluspol der Energiequelle verbunden ist, geladen. Anschließend wird die Platte durch Berühren mit dem Messkontakt 2, der mit dem Eingang des Messverstärkers verbunden ist, über den ladungsempfindlichen Messverstärker entladen.

Die Empfindlichkeit des Messverstärkers sollte dabei i.d.R. auf den Bereich von \(10^{-8}\,\rm{C}\) eingestellt sein.

Tipp: Eine hohe Luftfeuchtigkeit beeinflusst das Gelingen der Versuche stark. Ein "Abföhnen" der Platten und der Abstandshalter mit einem einfachen Föhn löst das Problem meist.

Vorversuch: Bestätigung der Kondensatorformel

Wir wollen zuerst in einem Vorversuch zeigen, dass der oben gezeigte Plattenkondensator das typische Verhalten von Kondensatoren - die Proportionalität zwischen der Spannung \(U\), die über den beiden Platten anliegt und der Ladung \(Q\), die sich auf den beiden Platten ansammelt - zeigt.

Durchführung

Für den aufgebauten Plattenkondensator verändern wir die Spannung \(U\) und messen jeweils die Ladung \(Q\).

Beobachtung

Tab. 1 Messwerte zum Vorversuch

\(U\;\rm{in}\;\rm{V}\) \(0\) \(50\) \(100\) \(150\) \(200\) \(250\) \(300\)
\(Q\;\rm{in}\;10^{-9}\,\rm{As}\) \(0\) \(11\) \(21\) \(29\) \(41\) \(49\) \(59\)
Auswertung
Aufgabe

Zeichne ein \(U\)-\(Q\)-Diagramm, interpretiere die Ergebnisse und bestimme die Kapazität des Plattenkondensators.

Lösung

Es ergibt sich nebenstehendes Diagramm.

Die Messpunkte liegen auf einer Ursprungsgeraden; dies besagt, dass\[Q \sim U\;\;\;{\rm{oder}}\;\;\;Q = C \cdot U\]mit der Kapazität\[C = \frac{Q}{U}\]Diese berechnet sich hier zu\[C = \frac{Q}{U}\quad \Rightarrow \quad C = \frac{{51 \cdot {{10}^{ - 9}}}}{{250}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}} = 2{,}0 \cdot {10^{ - 10}}\,{\rm{F}} = 200\,{\rm{pF}}\]

Wir wollen nun untersuchen, von welchen Größen die Kapazität eines Plattenkondensators abhängt. Auf den ersten Blick fallen einem der Flächeninhalt \(A\) und der Abstand \(d\) der beiden Platten ein.

Teilversuch 1. Untersuchung der Abhängigkeit der Kapazität \(C\) vom Flächeninhalt \(A\) der Platten

Durchführung
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Abb. 3 Variation der Plattengröße

Wir halten die Spannung \(U = 250\,{\rm{V}}\) und den Plattenabstand \(d = 4{,}0\,\rm{mm}\) konstant, verändern den Flächeninhalt \(A\), indem wir verschieden große Platten nutzen und messen jeweils die Ladung \(Q\) auf dem Kondensator.

Beobachtung

Tab. 2a Messwerte zum 1. Teilversuch

\(A\;\rm{in}\;\rm{cm}^2\) \(0\) \(400\) \(800\)
\(Q\;{\rm{in}}\;10^{-9}\,\rm{As}\) \(0\) \(26\) \(52\)
Auswertung
Aufgabe

Berechne jeweils die Kapazität des Kondensators.

Trage die Werte in einem \(A\)-\(C\)-Diagramm ein.

Bestimme den Term, der den Zusammenhang zwischen \(A\) und \(C\) beschreibt.

Lösung

Für die Kapazität gilt \(C = \frac{Q}{U}\); damit erhält man

Tab. 2a Messwerte zum 1. Teilversuch mit berechneten Kapazitätswerten

\(A\;\rm{in}\;\rm{cm}^2\) \(0\) \(400\) \(800\)
\(Q\;\rm{in}\;10^{-9}\,\rm{As}\) \(0\) \(26\) \(52\)
\(C\;\rm{in}\;10^{-12}\,\rm{F}\) \(0\) \(100\) \(200\)

Man kann daraus eine direkte Proportionalität zwischen Kapazität und Plattenfläche vermuten: \(C \sim A\) bei \(d = \rm{const.}\).

Teilversuch 2. Untersuchung der Abhängigkeit der Kapazität \(C\) vom Plattenabstand \(d\)

Durchführung

Wir halten die Spannung \(U = 250\,{\rm{V}}\) und die Plattenfläche mit \(A = 400\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) konstant, verändern den Plattenabstand \(d\), indem wir verschieden dicke Abstandsstückchen zwischen die Platten legen und messen jeweils die Ladung \(Q\) auf dem Kondensator.

Beobachtung

Tab. 3a Messwerte zum 2. Teilversuch

\(d\;\rm{in}\;\rm{mm}\) \(1{,}0\) \(2{,}0\) \(3{,}0\) \(4{,}0\) \(6{,}0\)
\(Q\;\rm{in}\;10^{-9}\,\rm{As}\) \(100\) \(52\) \(33\) \(26\) \(17\)
Auswertung
Aufgabe

Berechne jeweils die Kapazität des Kondensators.

