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Versuche

COULOMB-Gesetz (Simulation von PhET)

Das Ziel der Simulation

Mit Hilfe dieser Simulation kannst du dir selbstständig das COULOMB-Gesetz erarbeiten.

Abb. 1 Charles Augustin de COULOMB (1736 - 1806)

Die Simulation "COULOMB-Gesetz" veranschaulicht die COULOMB-Kraft zwischen zwei geladenen Körpern in Abhängigkeit von den relevanten Größen. Sie ermöglicht dir die selbstständige Erarbeitung des COULOMB-Gesetztes, das Charles Augustin de COULOMB (1736 - 1806) um das Jahr 1785 entdeckt hat und seither in umfangreichen Experimenten bestätigt werden konnte.

In der Simulation siehst du zwei geladene Körper, deren Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) du in gewissen Grenzen verändern kannst. Ebenfalls kannst du den Abstand der Mittelpunkte der beiden Körper - wir bezeichnen ihn mit \(r\) - verändern, indem du die Körper horizontal bewegst. Das Lineal ist ebenfalls beweglich, mit ihm kannst du diesen Abstand messen.

Die beiden kleinen Figuren und die Kraftpfeile deuten an, wie die COULOMB-Kraft zwischen den beiden Körpern gerichtet und wie groß sie ist. Den Betrag \({F_{\rm{C}}}\) der COULOMB-Kraft kannst du dir mit der Checkbox "Werte der Kräfte" anzeigen lassen, durch Wählen der Checkbox "wissenschaftlich" auch in wissenschaftlicher Schreibweise.

Im weiteren Verlauf dieses Artikels wollen wir mit dem COULOMB-Gesetz auf Laborgröße arbeiten.

Abb. 2 COULOMB-Kraft zwischen zwei Ladungen in Abhängigkeit von den relevanten Größen
Aufgabe

Verändere in der Simulation die Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) der beiden Körper sowie den Abstand \(r\) der Mittelpunkte der beiden Körper und beobachte den Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft.

Formuliere deine Beobachtungen in Form von "Wenn ..., dann ..." oder "Je größer ..., desto ..." - Sätzen.

Lösung

Wenn die Ladungen der beiden Körper gleiche Vorzeichen haben, dann stoßen sie sich ab.

Wenn die Ladungen der beiden Körper verschiedene Vorzeichen haben, dann ziehen sie sich an.

Je größer der Betrag der Ladung \(q_1\) des einen Körpers, desto größer der Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft.

Je größer der Betrag der Ladung \(q_2\) des anderen Körpers, desto größer der Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft.

Je größer der Abstand \(r\) der Mittelpunkte der beiden Körper, desto kleiner der Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft.

Aufgabe
Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft von der Ladung \(q_1\)

Halte den Abstand \(r\) der Mittelpunkte der beiden Ladungen auf dem Wert \(5{,}0\,\rm{cm}\) und die Ladung \(q_2\) auf dem Wert \(5\,\rm{\mu C}\) fest.

Verändere die Ladung \(q_1\) und beobachte den Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft.

Halte die verschiedenen Werte von \(q_1\) und \(F_{\rm{C}}\) in einer Tabelle fest.

Trage anschließend die Wertepaare in einem \(q_1\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm auf.

Gib an, auf welchem Graphen sich die Wertepaare befinden, welcher Funktionstyp zu diesem Graphen gehört und wie der zugehörige Funktionsterm allgemein aussieht.

Werte dieses \(q_1\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen \(q_1\) und \(F_{\rm{C}}\) beschreibt.

Lösung

Abb. 3 \(q_1\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm mit eingezeichneter Ausgleichsgerade

Für die festen Werte \(r=5{,}0\,\rm{cm}\) und \(q_2=5\,\rm{\mu C}\) erhält man folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

Tab. 1 Wertetabelle zur Untersuchung der Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft von der Ladung \(q_1\)

\(q_1\;\rm{in}\;10^{-6}\rm{C}\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\)
\(F_{\rm{C}}\;\rm{in}\;\rm{N}\) \(0\) \(18\) \(36\) \(54\) \(72\) \(90\) \(108\) \(126\) \(144\) \(162\) \(180\)

Im Diagramm liegen die Wertepaare auf einer Ursprungsgerade. Somit können wir von einem proportionalen Zusammenhang zwischen der Ladung \(q_1\) und dem Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft ausgehen. Der zugehörige Funktionsterm hat somit die Form \(y(x) = m \cdot x\).

