Ladungen & Felder - Oberstufe

Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Theorie zum Einschalten von RC-Kreisen

Die in einem physikalischen Experiment gewonnen Messwerte können nur dann sinnvoll ausgewertet werden, wenn der Typ der mathematischen Funktion bekannt ist, durch die die Abhängigkeiten zwischen den relevanten Größen beschrieben werden kann. Aus prinzipiellen Gründen kann der Typ dieser Funktion aber niemals experimentell, sondern nur durch theoretische Überlegungen bestimmt werden. Diese werden für das Einschalten eines Stromkreises mit einem Kondensator im Folgenden durchgeführt.

Ein Kondensator mit der Kapazität \(C\) und ein Widerstand der Größe \(R\) sind in Reihe geschaltet; eine solche Reihenschaltung von Kondensator und Widerstand bezeichnet man kurz als einen RC-Kreis. Über einen Wechselschalter S kann an diesen RC-Kreis entweder eine Elektrische Quelle mit der Nennspannung \({U_0}\) angeschlossen (durchgezogene Leitung) oder aber der RC-Kreis kurzgeschlossen (gestrichelte Leitung) werden.

Wird die Elektrische Quelle angeschlossen, so kann ein Strom fließen, wobei der Stromfluss durch den Widerstand begrenzt wird. Das Anschließen der Elektrischen Quelle und das sich daraus ergebende Verhalten des RC-Kreises bezeichnet man als Einschaltvorgang des RC-Kreises oder kurz als Aufladen eines Kondensators.

Beachtet man, dass die Spannung \({U_0}\) über der Quelle negativ - wir schreiben deshalb \({U_0} =  - \left| {{U_0}} \right|\) - gerechnet wird, so gilt nach der KIRCHHOFF'schen Maschenregel zu jedem Zeitpunkt \(t\) des Einschaltvorgangs die Gleichung
\[{U_0} + {U_R}(t) + {U_C}(t) = 0\]
Mit \({U_R}(t) = R \cdot I(t)\) (OHM'sches Gesetz; \(I(t)\): Stromstärke im Stromkreis während des Einschaltvorgangs), \(I(t) = \dot Q(t)\) (\(\dot Q(t)\): Änderung der Ladung auf dem Kondensator während des Einschaltvorgangs) und \({U_C}(t) = \frac{Q(t)}{C}\) (Kondensatorformel; \(Q(t)\): Ladung auf dem Kondensator während des Einschaltvorgangs) ergibt sich
\[{U_0} + R \cdot \dot Q(t) + \frac{{Q(t)}}{C} = 0\]
Setzt man \({U_0} =  - \left| {{U_0}} \right|\), addiert auf beiden Seiten der Gleichung \(\left| {{U_0}} \right|\) und dividiert beide Seiten der Gleichung durch \(R\), so erhält man
\[\dot Q(t) + \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot Q(t) = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R}\]
Dies ist - zusammen mit der Anfangsbedingung \(Q(0{\rm{s}}) = 0{\rm{As}}\) - die inhomogene Differentialgleichung 1.Ordnung für die Ladung \(Q(t)\) auf dem Kondensator während des Einschaltvorgangs. Die Größe \(\tau  = R \cdot C\) heißt Zeitkonstante.
Diese Differentialgleichung wird gelöst durch die Funktion
\[Q(t) = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right)\]
Somit beschreibt die Funktion \(Q(t)\) den zeitlichen Verlauf der Ladung auf dem Kondensator während des Einschaltvorgangs.

Ladung auf dem Kondensator

  1. Zeige, dass die Funktion \(Q(t)\) die Differentialgleichung erfüllt. Leite dazu die Funktion \(Q(t)\) ab, setze \(\dot Q(t)\) und \( Q(t)\) in die Differentialgleichung ein und fasse schließlich so weit zusammen, dass eine wahre Aussage entsteht.

