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Grundwissen

Potential im COULOMB-Feld

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Wie für ein homogenes elektrisches Feld schon erklärt wurde, erhält man das Potential eines Punktes im elektrischen Feld, indem man die potentielle Energie der betrachteten Probeladung durch den Wert der Probeladung dividiert. Um die potentielle Energie berechnen zu können, muss man den Verlauf der Kraft auf die Probeladung im betrachteten Feld wissen.

Für das COULOMB-Feld einer Punktladungen gilt \({F_{{\rm{el}}}} \sim \frac{1}{{{r^2}}}\). Für die Berechung von \(\Delta {E_{{\rm{pot}}}}\) muss man die Fläche unter der rechts dargestellten Kurve berechnen. Hierzu benötigt man das Mittel der Integralrechnung, welches dir von der Mathematik her noch nicht zur Verfügung steht. Daher wird das Ergebnis der Rechnung mitgeteilt\[\Delta {E_{{\rm{pot}}}} = {E_{{\rm{pot}}{\rm{,2}}}} - {E_{{\rm{pot}}{\rm{,1}}}} = \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \left( {\frac{1}{{{r_2}}} - \frac{1}{{{r_1}}}} \right)\]Um die potentielle Energie in einem Punkt angeben zu können, vereinbart man wie üblich einen Nullpunkt der potentiellen Energie: Die potentielle Energie im unendlich fernen Punkt (d.h. \({r_2} \to \infty \)) ist Null, d.h. \({E_{{\rm{pot}}{\rm{,2}}}} = 0\). Daraus folgt\[{E_{{\rm{pot}}{\rm{,1}}}} = \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{{{r_1}}}\]oder allgemein\[{E_{{\rm{pot}}}}\left( r \right) = \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r}\]Für das Potential in der Entfernung \(r\) gilt dann\[\varphi \left( r \right) = \frac{{{E_{{\rm{pot}}}}\left( r \right)}}{{{Q_2}}} = \frac{{{Q_1}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r}\]Das Potential zeigt also - im Gegensatz zur elektrischen Feldstärke - einen \(\frac{1}{r}\)-Verlauf.

Aus der Beziehung für das Potential ersieht man: Alle Punkte, welche von der felderzeugenden Ladung \(Q_1\) die gleiche Entfernung haben, besitzen das gleiche Potential. Dies bedeutet, dass die Linien gleichen Potentials (Äquipotentiallinien) bei einer Punktladung konzentrische Kreise um die Punktladung darstellen.

Mit Computerprogrammen ist es relativ einfach möglich das Potential auch dreidimensional darzustellen. Der Link am Ende des Artikels führt zu einem derartigen Programm.