Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

Flächenladungsdichte

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Flächenladungsdichte

Flächenladungsdichte

Unter der Flächenladungsdichte \(\sigma\) einer geladenen Fläche versteht man den Quotienten aus der Ladung \(Q\) auf der Fläche dividiert durch den Flächeninhalt \(A\) der Fläche:\[\sigma = \frac{Q}{A}\]

1 Aufbau und Durchführung des Versuchs zur Bestimmung der Flächenladungsdichte

Um die Flächenladungsdichte auf der Platte eines geladenen Plattenkondensators zu bestimmen, kann man wie in der Animation in Abb. 1 gezeigt vorgehen:

Mit einem kleinen Metalllöffel auf Isolierstil (Elektrostatiklöffel) kann man z.B. die positiv geladene Platte berühren. Auf dem Löffel der Fläche \(A'\) ist dann die gleiche Flächenladungsdichte wie auf der Kondensatorplatte der Fläche \(A\).

Mit Hilfe eines Messverstärkers lässt sich die Ladung \(Q'\) auf dem Löffel messen. Für die Flächenladungsdichte gilt dann\[ \sigma = \frac{Q'}{A'} \]

Am einfachen Beispiel des Plattenkondensators lässt sich nun nachweisen, dass diese Flächenladungsdichte \(\sigma\) sehr eng mit der Feldstärke \(E\), welche an der Oberfläche der Platte herrscht, zusammenhängt:

Für die Kapazität des Plattenkondensators gilt zum einen \({C = \frac{Q}{U}}\) und zum anderen \({C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d}}\). Durch Gleichsetzen ergibt sich \[{\frac{Q}{U} = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d} \Leftrightarrow \frac{Q}{A} = {\varepsilon _0} \cdot \frac{U}{d}}\] Hieraus ergibt sich mit \({\frac{Q}{A} = \sigma }\) und \({\frac{U}{d} = E}\) \[{\sigma  = {\varepsilon _0} \cdot E}\]

2 Gedankenexperiment zur Bestimmung des Proportionalitätsfaktors im COULOMB-Gesetz über die Flächenladungsdichte einer Kugel

Die soeben abgeleitete Beziehung zwischen \(\sigma\) und \(E\) lässt sich auch auf gekrümmte geladene Flächen z.B. auf Kugelflächen anwenden:

Man umgibt in einem Gedankenexperiment eine punktförmige Ladung \({Q_1}\) mit einer leitenden Kugelschale vom Radius \(r\), deren Wandstärke vernachlässigbar ist. Aus Symmetriegründen verteilen sich die Influenzladungen auf der Innen- und Außenseite der Kugelfläche gleichmäßig. Für die Flächenladungsdichte auf der Kugelinnen- bzw. Außenseite gilt dann (vgl. hierzu auch den Versuch von Cavendish)\[\sigma = \frac{{{Q_1}}}{{4 \cdot \pi \cdot {r^2}}}\]Da \(E = \frac{\sigma}{{{\varepsilon _0}}}\) gilt, kann man für die Feldstärke im Abstand \(r\) von der Punktladung \({Q_1}\) schreiben\[E = \frac{{{Q_1}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {r^2}}}\]Befindet sich im Feld der Punktladung \({Q_1}\) eine Probeladung \({Q_2}\), so gilt für die Kraft zwischen den beiden Ladungen\[\begin{array}{l}F = E \cdot {Q_2}\Rightarrow  F = \frac{{{Q_1}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {r^2}}} \cdot {Q_2}\\\quad \quad F = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}}\end{array}\]Mit dem Begriff der Flächenladungsdichte gelingt es also, den Proportionalitätsfaktor \(\frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}}\) beim COULOMB-Gesetz herzuleiten.

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