Trage die Werte in einem \(d\)-\(C\)-Diagramm ein.

Bestimme den Term, der den Zusammenhang zwischen \(d\) und \(C\) beschreibt.

Lösung

Für die Kapazität gilt \(C = \frac{Q}{U}\); damit erhält man

Tab. 3b Messwerte zum 2. Teilversuch mit berechneten Kapazitätswerten

\(d\;\rm{in}\;\rm{mm}\) \(1{,}0\) \(2{,}0\) \(3{,}0\) \(4{,}0\) \(6{,}0\)
\(Q\;\rm{in}\;10^{-9}\,\rm{As}\) \(100\) \(52\) \(33\) \(26\) \(17\)
\(C\;\rm{in}\;10^{-12}\,\rm{F}\) \(400\) \(200\) \(132\) \(100\) \(68\)

Man kann daraus eine indirekte Proportionalität zwischen Kapazität und Plattenabstand vermuten: \(C \sim \frac{1}{d}\) bei \(A = \rm{const.}\).

Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse

Auswertung
Aufgabe

Fasse die Ergebnisse des 1. und 2. Teilversuchs zur Abhängigkeit der Kapazität von den geometrischen Größen eines Plattenkondensators zu einer Beziehung zusammen.

Lösung

Die beiden für einen luftgefüllten Kondensator festgestellten (durch die Versuche zumindest vermuteten) Abhängigkeiten lauten\[C \sim A\;{\rm{bei}}\;d = const.\]und\[C \sim \frac{1}{d}\;{\rm{bei}}\;A = const.\]Fasst man die beiden Proportionalitäten zusammen gilt\[C \sim A \cdot \frac{1}{d} = \frac{A}{d}\]Die Proportionalitätskonstante mit der Bezeichung \({\varepsilon _0}\) ist eine wichtige Naturkonstante und heißt elektrische Feldkonstante oder Dielektrizitätskonstante des Vakuums. Es gilt\[C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d}\]mit\[{\varepsilon _0} = 8{,}85 \cdot {10^{-12}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}}\]In diesem Versuch würde sich für \({\varepsilon _0}\) der Wert \({\varepsilon _0} = 9{,}9 \cdot {10^{-12}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}}\) ergeben; rechne zur Übung nach!

Möglicherweise ist die Kapazität eines Plattenkondensators auch noch von dem Material zwischen den beiden Kondensatorplatten - bisher Luft - abhängig.

3. Teilversuch: Untersuchung der Abhängigkeit der Kapazität \(C\) vom Material zwischen den Kondensatorplatten

Durchführung
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Abb. 4 Plexiglas zwischen den Platten

Wir halten die Spannung \(U = 100\,{\rm{V}}\), die Plattenfläche mit \(A = 800\,{\rm{cm}}^2\) und den Plattenabstand \(d=4{,}0\,\rm{mm}\) konstant, verändern das Material zwischen den Kondensatorplatten, indem wir Platten aus verschiedenen Materialien zwischen die Platten bringen und messen jeweils die Ladung \(Q\).

Beobachtung

Tab. 5a Messwerte zum 3. Teilversuch

Material Luft Polystyrol Plexiglas Glas
\(Q\;\rm{in}\;10^{-9}\,\rm{As}\) \(18\) \(29\) \(59\) \(74\)
Auswertung
Aufgabe

Bestimme aus dem Versuch die Kapazitäten der drei Plattenkondensatoren. Bestimme das "relative Dielektrizitätszahl \({\varepsilon _{\rm{r}}}\)" genannte Verhältnis der Kapazität des Kondensators mit Füllung zur Kapazität ohne Füllung (Luftkondensator)

Lösung

Für die Kapazität gilt \(C = \frac{Q}{U}\); damit erhält man

Tab. 5b Messwerte zum 3. Teilversuch mit berechneten Kapazitätswerten und relativen Dielektrizitätskonstanten

Material Luft Polystyrol Plexiglas Glas
\(Q\;\rm{in}\;10^{-9}\,\rm{As}\) \(18\) \(29\) \(59\) \(74\)
\(C\;\rm{in}\;10^{-12}\,\rm{F}\) \(180\) \(290\) \(590\) \(740\)
\({\varepsilon _{\rm{r}}}\) \(1\) \(1{,}6\) \(3{,}3\) \(4{,}1\)

Ein materiegefüllter Kondensator hat also stets eine um den Faktor \({\varepsilon _{\rm{r}}}\) größere Kapazität als ein Luftkondensator gleicher Geometrie.

Zusammenfassung der Ergebnisse

Ein Plattenkondensator ist ein Ladungsspeicher. Die Kapazität \(C\) ist um so größer,

  • je größer der Flächeninhalt \(A\) der Platten,
  • je kleiner der Plattenabstand \(d\),
  • je höher die relative Dielektrizitätszahl \({\varepsilon _{\rm{r}}}\) des Dielektrikums, d.h. des Materials zwischen den Platten.

Wir erhalten \[C = {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot \frac{A}{d}\]