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Grundwissen

Homogenes elektrisches Feld

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Hat die elektrische Feldstärke \(\vec E\) in einem Raumgebiet immer die gleiche Richtung, die gleiche Orientierung und den gleichen Betrag, so sprechen wir von einem homogenen elektrischen Feld in diesem Raumgebiet.
  • Wichtigstes Beispiel für ein homogenes elektrisches Feld ist das Feld im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten.
Aufgaben Aufgaben

Hinweis: Alle Simulationen in diesem Artikel rechnen mit dem (für beide Platten gleichen) Flächeninhalt der Platten \(A = 0{,}1129\,\rm{m}^2\), dem Plattenabstand \(d = 0{,}310\,\rm{m}\), der (auf beiden Platten gleichen) Plattenladung \(Q\) mit \(\left| Q \right|= 1{,}00 \cdot 10^{-8}\,\rm{C}\) und der beweglichen Ladung \(q\) mit \(\left| q \right|= 1{,}00 \cdot 10^{-2}\,\rm{C}\).

Elektrische Kraft im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten

Plattenladung
Bewegliche Ladung
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Abb. 1 Elektrische Kraft auf eine Punktladung im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten

In der Simulation in Abb. 1 ist die elektrische Kraft \(\vec F_{\rm{el}}\) auf eine Punktladung im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten dargestellt.

Klicke mit der Maus oder berühre mit dem Finger/Stift einen Punkt und lasse dir den Vektor und den Betrag der Kraft auf die Punktladung anzeigen.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Der Kraftvektor ist überall senkrecht zu den Plattenoberflächen gerichtet.

  • Der Kraftvektor ist zu der Platte hin orientiert, die entgegengesetzt zur Punktladung geladen ist.

  • Der Kraftvektor hat überall die gleiche Länge, der Betrag der Kraft ist also konstant.

Die exakte Abhängigkeit des Betrages \(F_{\rm{el}}\) der elektrischen Kraft von den Beträgen der beiden Ladungen und der Größe der beiden Platten kann man experimentell bestimmen. Wir erhalten folgendes Ergebnis:

Elektrische Kraft im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten

Befindet sich eine Punktladung \(q\) im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten (Flächeninhalt \(A\), Ladung \(Q\)), dann gilt für die elektrische Kraft \(\vec F_{\rm{el}}\) auf diese Punktladung:

  • \(\vec F_{\rm{el}}\) ist überall senkrecht zu den Plattenoberflächen gerichtet.

  • \(\vec F_{\rm{el}}\) ist zu der Platte hin orientiert, die entgegengesetzt zur Punktladung geladen ist

  • Der Betrag \(F_{\rm{el}}\) ist konstant. Er ist proportional zu den Beträgen der Ladungen \(Q\) und \(q\), umgekehrt proportional zum Flächeninhalt \(A\) der Platten und berechnet sich durch\[F_{\rm{el}} = \frac{1}{\varepsilon_0} \cdot \frac{\left| Q \right| \cdot \left|q\right|}{{{A}}} \;\;{\rm{mit}}\;\;\varepsilon_0 = 8{,}854 \cdot {10^{-12}}\,\frac{\rm{A}\,\rm{s}}{\rm{V} \, \rm{m}} \quad (1)\]Die Konstante \(\varepsilon_0\) heißt elektrische Feldkonstante oder Dielektrizitätskonstante des Vakuums.

Elektrische Feldstärke im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten

Plattenladung
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Abb. 2 Elektrische Feldstärke (in Form von Feldstärkevektoren) im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten

In der Simulation in Abb. 2 ist die elektrische Feldstärke \(\vec E\) im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten durch Feldstärkevektoren dargestellt.

Klicke mit der Maus oder berühre mit dem Finger/Stift einen Punkt und lasse dir den Vektor und den Betrag der Feldstärke anzeigen.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Der Feldstärkevektor ist überall senkrecht zu den Plattenoberflächen gerichtet.

  • Der Feldstärkevektor ist von der positiv geladenen zur negativ geladenen Platte hin orientiert. Er zeigt also in Richtung der elektrischen Kraft auf positive Ladungen.

  • Der Feldstärkevektor hat überall die gleiche Länge, der Betrag der Feldstärke ist also konstant.

