Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

Kondensator als Energiespeicher

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Kondensator als Energiespeicher

Vorversuch

Kondensatoren sind in der Lage elektrische Energie zu speichern. Der nebenstehend skizzierte Versuch zeigt dies auf einfache Weise:

  • Ein Kondensator der Kapazität \(C\) wird über einen Widerstand der Größe \(R\) auf die Spannung \(U\) aufgeladen.

  • Die Entladung des Kondensators erfolgt über eine Glimmlampe. Diese leuchtet beim Entladevorgang an der mit der negativen Kondensatorplatte verbundenen Elektrode auf ("negatives Glimmlicht"). Die innere Energie und die Lichtenergie, die in der Glimmlampe umgesetzt wird, muss aus dem Energieinhalt des Kondensators stammen.

Gedankenexperiment

In einem Gedankenexperiment soll nun geklärt werden, von welchen Größen die Energie, die in einem Kondensator bzw. dessen elektrischen Feld gespeichert ist, abhängt:

Dazu stellen wir uns einen geladenen Kondensator vor, welcher von der Stromquelle getrennt ist. Die Entladung des Kondensators soll schrittweise vorgenommen werden, indem solang gleiche positive Ladungsportionen \(\Delta Q\) von der positiven zur negativen Platte transportiert werden, bis der Kondensator entladen ist.

Aus der Beziehung \(C = \frac{Q}{U}\) folgt bei konstanter Kapazität die direkte Proportionalität von \(U\) und \(Q\):
\[U = \frac{Q}{C}\quad \Rightarrow \quad U \sim Q\]

Beim Transport der Ladung \(\Delta Q\) wird der Energieinhalt des Kondensators um einen bestimmten Betrag verringert und dabei an der Ladung \(\Delta Q\) die Arbeit \(\Delta W\) verrichtet. Nimmt die Ladung des Kondensators ab, so wird wegen \(U \sim Q\) auch die Spannung am Kondensator kleiner. Ist allerdings die transportierte Ladungsportion \(\Delta Q\) sehr klein, so kann man näherungsweise von einer konstanten Kondensatorspannung während des Transports ausgehen.

Für die an der Ladung verrichtete Arbeit gilt dann:
\[\Delta W \approx {U_i} \cdot \Delta Q\]
Der Betrag dieser Arbeit \(\Delta W\) ist gleich dem Betrag der Abnahme der elektrischen Energie des Kondensators \(\left| {\Delta {E_{el}}} \right|\):
\[\left| {\Delta {E_{el}}} \right| \approx {U_i} \cdot \Delta Q\]

Summiert man alle Teilbeträge\(\left| {\Delta {E_{el}}} \right|\) bei einer "portionsweisen Entladung des Kondensators auf, so erhält man den Energieinhalt des Kondensators nur näherungsweise, da bei dieser Vorgehensweise angenommen wurde, dass die Kondensatorspannung \({U_i}\) während des Transports der Probeladung von der positiven nur negativen Platte konstant bleibt:
\[{E_{el}} \approx \left| {\Delta {E_{el,1}} + \;.\;.\;.\; + \Delta {E_{el,i}} + \;.\;.\;.\; + \Delta {E_{el,n}}} \right|\]

Will man der Spannungsänderung während des Ladungstransport besser Rechnung tragen, so kann man die Breite \(\Delta Q\) der Rechtecke in nebenstehender Animation verkleinern. Bei sukzessiver Verkleinerung dieser Rechtecksbreite nähert sich die Gesamtfläche dieser Stufenfigur immer mehr der Dreiecksfläche unter der Ursprungsgeraden im \(Q\)-\(U\)-Diagramm. Für diese Fläche, welche nun den Energieinhalt des Kondensators exakt wiedergibt, gilt:

\[{E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot Q \cdot U\;{\rm{mit}}\;\,Q = C \cdot U\;{\rm{folgt}}:\quad {E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot C \cdot {U^2}\]

 

Die Energie des Kondensators kann schließlich auch noch durch die elektrische Feldstärke \(E\) des Kondensatorfeldes (dem eigentlichen Träger der Energie) dargestellt werden.

\[\begin{array}{l}\quad \quad \quad \quad \quad \quad {E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot C \cdot {U^2}\;\\\quad \quad {\rm{mit}}\;C = {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot \frac{A}{d}\;{\rm{und}}\;U = E \cdot d\;{\rm{folgt:}}\\{E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot \frac{A}{d} \cdot {\left( {E \cdot d} \right)^2}\quad \Rightarrow \quad {E_{el}} = {\textstyle{1 \over 2}} \cdot {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _r} \cdot {E^2} \cdot V\end{array}\]

 

Hinweise:
\({E_{el}}\): Energieinhalt des Kondensators; \(\left[ {{E_{el}}} \right] = 1{\rm{J}}\) \(E\): Feldstärke im Kondensator; \(\left[ E \right] = 1\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\) \(V\): Volumen des Kondensatorinneren; \(V = A \cdot d\)

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