Als Steigung der Ausgleichsgerade ergibt sich\[m = \frac{{180 \,{\rm{N}}}}{{10 \cdot 10{-6}\,{\rm{C}}}} = 1{,}8 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{C}}}}\]und damit als Funktionsterm (mit \(r=5{,}0\,\rm{cm}\) und \(q_2=5\,\rm{\mu C}\)) \[{F_{\rm{C}}}\left( q_1 \right) = 1{,}8 \cdot {10^{7}}\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{C}}}} \cdot {q_1}\]

Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft von der Ladung \(q_2\)

Halte den Abstand \(r\) der Mittelpunkte der beiden Ladungen auf dem Wert \(5{,}0\,\rm{cm}\) und die Ladung \(q_1\) auf dem Wert \(5\,\rm{\mu C}\) fest.

Verändere die Ladung \(q_2\) und beobachte den Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft.

Halte die verschiedenen Werte von \(q_2\) und \(F_{\rm{C}}\) in einer Tabelle fest.

Trage anschließend die Wertepaare in einem \(q_2\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm auf.

Gib an, auf welchem Graphen sich die Wertepaare befinden, welcher Funktionstyp zu diesem Graphen gehört und wie der zugehörige Funktionsterm allgemein aussieht.

Werte dieses \(q_2\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen \(q_2\) und \(F_{\rm{C}}\) beschreibt.

Lösung

Abb. 4 \(q_2\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm mit eingezeichneter Ausgleichsgerade

Für die festen Werte \(r=5{,}0\,\rm{cm}\) und \(q_1=5\,\rm{\mu C}\) erhält man folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

Tab. 2 Wertetabelle zur Untersuchung der Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft von der Ladung \(q_2\)

\(q_2\;\rm{in}\;10^{-6}\rm{C}\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\)
\(F_{\rm{C}}\;\rm{in}\;\rm{N}\) \(0\) \(18\) \(36\) \(54\) \(72\) \(90\) \(108\) \(126\) \(144\) \(162\) \(180\)

Im Diagramm liegen die Wertepaare auf einer Ursprungsgerade. Somit können wir von einem proportionalen Zusammenhang zwischen der Ladung \(q_2\) und dem Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft ausgehen. Der zugehörige Funktionsterm hat somit die Form \(y(x) = m \cdot x\).

Als Steigung der Ausgleichsgerade ergibt sich\[m = \frac{{180 \,{\rm{N}}}}{{10 \cdot 10{-6}\,{\rm{C}}}} = 1{,}8 \cdot {10^7}\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{C}}}}\]und damit als Funktionsterm (mit \(r=5{,}0\,\rm{cm}\) und \(q_1=5\,\rm{\mu C}\)) \[{F_{\rm{C}}}\left( q_2 \right) = 1{,}8 \cdot {10^{7}}\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{C}}}} \cdot {q_2}\]

Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft vom Abstand \(r\)

Halte die Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) jeweils auf dem Wert \(5\,\rm{\mu C}\) fest.

Verändere den Abstand \(r\) und beobachte den Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft.

Halte die verschiedenen Werte von \(r\) und \(F_{\rm{C}}\) in einer Tabelle fest.

Trage anschließend die Wertepaare in einem \(r\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm auf.

Stelle anhand dieses Diagramms eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen dem Abstand \(r\) und dem Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft auf. Gib möglichst auch einen passenden Funktionsterm an.

Lösung

Abb. 5 \(r\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm

Für die festen Werte \(q_1=5\,\rm{\mu C}\) und \(q_2=5\,\rm{\mu C}\) erhält man folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

Tab. 3 Wertetabelle zur Untersuchung der Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft vom Abstand \(r\)

\(r\;\rm{in}\;\rm{m}\) \(0{,}015\) \(0{,}020\) \(0{,}030\) \(0{,}040\) \(0{,}050\) \(0{,}060\) \(0{,}070\) \(0{,}080\) \(0{,}090\) \(0{,}10\)
\(F_{\rm{C}}\;\rm{in}\;\rm{N}\) \(999\) \(562\) \(250\) \(140\) \(90\) \(62\) \(46\) \(35\) \(28\) \(22\)

Im Diagramm liegen die Werte nicht auf einer Gerade, sondern eher auf einer Hyperbel. Damit könnte der Zusammenhang zwischen dem Abstand \(r\) und dem Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft z.B. wie \(y\left( x \right) \sim \frac{1}{x}\),  \(y\left( x \right) \sim \frac{1}{x^2}\) oder allgemeiner wie \(y\left( x \right) \sim \frac{1}{{{x^\alpha }}}\) sein.

