Direkt zum Inhalt

Grundwissen

Potential und elektrische Spannung

Aufgaben Aufgaben

Allgemeine Betrachtungen

In der Beziehung für die Änderung der potentiellen Energie im homogenen elektrischen Feld taucht stets der Faktor \(q\) der Probeladung auf. Eine Größe, welche das betrachtete elektrische Feld unabhängig von der Probeladung beschreibt, ist die elektrische Potentialdifferenz \(\Delta \varphi \):

Unter der elektrischen Potentialdifferenz \(\Delta {\varphi _{{\rm{AB}}}}\) versteht man den von der Probeladung \(q\) unabhängigen negativen Quotienten aus der Änderung der potentiellen Energie und der Probeladung\[\Delta {\varphi _{{\rm{AB}}}} = - \frac{{\Delta {E_{{\rm{pot}}{\rm{,AB}}}}}}{q}\]Für die Einheit der Potentialdifferenz gilt\[{\left[ {\Delta {\varphi _{{\rm{AB}}}}} \right] = \frac{{\left[ {\Delta {E_{{\rm{pot}}{\rm{,AB}}}}} \right]}}{{\left[ q \right]}} = \frac{{{\rm{1J}}}}{{{\rm{1A}} \cdot {\rm{s}}}} = 1\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} = 1{\rm{V}}}\]Bei \({E_{{\rm{pot}}{\rm{,B}}}} = q \cdot E \cdot {s_{\rm{B}}}\) taucht stets die Probeladung \(q\) auf. Eine Größe, die jeden Punkt des homogenen Feldes - unabhängig von der Größe der Probeladung - charakterisiert, ist das elektrische Potential \(\varphi \) Die folgende Festlegung gilt nicht nur für das homogene Feld, sondern für alle elektrischen Feldtypen.

Das elektrische Potential \(\varphi \) eines Punktes im elektrischen Feld ist der Quotient aus der potentiellen Energie eines geladenen Körpers in diesem Punkt und der Ladung dieses Körpers.

Spezialfall homogenes elektrisches Feld

Abb. 1 Zusammenhang zwischen Spannung und elektrischer Feldstärke in einem homogenen elektrischen Feld

Für die Änderung der potentiellen Energie bei der Bewegung der positiven Ladung von A nach B gilt\[\Delta {E_{{\rm{pot}}{\rm{,AB}}}} = q \cdot E \cdot {s_{{\rm{AB}}}} > 0\]Dann gilt für die Potentialdifferenz\[{{\varphi _A} - {\varphi _B} = \Delta {\varphi _{{\rm{AB}}}} =  - \frac{{\Delta {E_{{\rm{pot}}{\rm{,AB}}}}}}{q} =  - E \cdot {s_{{\rm{AB}}}}}\]Setzt man das Potential der negativen Platte \({\varphi _{\rm{A}}} = 0\), so gilt\[{\varphi _{\rm{B}}} = E \cdot {s_{{\rm{AB}}}}\]Neben dem Punkt B gibt es noch eine Reihe weiterer Punkte (B'), welche das gleiche Potential wie B besitzen. Alle diese Punkte liegen auf einer Äquipotentiallinie.

Legt man den Punkt B auf die positive Platte, so gilt\[{\varphi _{\rm{B}}} = E \cdot d\]Der Betrag der Potentialdifferenz zwischen den Platten und damit auch die Spannung \(U\) zwischen den Platten ist dann \(E \cdot d\). Der Zusammenhang zwischen der elektrischen Feldstärke und der Spannung an einem Plattenkondensator lässt sich auch in folgender Form schreiben:\[E = \frac{U}{d}\]Hinweis: Mit obiger Formel für \(E\) können wir auch dessen Einheit erschließen:\[\left[ E \right] = \frac{{\left[ U \right]}}{{\left[ d \right]}}\quad \Rightarrow \quad \left[ E \right] = 1\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]Bei der Einführung der elektrischen Feldstärke \(E\) benutzten wir als Einheit\[\left[ E \right] = \frac{{\left[ F \right]}}{{\left[ q \right]}}\quad \Rightarrow \quad \left[ E \right] = 1\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}\]

Aufgabe

Zeige, dass diese beiden Einheiten für die elektrische Feldstärke \(E\) ineinander überführbar sind.