Aus dem allgemeinen Zusammenhang\[\vec E = \frac{{{{\vec F}_{{\rm{el}}}}}}{q}\]ergibt sich mit Beziehung \((1)\)\[E = \frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{\left|q\right|} = \frac{1}{{{\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| Q \right|}}{A}\]Wir erhalten somit folgendes Ergebnis:

Elektrische Feldstärke im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten - homogenes elektrisches Feld

Für die elektrische Feldstärke \(\vec E\) im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten (Flächeninhalt \(A\), Ladung \(Q\)) gilt:

  • \(\vec E\) ist überall senkrecht zu den Plattenoberflächen gerichtet.

  • \(\vec E\) ist von der positiv geladenen zur negativ geladenen Platte hin orientiert. \(\vec E\) zeigt also in Richtung der elektrischen Kraft auf positive Ladungen.

  • Der Betrag \(E\) ist konstant. Er ist proportional zum Betrag der Ladung \(Q\), umgekehrt proportional zum Flächeninhalt \(A\) der Platten und berechnet sich durch\[E = \frac{1}{\varepsilon _0} \cdot \frac{\left| Q \right|}{{{A}}} \;\;{\rm{mit}}\;\;\varepsilon _0 = 8{,}854 \cdot {10^{-12}}\,\frac{\rm{A}\,\rm{s}}{\rm{V} \, \rm{m}} \quad(2) \]

Bei gegebener Plattenfläche und Plattenladung ist also die elektrische Feldstärke \(\vec E\) für alle Punkte im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten gleich. Wir sprechen deshalb von einem homogenen elektrischen Feld (von ὁμός homόs „gleich“ und γένεσις genesis „Erzeugung, Geburt“, also etwa: gleiche Beschaffenheit).

Darstellung des homogenen elektrischen Feldes durch Feldlinien

Plattenladung
|Q| =
E =
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Abb. 3 Darstellung des elektrischen Feldes im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten durch Feldlinien

In der Simulation in Abb. 3 ist das homogene elektrische Feld im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten durch Feldlinien dargestellt. Die Feldlinien stellen die Eigenschaften des Feldes zeichnerisch folgendermaßen dar:

  • So wie der Feldstärkevektor verlaufen auch die Feldlinien alle senkrecht zu den Platten.

  • So wie der Feldstärkevektor zeigen auch die Pfeile auf den Feldlinien immer von der positiv geladenen Platte weg und zur negativ geladenen Platte hin, also in Richtung der elektrischen Kraft auf positive Ladungen (weshalb wir die Feldlinien rot zeichnen).

  • So wie die Feldstärke im gesamten Zwischenraum den gleichen Betrag hat, haben die Feldlinien im gesamten Zwischenraum den gleichen Abstand zueinander.

Arbeit im homogenen elektrischen Feld

Plattenladung
Bewegliche Ladung
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Abb. 4 Arbeit an einer Punktladung (genauer am System Platten-Punktladung) beim Bewegen der Punktladung im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten

In der Simulation in Abb. 4 ist die Arbeit \(W_{{\rm{P}_1} \to {\rm{P}_2}}\) (in der Simulation kurz \(W_{12}\)) dargestellt, die für die Bewegung einer Punktladung von einem Punkt \(\rm{P}_1\) zu einem Punkt \(\rm{P}_2\) im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten (von außen) verrichtet werden muss.

Klicke mit der Maus oder berühre mit dem Finger/Stift einen Punkt, bewege die Maus/den Finger/den Stift zu einem anderen Punkt und lasse dir die Arbeit anzeigen.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Die Arbeit ist positiv, wenn die Punktladung zur gleich geladenen Platte hin (d.h. entgegen der elektrischen Kraft) bewegt wird. Dann muss von außen Energie in das System Platten-Punktladung transportiert werden.

    Die Arbeit ist negativ, wenn die Punktladung von der gleich geladenen Platte weg (d.h. mit der elektrischen Kraft) bewegt wird. Dann gibt das System Platten-Punktladung Energie nach außen ab.

  • Der Betrag der Arbeit ändert sich nur dann, wenn man die Ladung senkrecht zu den Plattenoberflächen bewegt, nicht aber, wenn man die Ladung parallel zu den Plattenoberflächen bewegt.

  • Der Betrag der Arbeit ist von der Streckenlänge \(\left| \Delta x_{12} \right|=\left|x_2-x_1 \right|\) abhängig.