Linearisierung des \(r\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramms

Man kann zeigen (vgl. die weiter unten stehende Aufgabe für Experten), dass der Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft umgekehrt quadratisch (d.h. wie \(y\left( x \right) \sim \frac{1}{{{x^2}}}\)) vom Abstand \(r\) abhängt. Von dieser Tatsache kannst du im weiteren Verlauf der Auswertung ausgehen, um das \(r\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm zu linearisieren.

Ergänze dazu die zweite Zeile der folgenden Wertetabelle.

Tab. 4a Wertetabelle zur Linearisierung des \(r\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramms

\(r\;\rm{in}\;\rm{m}\) \(0{,}015\) \(0{,}020\) \(0{,}030\) \(0{,}040\) \(0{,}050\) \(0{,}060\) \(0{,}070\) \(0{,}080\) \(0{,}090\) \(0{,}10\)
\(\frac{1}{r^2}\;\rm{in}\;\frac{1}{\rm{m}^2}\) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \)
\(F_{\rm{C}}\;\rm{in}\;\rm{N}\) \(999\) \(562\) \(250\) \(140\) \(90\) \(62\) \(46\) \(35\) \(28\) \(22\)

Trage anschließend die Wertepaare der zweiten und dritten Zeile der Tabelle in einem \(\frac{1}{r^2}\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm auf.

Werte dieses \(\frac{1}{r^2}\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen \(r\) und \(F_{\rm{C}}\) beschreibt.

Lösung

Abb. 6 \(\frac{1}{r^2}\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm mit Ausgleichsgerade

Für die festen Werte \(q_1=5\,\rm{\mu C}\) und \(q_2=5\,\rm{\mu C}\) erhält man folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

Tab. 4b Wertetabelle zur Linearisierung des \(r\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramms

\(r\;\rm{in}\;\rm{m}\) \(0{,}015\) \(0{,}020\) \(0{,}030\) \(0{,}040\) \(0{,}050\) \(0{,}060\) \(0{,}070\) \(0{,}080\) \(0{,}090\) \(0{,}10\)
\(\frac{1}{r^2}\;\rm{in}\;\frac{1}{\rm{m}^2}\) \(4444\) \(2500\) \(1111\) \(625\) \(400\) \(278\) \(204\) \(156\) \(123\) \(100\)
\(F_{\rm{C}}\;\rm{in}\;\rm{N}\) \(999\) \(562\) \(250\) \(140\) \(90\) \(62\) \(46\) \(35\) \(28\) \(22\)

Im Diagramm liegen die linearisierten Werte auf einer Ursprungsgerade. Somit können wir von einem proportionalen Zusammenhang zwischen \(\frac{1}{r^2}\) und dem Betrag \(F_{\rm{C}}\) der Gravitationskraft ausgehen. Als Steigung der Ausgleichsgerade ergibt sich\[m = \frac{{999\,{\rm{N}}}}{{4444\,\frac{1}{{{{\rm{m}}^2}}}}} = 2{,}25 \cdot {10^{-1}}\,{\rm{N}}\,{{\rm{m}}^2}\]und damit als Funktionsterm (mit \(q_1=5\,\rm{\mu C}\) und \(q_2=5\,\rm{\mu C}\)) \[{F_{\rm{C}}}\left(r\right) = 2{,}25 \cdot {10^{-1}}\,\rm{N}\,\rm{m^2} \cdot \frac{1}{r^2}\]

Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft den den Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) und dem Abstand \(r\)

Stelle mit Hilfe der bisherigen Ergebnisse einen Term auf, der die Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft von den Ladungen \(q_1\) und \(q_2\) sowie dem Abstand \(r\) beschreibt (Tipp: Multiplikation der Einzelterme). Bezeichne die Konstante, die in diesem Term nötig ist, mit dem Formelbuchstaben \(k_{\rm{C}}\).