  2. Zeige, dass die Funktion \(Q(t)\) die Anfangsbedingung \(Q(0\rm{s}) = 0{\rm{As}}\) erfüllt.

  3. Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } Q(t)\).

  4. Erstelle den Graph der Funktion \(Q(t)\) für \(R = 10\Omega \), \(C = 0,05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

  5. Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Ladung auf dem Kondensator ca. \(63\% \) der endgültigen Ladung beträgt.

  6. Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Ladung auf dem Kondensator auf die Hälfte der endgültigen Ladung angestiegen ist.

Stromstärke im Stromkreis

  1. Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \(I(t) = \dot Q(t)\), dass die Funktion \(I(t) = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\) den zeitlichen Verlauf der Stromstärke im Stromkreis während des Einschaltvorgangs beschreibt.

  2. Berechne die Stromstärke im Stromkreis zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\).

  3. Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } I(t)\).

  4. Erstelle den Graph der Funktion \(I(t)\) für \(R = 10\Omega \), \(C = 0,05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

  5. Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Stromstärke in der Schaltung nur noch ca. \(37\% \) der ursprünglichen Stromstärke beträgt.

  6. Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Stromstärke auf die Hälfte der endgültigen Stromstärke abgefallen ist.

Spannung über dem Kondensator

  1. Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \({U_C}(t) = \frac{Q(t)}{C}\), dass die Funktion \({U_C}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right)\) den zeitlichen Verlauf der Spannung über dem Kondensator während des Einschaltvorgangs beschreibt.

  2. Berechne die Spannung über dem Kondensator zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\).

  3. Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {U_C}(t)\).

  4. Erstelle den Graph der Funktion \({U_C}(t)\) für \(R = 10\Omega \), \(C = 0,05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

  5. Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Spannung über dem Kondensator ca. \(63\% \) der endgültigen Spannung beträgt.

  6. Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Spannung über dem Kondensator auf die Hälfte der endgültigen Spannung angestiegen ist.

Spannung über dem Widerstand

  1. Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \({U_R}(t) = R \cdot I(t)\), dass die Funktion \({U_R}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\) den zeitlichen Verlauf der Spannung über dem Widerstand während des Einschaltvorgangs beschreibt.

  2. Berechne die Spannung über dem Widerstand zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\).

  3. Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {U_R}(t)\).

  4. Erstelle den Graph der Funktion \({U_R}(t)\) für \(R = 10\Omega \), \(C = 0,05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

  5. Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Spannung über dem Widerstand nur noch ca. \(37\% \) der ursprünglichen Spannung beträgt.

  6. Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Spannung über dem Widerstand auf die Hälfte der endgültigen Spannung abgefallen ist.

Beim Aufladen eines Kondensators über einen Widerstand durch eine Elektrische Quelle führt diese beiden Bauteilen Elektrische Energie zu. Während ein Teil dieser Energie im OHM'schen Widerstand in Wärme umgewandelt wird, verbleibt der Rest als Feldenergie im Elektrischen Feld des Kondensators.

Leistung am Widerstand

  1. Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(P_R = U_R \cdot I_R = R \cdot {I^2}\) den Funktionsterm der Funktion \(P_R(t)\), die den zeitlichen Verlauf der elektrischen Leistung, die im OHM'schen Widerstand während des Einschaltvorgangs in Wärme umgewandelt wird, beschreibt.

  2. Berechne die am Widerstand abgegebene Leistung zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\).

  3. Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {P_R}(t)\).

  4. Erstelle den Graph der Funktion \(P(t)\) für \(R = 10\Omega \), \(C = 0,05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

Leistung am Kondensator (mathematisch anspruchsvoll, aber lösbar)

  1. Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(P_C = U_C \cdot I\) den Funktionsterm der Funktion \(P_C(t)\), die den zeitlichen Verlauf der elektrischen Leistung, die dem Kondensator während des Einschaltvorgangs zugeführt wird, beschreibt.