Für die Berechnung der Arbeit nutzt man den allgemeinen Zusammenhang\[{W_{{\rm{P}_1} \to {\rm{P}_2}}} = -\int\limits_{\rm{P_1}}^{\rm{P_2}} {{{\vec F}_{{\rm{el}}}} \cdot \overrightarrow {ds} } \]Wie wir an anderer Stelle bereits dargestellt haben gilt im Falle eines homogenen elektrischen Feldes für das obige Integral\[\int\limits_{{{\rm{P}}_{\rm{1}}}}^{{{\rm{P}}_{\rm{2}}}} {{{\vec F}_{{\rm{el}}}} \cdot \overrightarrow {ds} }  = {F_{{\rm{el}}}} \cdot \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\]Damit ergibt sich für das homogene elektrische Feld\[\left| {{W_{{{\rm{P}}_{\rm{1}}} \to {{\rm{P}}_{\rm{2}}}}}} \right| = \left| { - \int\limits_{{{\rm{P}}_{\rm{1}}}}^{{{\rm{P}}_{\rm{2}}}} {{{\vec F}_{{\rm{el}}}} \cdot \overrightarrow {ds} } } \right| = \left| { - {F_{{\rm{el}}}} \cdot \left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \right| = {F_{{\rm{el}}}} \cdot \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\]Wir erhalten folgendes Ergebnis:

Arbeit im homogenen elektrischen Feld

Für die Arbeit \(W_{{\rm{P}_1} \to {\rm{P}_2}}\) beim Bewegen einer Punktladung \(q\) vom Punkt \(\rm{P_1}\) zum Punkt \(\rm{P_2}\) im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten gilt:

  • \(W_{{\rm{P}_1} \to {\rm{P}_2}}\) ist positiv, wenn die Punktladung zur gleich geladenen Platte hin bewegt wird.

    \(W_{{\rm{P}_1} \to {\rm{P}_2}}\) ist negativ, wenn die Punktladung zur entgegengesetzt geladenen Platte hin bewegt wird.

  • Der Betrag \(\left| W_{\rm{P_1} \to \rm{P_2}} \right|\) ist proportional zum Betrag \(F_{\rm{el}}\) der elektrischen Kraft und zur Streckenlänge \(\left| x_2-x_1 \right|\). Er berechnet sich durch\[\left| W_{\rm{P_1} \to \rm{P_2}} \right|=F_{\rm{el}} \cdot \left| x_2-x_1\right| \quad(3)\]

Spezialfall: Bewegt man die Punktladung komplett von einer Platte zur anderen, so gilt wegen \(\left| x_2-x_1 \right| = d\) (Plattenabstand)\[\left|W_{0 \to d} \right|=F_{\rm{el}} \cdot d \]

Potenzielle Energie im homogenen elektrischen Feld

Plattenladung
Bewegliche Ladung
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Abb. 5 Potenzielle Energie einer Punktladung (genauer des Systems Plattenladung-Punktladung) im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten

Im homogenen elektrischen Feld im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten setzt man den Nullpunkt \(\rm{P}_0\) der potenziellen Energie mit \(E_{\rm{pot,P}_0}=0\) üblicherweise auf die Oberfläche der negativ geladenen Platte.

In der Simulation in Abb. 5 ist die potenzielle Energie \(E_{\rm{pot,P}-\rm{P}_0}\) (in der Simulation kurz \(E_{\rm{pot}}\)) einer Punktladung (genauer des Systems Plattenladung-Punktladung) im homogenen Feld im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten dargestellt.

Klicke mit der Maus oder berühre mit dem Finger/Stift einen Punkt und lasse dir die potenzielle Energie der Punktladung an diesem Punkt anzeigen.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Die potenzielle Energie ist für positive Punktladungen überall positiv.

    Die potenzielle Energie ist für negative Punktladung überall negativ.

  • Der Betrag der potenziellen Energie ist vom Abstand \(x\) der Punktladung  zur Oberfläche der negativ geladenen Platte abhängig.

Aus dem allgemeinen Zusammenhang\[{E_{{\rm{pot,P}}-{{\rm{P}}_0}}} = {W_{{{\rm{P}}_0} \to {\rm{P}}}}\]ergibt sich mit der Beziehung \((3)\)\[\left| {{E_{{\rm{pot}}{\rm{,P}}-{{\rm{P}}_0}}}} \right| = \left| {{W_{{{\rm{P}}_0} \to {\rm{P}}}}} \right| = \left| {{F_{{\rm{el}}}} \cdot \left( {x - {x_0}} \right)} \right|\underbrace  = _{{x_0} = 0}\left| {{F_{{\rm{el}}}} \cdot x} \right| = {F_{{\rm{el}}}} \cdot x\]Wir erhalten somit folgendes Ergebnis:

Potenzielle Energie im homogenen elektrischen Feld

Im homogenen elektrischen Feld im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten setzt man den Nullpunkt \(\rm{P}_0\) der potenziellen Energie mit \(E_{\rm{pot,P}_0}=0\) üblicherweise auf die Oberfläche der negativ geladenen Platte.