Lösung

Aus den bisherigen Ergebnissen folgert man\[\left. \begin{array}{l}{F_{\rm{C}}} \sim {q_1}\\{F_{\rm{C}}} \sim {q_2}\\{F_{\rm{C}}} \sim \frac{1}{{{r^2}}}\end{array} \right\} \Rightarrow {F_{\rm{C}}} \sim {q_1} \cdot {q_2} \cdot \frac{1}{{{r^2}}} \Rightarrow {F_{\rm{C}}} = k_{\rm{C}} \cdot \frac{{{q_1} \cdot {q_2}}}{{{r^2}}}\]

Bestimmung des Wertes der Konstante \(k_{\rm{C}}\)

Die im oben angegeben Term nötige, aber noch nicht bekannte Konstante \(k_{\rm{C}}\) können wir mit den bisher gewonnen Werten bestimmen.

Ergänze die vierte Zeile der folgenden Wertetabelle.

Tab. 5a Wertetabelle zur Bestimmung der Konstante \(k_{\rm{C}}\)

\(q_1\;\rm{in}\;10^{-6}\rm{C}\) \(3\) \(6\) \(9\) \(5\) \(5\) \(5\) \(5\) \(5\) \(5\)
\(q_2\;\rm{in}\;10^{-6}\rm{C}\) \(5\) \(5\) \(5\) \(2\) \(5\) \(10\) \(5\) \(5\) \(5\)
\(r\;\rm{in}\;\rm{m}\) \(0{,}05\) \(0{,}05\) \(0{,}05\) \(0{,}05\) \(0{,}05\) \(0{,}05\) \(0{,}03\) \(0{,}09\) \(0{,}10\)
\(\frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\;\rm{in}\;10^{-9}\,\frac{\rm{C}^2}{\rm{m}^2}\) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \)
\(F_{\rm{C}}\;\rm{in}\;\rm{N}\) \(54\) \(108\) \(162\) \(36\) \(90\) \(180\) \(250\) \(28\) \(22\)

Trage anschließend die Wertepaare der vierten und fünften Zeile der Tabelle in einem \(\frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm auf.

Werte dieses \(\frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der allgemein den Zusammenhang zwischen \(q_1\), \(q_2\), \(r\) und \(F_{\rm{C}}\) beschreibt.

Lösung

Abb. 7 \(\frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramm mit Ausgleichsgerade

Tab. 5b Wertetabelle zur Bestimmung der Konstante \(k_{\rm{C}}\)

\(q_1\;\rm{in}\;10^{-6}\rm{C}\) \(3\) \(6\) \(9\) \(5\) \(5\) \(5\) \(5\) \(5\) \(5\)
\(q_2\;\rm{in}\;10^{-6}\rm{C}\) \(5\) \(5\) \(5\) \(2\) \(5\) \(10\) \(5\) \(5\) \(5\)
\(r\;\rm{in}\;\rm{m}\) \(0{,}05\) \(0{,}05\) \(0{,}05\) \(0{,}05\) \(0{,}05\) \(0{,}05\) \(0{,}03\) \(0{,}09\) \(0{,}10\)
\(\frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\;\rm{in}\;10^{-9}\,\frac{\rm{C}^2}{\rm{m}^2}\) \(6\) \(12\) \(18\) \(4\) \(10\) \(20\) \(28\) \(3\) \(2{,}5\)
\(F_{\rm{C}}\;\rm{in}\;\rm{N}\) \(54\) \(108\) \(162\) \(36\) \(90\) \(180\) \(250\) \(28\) \(22\)

Als Steigung \(m\) der Ausgleichsgerade und damit als gesuchter Wert der Konstante \(k_{\rm{C}}\) ergibt sich\[k_{\rm{C}}=m = \frac{{250 \,{\rm{N}}}}{{28 \cdot 10^{-9}\,\frac{\rm{C}^2}{{{{\rm{m}}^2}}}}} = 8{,}9 \cdot {10^{9}}\,\frac{{{\rm{N}}\,{{\rm{m}}^2}}}{{{\rm{C}^2}}}\]und damit als Funktionsterm \[{F_{\rm{C}}} = 8{,}9 \cdot {10^{9}}\,\frac{\rm{N}\,\rm{m^2}}{\rm{C}^2} \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2}\]Dies ist das gesuchte COULOMB-Gesetz.