  2. Berechne die am Kondensator abgegebene Leistung zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\).

  3. Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {P_C}(t)\).

  4. Erstelle den Graph der Funktion \(P_C(t)\) für \(R = 10\Omega \), \(C = 0,05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

  5. Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt \(t\), an dem dem Kondensator die maximale elektrische Leistung \({P_{C,\max }}\) zugeführt wird und bestimme auch diese maximale Leistung \({P_{C,\max }}\).

  6. Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(P(t) = \frac{{dW(t)}}{{dt}}\) bzw. \(W(t) = \int\limits_0^t {dW(t) = } \int\limits_0^t {P(t)dt} \) rechnerisch die Gesamtenergie \({E_{\rm{Kondensator}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {W_C}(t)\), die dem Kondensator während des gesamten Einschaltvorgangs zugeführt wird.

Physikalisch interessant ist nun noch die Frage, wo die Energie, die dem Kondensator während des Aufladevorgangs zugeführt wird, gespeichert wird. Hierzu betrachten wir den speziellen Fall eines Plattenkondensators mit Plattenfläche \(A\) und Plattenabstand \(d\). Die Kapazität \(C\) dieses Kondensators beträgt \(C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d}\), aus der bekannten Formel für die Elektrische Feldstärke im Inneren des mit der Spannung \(\left| {{U_0}} \right|\) geladenen Kondensators erhält man
\[E = \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{d} \Leftrightarrow \left| {{U_0}} \right| = d \cdot E\]
Damit ergibt sich
\[{E_{{\rm{Kondensator}}}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {\left| {{U_0}} \right|^2} = \frac{1}{2} \cdot {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d} \cdot {\left( {d \cdot E} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot {\varepsilon _0} \cdot {E^2} \cdot \left( {A \cdot d} \right) = \frac{1}{2} \cdot {\varepsilon _0} \cdot {E^2} \cdot {V_{{\rm{Kondensator}}}}\]
Die Energie, die dem Kondensator während des Aufladevorgangs zugeführt wird, ist also proportional zum Quadrat der Elektrischen Feldstärke und zum Volumen des Plattenkondensators. Dies deutet darauf hin, das die dem Kondensator zugeführte Energie im Elektrischen Feld des Kondensators verbleibt.

Theorie zum Ausschalten von RC-Kreisen

Die in einem physikalischen Experiment gewonnen Messwerte können nur dann sinnvoll ausgewertet werden, wenn der Typ der mathematischen Funktion bekannt ist, durch die die Abhängigkeiten zwischen den relevanten Größen beschrieben werden kann. Aus prinzipiellen Gründen kann der Typ dieser Funktion aber niemals experimentell, sondern nur durch theoretische Überlegungen bestimmt werden. Diese werden für das Ausschalten eines Stromkreises mit einem Kondensator im Folgenden durchgeführt.

Ein Kondensator mit der Kapazität \(C\) und ein Widerstand der Größe \(R\) sind in Reihe geschaltet; eine solche Reihenschaltung von Kondensator und Widerstand bezeichnet man kurz als einen RC-Kreis. Über einen Wechselschalter S kann an diesen RC-Kreis entweder eine Elektrische Quelle mit der Nennspannung \({U_0}\) angeschlossen (durchgezogene Leitung) oder aber der RC-Kreis kurzgeschlossen (gestrichelte Leitung) werden.

Ist die Elektrische Quelle angeschlossen, so ist nach genügend langer Zeit der Kondensator mit der Ladung \(Q_0=C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) aufgeladen (vgl. hierzu die Theorie zum Einschalten von RC-Kreisen).

Wird die Elektrische Quelle abgetrennt und gleichzeitig damit ein Kurzschluss im Stromkreis hergestellt, so kann die Ladung vom Kondensator wieder "abfließen", wobei der Stromfluss durch den Widerstand begrenzt wird. Das Abtrennen der Elektrischen Quelle und das sich daraus ergebende Verhalten des RC-Kreises bezeichnet man als Ausschaltvorgang des RC-Kreises oder kurz als Entladen eines Kondensators.