Dann gilt für die potenzielle Energie \(E_{\rm{pot,P}-\rm{P}_0}\) einer Punktladung (genauer des Systems Plattenladung-Punktladung), die sich im Punkt \(\rm{P}\) im Zwischenraum der beiden Platten befindet:

  • \(E_{\rm{pot,P}-\rm{P}_0}\) ist für positive Punktladungen überall positiv.

    \(E_{\rm{pot,P}-\rm{P}_0}\) ist für negative Punktladungen überall negativ.

  • Der Betrag \(\left| E_{\rm{pot,P}-{\rm{P}_0}} \right|\) ist proportional zum Betrag \(F_{\rm{el}}\) der elektrischen Kraft und zum Abstand \(x\) der Punktladung zur negativ geladenen Platte. Er berechnet sich durch\[\left| E_{\rm{pot,P}-{\rm{P}_0}}\right|=F_{\rm{el}} \cdot x \quad(4)\]

Spezialfall: Für die potenzielle Energie \(E_{\rm{pot,d-0}}\) einer Punktladung an der Oberfläche der positiv geladenen Platte gilt wegen \(x = d\) (Plattenabstand)\[E_{\rm{pot,d-0}}=F_{\rm{el}} \cdot d \]

Potenzial im homogenen elektrischen Feld

Plattenladung
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Abb. 6 Potenzial im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten

Wie auch bei bei der potenziellen Energie setzen wir den Nullpunkt \(\rm{P}_0\) des Potenzials an die Oberfläche der negativ geladenen Platte. Somit gilt \(\varphi_{\rm{P}_0}=0\).

In der Simulation in Abb. 6 ist das Potenzial \(\varphi_{{\rm{P}}-{\rm{P}_0}}\) (in der Animation kurz \(\varphi\)) von Punkten im homogenen Feld dargestellt.

Klicke mit der Maus oder berühre mit dem Finger/Stift einen Punkt und lasse dir das Potenzial an diesem Punkt anzeigen.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Das Potenzial ist überall positiv.

  • Das Potenzial ist nur vom Abstand \(x\) des Punktes zur Oberfläche der negativ geladenen Platte abhängig.

Aus dem allgemeinen Zusammenhang\[\varphi_{{\rm{P}}-{\rm{P}_0}} = \frac{E_{{\rm{pot}}{\rm{,P - }}{{\rm{P}}_0}}}{q}\]ergibt sich mit der Beziehung \((4)\) für das homogene elektrische Feld\[{\varphi _{{\rm{P}} - {{\rm{P}}_{\rm{0}}}}} = \frac{{{F_{{\rm{el}}}} \cdot x}}{q} = \frac{{{F_{{\rm{el}}}}}}{q} \cdot x = E \cdot x\]Wir erhalten somit folgendes Ergebnis:

Potenzial im homogenen elektrischen Feld

Den Nullpunkt \(\rm{P}_0\) des Potenzials im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten setzt man üblicherweise auf die Oberfläche der negativ geladenen Platte. Somit gilt \(\varphi_{\rm{P}_0}=0\).

Dann gilt für das Potenzial \(\varphi _{\rm{P}-\rm{P}_0}\) eines Punktes \(\rm{P}\) im Zwischenraum der beiden Platten:

  • \(\varphi _{\rm{P}-\rm{P}_0}\) ist immer positiv.