Aus theoretischen Gründen wird die Konstante \(k_{\rm{C}}\) in der Form\[{k_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}\]aufgeschrieben. Dabei ist die Konstante \({{\varepsilon _0}}\) die elektrische Feldkonstante.

Bestimme den Wert der elektrischen Feldkonstante \({{\varepsilon _0}}\).

Weise nach, dass die Maßeinheit der elektrischen Feldkonstante auch durch \({\left[ {{\varepsilon _0}} \right] = 1\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}}}\) gegeben ist.

Lösung

\[{k_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \Leftrightarrow {\varepsilon _0} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {k_{\rm{C}}}}} \Rightarrow {\varepsilon _0} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot 8{,}9 \cdot {{10}^9}\,\frac{{{\rm{N}}\,{{\rm{m}}^2}}}{{{{\rm{C}}^{\rm{2}}}}}}} = 8{,}9 \cdot {10^{ - 12}}\,\frac{{{{\rm{C}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{N}}\,{{\rm{m}}^2}}}\]\[\left[ {{\varepsilon _0}} \right] = 1\,\frac{{{\rm{A\,s}}}}{{{\rm{V\,m}}}} = 1\,\frac{{\frac{{\rm{C}}}{{\rm{s}}} \cdot {\rm{s}}}}{{\frac{{\rm{J}}}{{\rm{C}}} \cdot {\rm{m}}}} = 1\,\frac{{{{\rm{C}}^2}}}{{{\rm{J}} \cdot {\rm{m}}}} = 1\,\frac{{{{\rm{C}}^2}}}{{{\rm{N}} \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{m}}}} = 1\frac{{{{\rm{C}}^2}}}{{{\rm{N}}\,{{\rm{m}}^2}}}\]Damit lautet das COULOMB-Gesetz\[{F_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{q_1} \cdot {q_2}}}{{{r^2}}}\;{\rm{mit}}\;{\varepsilon _0} = 8{,}9 \cdot {10^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{A\,s}}}}{{{\rm{V\,m}}}}\]

In der oben stehende Aufgabe haben wir bei der Auswertung des \(r\)-\(F_{\rm{C}}\)-Diagramms vorausgesetzt, dass der Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft umgekehrt quadratisch (d.h. wie \(y\left( x \right) \sim \frac{1}{{{x^2}}}\)) vom Abstand \(r\) abhängt.

Durch ein besonderes Auswertungsverfahren, die sogenannte doppelt-logarithmische Auftragung der Werte, kann man auch ohne diese Voraussetzung zu den gleichen Ergebnissen wie oben kommen. Dieses Verfahren kannst du in der folgenden Aufgabe durchführen.

Aufgabe
Aufgabe für Experten: Untersuchung der Abhängigkeit des Betrags \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft vom Abstand \(r\) durch doppelt-logarithmische Auftragung

Wenn wir davon ausgehen, dass der Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft vom Abstand \(r\) durch eine Potenzfunktion mit reellem Exponenten (d.h. wie \(y(x) \sim {x^\alpha }\;\rm{mit}\;\alpha  \in \mathbb{R}\)) abhängt, so kann man den Exponent \(\alpha\) sowie den Proportionalitätsfaktor \(C\) durch doppelt-logarithmische Auftragung der Wertepaare bestimmen.

Wir setzen an mit \(x: = \frac{r}{{\rm{m}}}\) und \(y: = \frac{{{F_{\rm{C}}}}}{{{\rm{N}}}}\) und erhalten so den Ansatz\[y = C \cdot {x^\alpha }\]Wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus an und nutzen die Logarithmengesetze aus, so erhalten wir\[\ln \left( y \right) = \ln \left( {C \cdot {x^\alpha }} \right) = \ln \left( C \right) + \alpha  \cdot \ln \left( x \right)\]Dies bedeutet, dass bei einer Auftragung von \(\ln \left( y \right)\) gegen \(\ln \left( x \right)\) der gesuchte Exponent die Steigung und der \(\ln \left( C \right)\) der Ordinatenabschitt einer Gerade sein sollten. Um diesen Ansatz durchzuführen musst du also folgende Arbeitsaufträge bearbeiten. 

Ergänze die zweite und die vierte Zeile der folgenden Wertetabelle.

