Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

Potentielle Energie im homogenen Feld

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Potentielle Energie im homogenen Feld

1 Bewegung einer negativen Ladung in einem elektrischen Feld entgegen der Richtung des elektrischen Feldes und damit in Richtung der elektrischen Kraft

Stimmen die Kraftrichtung und die Wegrichtung bei der Bewegung eines geladenen Körpers überein (vgl. Animation in Abb. 1), so verrichtet das elektrische Feld eine positiv zu zählende Feldarbeit\[{W_{{\rm{Feld}} \to {\rm{Körper}}}} = {F_{{\rm{el}}}} \cdot {s_{{\rm{AB}}}} = \left| q \right| \cdot \left| E \right| \cdot \left| {{s_{{\rm{AB}}}}} \right| > 0\]Hinweis: Auf den rechten Seiten der obigen Gleichungen stehen jeweils Beträge.

Bei den dargestellten Vorgängen nimmt die potentielle Energie des geladenen Körpers um den Betrag der Feldarbeit ab:\[\Delta {E_{\rm{pot}}} = - {W_{{\rm{Feld}} \to {\rm{Körper}}}} \Rightarrow \Delta {E_{\rm{pot,AB}}} = - \left| q \right| \cdot \left| E \right| \cdot \left| {{s_{\rm{AB}}}} \right| < 0 \quad(1)\]Achtung: Die obigen Aussagen beziehen sich auf den Spezialfall, bei dem die Richtung der elektrischen Kraft und die Richtung des Vektors \({\vec s_{\rm{AB}}}\) übereinstimmen. Stimmen die Richtung der elektrischen Kraft und die Richtung des Vektors \({\vec s_{\rm{AB}}}\) nicht überein, so ist die Feldarbeit negativ zu zählen und die potentielle Energie nimmt bei dem betrachteten Vorgang zu. In beiden Fällen gilt\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = - {W_{{\rm{Feld}}}}\]

2 Bewegung einer positiven Ladung in einem elektrischen Feld entgegen der Richtung des elektrischen Feldes und damit entgegen der Richtung der elektrischen Kraft

In der Mechanik hat es sich bewährt, dass man für die potentielle Energie ein Nullniveau vereinbart. Ähnlich verfährt man auch im elektrischen Fall. Ordnen wir z.B. der negativ geladenen Platte die potentielle Energie Null zu, so gilt für die Bewegung einer positiven Probeladung von der negativen Platte aus, dass die potentielle Energie zunimmt, da die Bewegungsrichtung und die Kraftrichtung entgegengesetzt sind:\[{E_{{\rm{pot}}{\rm{,AB}}}} = {E_{{\rm{pot}}{\rm{,B}}}} - {E_{{\rm{pot}}{\rm{,A}}}} = \left| q \right| \cdot \left| E \right| \cdot \left| {{s_{{\rm{AB}}}}} \right|\]Da \({E_{{\rm{pot,A}}}} = 0\) gewählt wurde, gilt\[{E_{{\rm{pot,B}}}} = \left| q \right| \cdot \left| E \right| \cdot \left| {{s_{{\rm{AB}}}}} \right|\]Legt man den Punkt B auf die positive Platte und bezeichnet man den Plattenabstand mit \(d\), so gilt \[{E_{{\rm{pot,B}}}} = \left| q \right| \cdot \left| E \right| \cdot \left| d \right|\]

 

Detailliertere Betrachtungen

Bei der Berechnung der Feldarbeit \({W_{{\rm{Feld}}}}\) muss man eigentlich berücksichtigen, dass sowohl die elektrische Kraft als auch der vom Ladungsträger zurückgelegte Weg Vektoren darstellen. Die Feldarbeit ergibt sich dann als das Skalarprodukt des Vektors der Feldkraft \({\vec F_{\rm{el}}}\) und des Verschiebungsvektors \({\vec s_{\rm{AB}}}\). Damit gilt für die Feldarbeit\[{W_{\rm{Feld}}} = {\vec F_{\rm{el}}} \cdot {\vec s_{\rm{AB}}} = q \cdot \vec E \cdot {\vec s_{\rm{AB}}}\]Dabei ist \(q\) die Ladung des bewegten Körpers (kann positiv oder negativ sein), \(\vec E\) der Vektor der elektrischen Feldstärke, dessen Richtung mit der Kraftrichtung auf eine positive Probeladung zusammenfällt und \({\vec s_{\rm{AB}}}\) der Verschiebungsvektor, der die Richtung und die Länge der Ladungsverschiebung beinhaltet.

Mathematischer Exkurs: Skalarprodukt zweier Vektoren

Als multiplikative Verknüpfung zweier Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) kennt man in der Mathematik zwei Formen:

Das Vektorprodukt mit der Schreibweise \(\vec c = \vec a \times \vec b\). Das Ergebnis ist wiederum ein Vektor \(\vec c\), der auf der durch \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannten Ebene senkrecht steht. Auf Einzelheiten dieser Produktform wird zunächst nicht eingegangen.

Das Skalarprodukt mit der Schreibweise \(d = \vec a \cdot \vec b\). Das Ergebnis ist eine skalare (nicht vektorielle) Größe \(d\). Die Vorschrift zur Berechnung des Skalars \(d\) lautet\[d = \left| {\vec a} \right| \cdot \left| {\vec b} \right| \cdot \cos \alpha \]Dabei bedeutet \(a = \left| {\vec a} \right|\) die Länge des Vektors \(\vec a\), \(b = \left| {\vec b} \right|\) die Länge des Vektors \(\vec b\) und \(\alpha \) den Winkel zwischen den beiden Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\).

Damit lautet die allgemeine Schreibweise für die Feldarbeit \({W_{{\rm{Feld}}}}\) bzw. die Änderung der potentiellen Energie \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}\) im homogenen elektrischen Feld\[{W_{\rm{Feld}}} = q \cdot \left| {\vec E} \right| \cdot \left| {{{\vec s}_{\rm{AB}}}} \right| \cdot \cos \left( \alpha \right) \]Da die Änderung der potentiellen Energie gleich dem Negativen der Feldarbeit ist (\(\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = - {W_{{\rm{Feld}}}}\)), ergibt sich für \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}\)\[\Delta {E_{\rm{pot}}} = - q \cdot \left| {\vec E} \right| \cdot \left| {{{\vec s}_{\rm{AB}}}} \right| \cdot \cos \left( \alpha \right) \quad (2)\]Meist wenden wir diese Beziehung auf drei besonders einfache Sonderfälle an:

\(\vec E\) und \(\vec s_{AB}\) haben die gleiche Orientierung: Dann ist \(\alpha = 0^\circ\), \(\cos \alpha = 1\) und \(\Delta {E_{pot}} = - q \cdot \left| {\vec E} \right| \cdot \left| {{{\vec s}_{AB}}} \right|\)

\(\vec E\) und \(\vec s_{AB}\) haben entgegengesetze Orientierung: Dann ist \(\alpha = 180^\circ\), \(\cos \alpha = -1\) und \(\Delta {E_{pot}} = (+) q \cdot \left| {\vec E} \right| \cdot \left| {{{\vec s}_{AB}}} \right|\)

\(\vec E\) und \(\vec s_{AB}\) stehen aufeinander senkrecht: Dann ist \(\alpha = 90^\circ\), \(\cos \alpha = 0\) und \(\Delta {E_{pot}} =0\). Stehen also \(\vec E\) und \({\vec s_{AB}}\) aufeinander senkrecht, so wird keine Feldarbeit verrichtet. Bei der Bewegung des Ladungsträgers ändert sich dessen potentielle Energie nicht

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