  • \(\varphi_{\rm{P}-\rm{P}_0}\) ist proportional zur elektrischen Feldstärke \(E\) und zum Abstand \(x\) des Punktes \(\rm{P}\) zur negativ geladenen Platte. Es berechnet sich durch\[\varphi_{\rm{P}-\rm{P}_0} = E \cdot x \quad(5)\]

Spezialfall: Für das Potenzial \(\varphi_{d-0}\) an der Oberfläche der positiv geladenen Platte gilt wegen \(x=d\) (Plattenabstand)\[\varphi_{d-0} = E \cdot d\]

Darstellung des homogenen elektrischen Feldes durch Äquipotenziallinien

Plattenladung
|Q| =
E =
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Abb. 7 Darstellung des elektrischen Feldes im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten durch Äquipotenziallinien

In der Simulation in Abb. 7 ist das homogene elektrische Feld im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten durch Äquipotenziallinien dargestellt. Die Äquipotenziallinien stellen die Eigenschaften des homogenen elektrischen Feldes zeichnerisch folgendermaßen dar:

  • Da alle Äquipotenziallinien parallel zu den Platten verlaufen, ist der Feldstärkevektor überall senkrecht zu den Platten gerichtet.

  • Da die Werte des Potenzials zur positiv geladenen Platte ansteigen, ist der Feldstärkevektor überall zur negativ geladenen Platte hin orientiert.

  • Da die Äquipotenziallinien überall den gleichen Abstand zueinander haben, hat die Feldstärke überall den gleichen Betrag.

Spannung im homogenen elektrischen Feld

Plattenladung
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Abb. 8 Spannung zwischen zwei Punkten im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten

In der Simulation in Abb. 8 ist die Spannung \(U_{21}\) eines Punktes \(\rm{P}_2\) gegenüber einem Punkt \(\rm{P}_1\) im homogenen Feld dargestellt.

Klicke mit der Maus oder berühre mit dem Finger/Stift einen Punkt, bewege die Maus/den Finger/den Stift zu einem anderen Punkt und lasse dir die Spannung des Endpunktes gegenüber dem Anfangspunkt anzeigen.

Du kannst Folgendes erkennen:

  • Die Spannung \(U_{21}\) ist positiv, wenn der Punkt \(\rm{P}_2\) näher an der positiv geladenen Platte liegt als der Punkt \(\rm{P}_1\).

    Die Spannung \(U_{21}\) ist negativ, wenn der Punkt \(\rm{P}_2\) näher an der negativ geladenen  Platte liegt als der Punkt \(\rm{P}_1\).

  • Der Betrag \(\left| U_{21} \right| \) der Spannung ist von der Streckenlänge \(\left| \Delta x_{\rm{12}} \right| =\left| x_2 - x_1 \right|\) abhängig.

Aus dem allgemeinen Zusammenhang\[{U_{{{\rm{P}}_2}-{{\rm{P}}_1}}} = {\varphi _{{{\rm{P}}_2}-{{\rm{P}}_0}}} - {\varphi _{{{\rm{P}}_1}-{{\rm{P}}_0}}}\]ergibt sich mit der Beziehung \((5)\)\[\left| {{U_{{{\rm{P}}_2}-{{\rm{P}}_1}}}} \right| = \left| {E \cdot {x_2} - E \cdot {x_1}} \right| = \left| {E \cdot \left( {{x_2} - {x_1}} \right)} \right| = E \cdot \left| {{x_2} - {x_1}} \right|\]Wir erhalten somit folgendes Ergebnis:

Spannung im homogenen elektrischen Feld

Für die Spannung \(U_{\rm{P}_2-\rm{P}_1}\) eines Punktes \(\rm{P}_2\) gegenüber einem Punkt \(\rm{P}_1\) im Zwischenraum zweier entgegengesetzt geladener Platten (Flächeninhalt \(A\), Abstand \(d\), Ladung \(Q\)) gilt:

  • \(U_{\rm{P}_2-\rm{P}_1}\) ist positiv, wenn \(\rm{P}_2\) näher an der positiv geladenen Platte liegt als \(\rm{P}_1\).

    \(U_{\rm{P}_2-\rm{P}_1}\) ist negativ, wenn \(\rm{P}_2\) näher an der negativ geladenen  Platte liegt als \(\rm{P}_1\).

  • Der Betrag \(\left| U_{\rm{P}_2-\rm{P}_1} \right|\) ist proportional zum Betrag \(E\) der elektrischen Feldstärke und zum Abstand \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right|\). Er berechnet sich durch\[\left| U_{\rm{P}_2-\rm{P}_1} \right|=E \cdot \left| {{x_2} - {x_1}} \right| \quad(6)\]

Spezialfall: Für die Spannung \(U_{d \to 0}\) der positiv geladenen Platte gegenüber der negativ geladenen Platte gilt wegen \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = d\) (Plattenabstand)\[ U_{d \to 0} =E \cdot d \]