Tab. 6a Wertetabelle zur doppelt-logarithmischen Auftragung der \(r\)-\(F_{\rm{C}}\)-Werte

\(r\;\rm{in}\;\rm{m}\) \(0{,}015\) \(0{,}020\) \(0{,}030\) \(0{,}040\) \(0{,}050\) \(0{,}060\) \(0{,}070\) \(0{,}080\) \(0{,}090\) \(0{,}10\)
\(\ln \left( \frac{r}{\rm{m}} \right)\) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \)
\(F_{\rm{C}}\;\rm{in}\;\rm{N}\) \(999\) \(562\) \(250\) \(140\) \(90\) \(62\) \(46\) \(35\) \(28\) \(22\)
\(\ln \left( \frac{F_{\rm{G}}}{\rm{N}} \right)\) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \) \( \)

Trage anschließend die Wertepaare der zweiten und vierten Zeile der Tabelle in einem \(\ln \left( \frac{r}{\rm{m}} \right)\)-\(\ln \left( \frac{F_{\rm{C}}}{\rm{N}} \right)\)-Diagramm auf.

Werte dieses \(\ln \left( \frac{r}{\rm{m}} \right)\)-\(\ln \left( \frac{F_{\rm{C}}}{\rm{N}} \right)\)-Diagramm aus, d.h. bestimme den Funktionsterm, der hier den Zusammenhang zwischen \(r\) und \(F_{\rm{C}}\) beschreibt.

Lösung

Abb. 7 \(\ln \left( \frac{r}{\rm{m}} \right)\)-\(\ln \left( \frac{F_{\rm{C}}}{\rm{N}} \right)\)-Diagramm mit Ausgleichsgerade

Für die festen Werte \(q_1=5\,\rm{\mu C}\) und \(q_2=5\,\rm{\mu C}\) erhält man folgende Wertetabelle und das nebenstehende Diagramm.

Tab. 6b Wertetabelle zur doppelt-logarithmischen Auftragung der \(r\)-\(F_{\rm{C}}\)-Werte

\(r\;\rm{in}\;\rm{m}\) \(0{,}015\) \(0{,}020\) \(0{,}030\) \(0{,}040\) \(0{,}050\) \(0{,}060\) \(0{,}070\) \(0{,}080\) \(0{,}090\) \(0{,}10\)
\(\ln \left( \frac{r}{\rm{m}} \right)\) \(-4{,}2\) \(-3{,}9\) \(-3{,}5\) \(-3{,}2\) \(-3{,}0\) \(-2{,}8\) \(-2{,}7\) \(-2{,}5\) \(-2{,}4\) \(-2{,}3\)
\(F_{\rm{C}}\;\rm{in}\;\rm{N}\) \(999\) \(562\) \(250\) \(140\) \(90\) \(62\) \(46\) \(35\) \(28\) \(22\)
\(\ln \left( \frac{F_{\rm{G}}}{\rm{N}} \right)\) \(6{,}9\) \(6{,}3\) \(5{,}5\) \(4{,}9\) \(4{,}5\) \(4{,}1\) \(3{,}8\) \(3{,}6\) \(3{,}3\) \(3{,}1\)

Im Diagramm liegen die Werte auf einer Gerade. Damit ist bestätigt, dass der Betrag \(F_{\rm{C}}\) der COULOMB-Kraft vom Abstand \(r\) durch eine Potenzfunktion mit reellem Exponenten abhängt. Als Steigung der Ausgleichsgerade und damit Exponent der Potenzfunktion ergibt sich \(\alpha = -2\). Wertet man den Ordinatenabschnitt von ca. \(-1{,}5\) aus, so erhält man für den Proportionalitätsfaktor \(C\)\[\ln \left( C \right) = -1{,}5 \Leftrightarrow C = {e^{-1{,}5}} = 2{,}2\cdot 10^{-1}\]Damit ergibt sich\[y = 2{,}2\cdot 10^{-1} \cdot {x^{ - 2}} = 2{,}2\cdot 10^{-1} \cdot \frac{1}{{{x^2}}}\]und mit \(x = \frac{r}{{\rm{m}}}\) und \(y = \frac{{{F_{\rm{C}}}}}{{{\rm{N}}}}\) schließlich als Funktionsterm (mit \(q_1=5\,\rm{\mu C}\) und \(q_2=5\,\rm{\mu C}\)) \[{F_{\rm{C}}}\left(r\right) = 2{,}2\cdot 10^{-1}\,\rm{N}\,\rm{m^2} \cdot \frac{1}{r^2}\]