Lösung

\[\left[ E \right] = 1\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} = 1\frac{{{\rm{N}} \cdot {\rm{m}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{m}}}} = 1\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{m}}}} = 1\frac{{{\rm{V}} \cdot {\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{m}}}} = 1\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]

Elektrische Spannung

Die Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten A und B wird auch als Spannung \({U_{{\rm{AB}}}}\) bezeichnet.

Es gilt\[{U_{AB}} = \Delta {\varphi _{AB}} = {\varphi _A} - {\varphi _B}\quad \quad \left[ {{U_{AB}}} \right] = 1{\rm{V}}\]φA und φB nennt man die Potentiale der Feldpunkte A bzw. B.

Ähnlich wie man bei der potentiellen Energie im Gravitationsfeld einem bestimmten Bezugspunkt die potentielle Energie Null zuordnet, kann man im elektrischen Feld einem bestimmten Punkt das Potential Null zuordnen (z.B. gibt man häufig der negativen oder der geerdeten Platte das Potential Null).

Punkte mit gleichem Potential liegen auf sogenannten Äquipotentiallinien. Diese Äquipotentiallinien verlaufen stets senkrecht zu den elektrischen Feldlinien. Bei der Bewegung eines geladenen Körpers längs einer Äquipotentiallinie wird keine Arbeit verrichtet.

Nachweis der Übereinstimmung des neuen mit dem bekannten Spannungsbegriff

Abb. 2 Gedankenexperiment zur Bestätigung, dass der neu eingeführte Spannungsbegriff mit dem bekannten Spannungsbegriff übereinstimmt

Das folgende Gedankenexperiment zeigt, dass die soeben eingeführte Spannung \({U_{{\rm{AB}}}}\) (als Potentialdifferenz) nichts anders ist, als die elektrische Spannung \(U\), welche wir schon seit der Mittelstufe benutzen.

An die Platten eines Kondensators wird die elektrische Spannung \(U\) angelegt, die mit dem parallel geschaltenen Voltmeter gemessen werden kann. Nach den obigen Ausführungen ist die Potentialdifferenz zwischen der positiven und der negativen Platte (Abstand \(d\))\[\Delta {\varphi _{{\rm{AB}}}} = {U_{{\rm{AB}}}} = E \cdot d \quad (1)\]Bewegt sich die positive Probeladung \(q\) von der positiven zur negativen Platte, so wird dabei eine Bewegungsenergie gewonnen, die betragsgleich dem Verlust an potentieller Energie der Probeladung ist. Diese Energie kann nur aus dem Energieinhalt des Kondensators stammen.

Die Probeladung \(q\) wird von der elektrioschen Quelle durch einen Stromstoß \(I \cdot \Delta t\) in der Kondensatorzuleitung ersetzt. Dabei ist die von der Stromquelle gelieferte elektrische Energie (vgl. Mittelstufenunterricht)\[{E_{{\rm{el}}}} = U \cdot I \cdot t = U \cdot q \quad (2)\]Nach der Bewegung der Probeladung von der positiven zur negativen Platte hat der Kondensator den gleichen Zustand, also die gleiche Energie wie vorher. Die gewonnene Bewegungsenergie, die betragsmäßig gleich der Abnahme der potentiellen Energie ist, muss genauso groß sein, wie die von der Stromquelle zugeführte elektrische Energie \(\Delta {E_{{\rm{el}}}}\). Für den Betrag der potentiellen Energie gilt \[\left| {\Delta {E_{pot}}} \right| = q \cdot E \cdot d\quad {\rm{mit}}\;\left( 1 \right)\;{\rm{folgt}}:\;\left| {\Delta {E_{pot}}} \right| = q \cdot {U_{AB}}\quad \left( 3 \right)\]Da gilt \[\begin{array}{l}\left| {\Delta {E_{pot}}} \right| = \left| {\Delta {E_{elektr}}} \right|\quad {\rm{aus}}\;{\rm{Vergleich}}\;{\rm{von}}\;\left( 2 \right)\;{\rm{und}}\;\left( 3 \right)\;{\rm{folgt:}}\\\quad \quad \quad {\rm{q}} \cdot {{\rm{U}}_{AB}} = U \cdot q\quad \Rightarrow \quad {{\rm{U}}_{AB}} = U\end{array}\]Das oben angestellte Gedankenexperiment zeigt also, dass die in der Mittelstufe eingeführte Spannung nicht anderes ist, als die Potentialdifferenz \(\Delta {\varphi _{{\rm{AB}}}} = {U_{{\rm{AB}}}}\).