Kondensatoren sind in der Lage elektrische Energie zu speichern. Ein einfacher Versuch mit einem geladenen Kondensator, der eine Glimmlampe zum Leuchten bringt, zeigt dies auf überzeugende Weise.
Gedankenexperiment zur Bestimmung der Größen, von denen die im Kondensator gespeicherte Energie abhängt
Wir wollen in einem Gedankenexperiment klären, von welchen Größen die Energie, die in einem Kondensator bzw. dessen elektrischen Feld gespeichert ist, abhängt. Dazu stellen wir uns einen geladenen Kondensator vor, welcher von der elektrischen Quelle getrennt ist. Die Entladung des Kondensators soll schrittweise vorgenommen werden, indem solang gleiche positive Ladungsportionen \(\Delta Q\) von der positiven zur negativen Platte transportiert werden, bis der Kondensator entladen ist.
Aus der Beziehung \(C = \frac{Q}{U}\) folgt bei konstanter Kapazität die direkte Proportionalität von \(U\) und \(Q\)\[U = \frac{Q}{C} \Rightarrow U \sim Q\]Beim Transport der Ladung \(\Delta Q\) wird der Energieinhalt des Kondensators um einen bestimmten Betrag verringert und dabei an der Ladung \(\Delta Q\) die Arbeit \(\Delta W\) verrichtet. Nimmt die Ladung des Kondensators ab, so wird wegen \(U \sim Q\) auch die Spannung am Kondensator kleiner. Ist allerdings die transportierte Ladungsportion \(\Delta Q\) sehr klein, so kann man näherungsweise von einer konstanten Kondensatorspannung während des Transports ausgehen. Für die an der Ladung verrichtete Arbeit gilt dann\[\Delta W \approx {U_i} \cdot \Delta Q\]Der Betrag dieser Arbeit \(\Delta W\) ist gleich dem Betrag der Abnahme der elektrischen Energie des Kondensators \(\left| \Delta E_{\rm{el},i} \right|\):\[\left| {\Delta {E_{\rm{el},i}}} \right| \approx {U_i} \cdot \Delta Q\]Summiert man alle Teilbeträge\(\left| {\Delta {E_{\rm{el}}}} \right|\) bei einer "portionsweisen" Entladung des Kondensators auf, so erhält man den Energieinhalt des Kondensators nur näherungsweise, da bei dieser Vorgehensweise angenommen wurde, dass die Kondensatorspannung \({U_i}\) während des Transports der Probeladung von der positiven nur negativen Platte konstant bleibt:\[{E_{\rm{el}}} \approx \left| {\Delta {E_{\rm{el},1}} + \;.\;.\;.\; + \Delta {E_{\rm{el},i}} + \;.\;.\;.\; + \Delta {E_{\rm{el},n}}} \right|\]Will man der Spannungsänderung während des Ladungstransport besser Rechnung tragen, so kann man die Breite \(\Delta Q\) der Rechtecke in nebenstehender Animation verkleinern. Bei sukzessiver Verkleinerung dieser Rechtecksbreite nähert sich die Gesamtfläche dieser Stufenfigur immer mehr der Dreiecksfläche unter der Ursprungsgeraden im \(Q\)-\(U\)-Diagramm. Für diese Fläche, welche nun den Energieinhalt des Kondensators exakt wiedergibt, gilt somit\[E_{\rm{el}} = \frac{1}{2} \cdot Q \cdot U\]Mit \(Q = C \cdot U \Leftrightarrow U = \frac{Q}{C}\) erhält man ebenfalls\[E_{\rm{el}}=\frac{1}{2} \cdot C \cdot {U^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{Q^2}}}{C}\]
Elektrische Energie im geladenen Kondensator
Ist ein Kondensator der Kapazität \(C\) mit einer Spannung \(U\) aufgeladen und trägt die Ladung \(Q\), dann gilt für die im Kondensator gespeicherte elektrische Energie \[E_{\rm{el}} = \frac{1}{2} \cdot Q \cdot U = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {U^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{Q^2}}}{C}\]
Die Energie des Kondensators auch noch durch die elektrische Feldstärke \(E\) des Kondensatorfeldes (dem eigentlichen Träger der Energie) dargestellt werden. Wir zeigen die Herleitung der entsprechenden Beziehung am Beispiel eines Plattenkondensators.
Für einen Plattenkondensator gilt selbstverständlich ebenfalls die obige Beziehung\[E_{\rm{el}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U^2 \quad (1)\]Hat der Plattenkondensator Platten mit Flächeninhalt \(A\) und Abstand \(d\) und ist er mit einem Dielektrikum mit der Dielektrizittskonstanten \(\varepsilon_{\rm{r}}\) gefüllt, so gilt für seine Kapazität\[C = \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{\rm{r}} \cdot \frac{A}{d} \quad(2)\]Liegt am Kondensator die Spannung \(U\) an, dann hängt diese Spannung mit der elektrischen Feldstärke zwischen den Platten über die Gleichung\[U = E \cdot d \quad (3)\]zusammen. Setzen wir \((2)\) und \((3)\) in Gleichung \((1)\) ein, so erhalten wir\[E_{el} = \frac{1}{2} \cdot {\varepsilon_0} \cdot \varepsilon_{\rm{r}} \cdot \frac{A}{d} \cdot {\left( {E \cdot d} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{\rm{r}} \cdot {E^2} \cdot A \cdot d\]Das Produkt \(A \cdot d\) ist aber gerade das Volumen \(V\) des Zwischenraums der beiden Platten, in dem das elektrische Feld herrscht.
Elektrische Energie im Feld des Kondensators
Herrscht in einem Plattenkondensator mit dem Volumen \(V\) und einem Dielektrikum mit der Dielktrizitätskonstante \(\varepsilon_{\rm{r}}\) ein elektrisches Feld der Stärke \(E\), dann gilt für die im Kondensator gespeicherte elektrische Energie \[E_{\rm{el}} = \frac{1}{2} \cdot \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_{\rm{r}} \cdot {E^2} \cdot V\]