Nach der KIRCHHOFF'schen Maschenregel gilt nun zu jedem Zeitpunkt \(t\) des Ausschaltvorgangs die Gleichung
\[{U_R}(t) + {U_C}(t) = 0\]
Mit \({U_R}(t) = R \cdot I(t)\) (OHM'sches Gesetz; \(I(t)\): Stromstärke im Stromkreis während des Ausschaltvorgangs), \(I(t) = \dot Q(t)\) (\(\dot Q(t)\): Änderung der Ladung auf dem Kondensator während des Ausschaltvorgangs) und \({U_C}(t) = \frac{Q(t)}{C}\) (Kondensatorformel; \(Q(t)\): Ladung auf dem Kondensator während des Ausschaltvorgangs) ergibt sich
\[R \cdot \dot Q(t) + \frac{{Q(t)}}{C} = 0\]
Dividiert man beide Seiten der Gleichung durch \(R\), so erhält man
\[\dot Q(t) + \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot Q(t) = 0\]
Dies ist - zusammen mit der Anfangsbedingung \(Q(0{\rm{s}}) = C \cdot \left| {{U_0}} \right|\) - die homogene Differentialgleichung 1.Ordnung für die Ladung \(Q(t)\) auf dem Kondensator während des Ausschaltvorgangs. Die Größe \(\tau  = R \cdot C\) heißt Zeitkonstante.
Diese Differentialgleichung wird gelöst durch die Funktion
\[Q(t) = C \cdot \left| {{U_0}} \right| \cdot e^{ - \frac{1}{R \cdot C} \cdot t}\]
Somit beschreibt die Funktion \(Q(t)\) den zeitlichen Verlauf der Ladung auf dem Kondensator während des Ausschaltvorgangs.

Ladung auf dem Kondensator

  1. Zeige, dass die Funktion \(Q(t)\) die Differentialgleichung erfüllt. Leite dazu die Funktion \(Q(t)\) ab, setze \(\dot Q(t)\) und \( Q(t)\) in die Differentialgleichung ein und fasse schließlich so weit zusammen, dass eine wahre Aussage entsteht.

  2. Zeige, dass die Funktion \(Q(t)\) die Anfangsbedingung \(Q(0\rm{s}) = 0{\rm{As}}\) erfüllt.

  3. Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } Q(t)\).

  4. Erstelle den Graph der Funktion \(Q(t)\) für \(R = 10\Omega \), \(C = 0,05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

  5. Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Ladung auf dem Kondensator nur noch ca. \(37\% \) der ursprünglichen Ladung beträgt.

  6. Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Ladung auf dem Kondensator auf die Hälfte der ursprünglichen Ladung abgefallen ist.

Stromstärke im Stromkreis

  1. Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \(I(t) = \dot Q(t)\), dass die Funktion \(I(t) =  - \frac{{\left| {{U_0}} \right|}}{R} \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\) den zeitlichen Verlauf der Stromstärke im Stromkreis während des Ausschaltvorgangs beschreibt.

  2. Berechne die Stromstärke im Stromkreis zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\).

  3. Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } I(t)\).

  4. Erstelle den Graph der Funktion \(I(t)\) für \(R = 10\Omega \), \(C = 0,05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

  5. Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Stromstärke in der Schaltung nur noch ca. \(37\% \) der ursprünglichen Stromstärke beträgt.

  6. Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Stromstärke auf die Hälfte der ursprünglichen Stromstärke abgefallen ist.

Spannung über dem Kondensator

  1. Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \({U_C}(t) = \frac{Q(t)}{C}\), dass die Funktion \({U_C}(t) = \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\) den zeitlichen Verlauf der Spannung über dem Kondensator während des Ausschaltvorgangs beschreibt.

  2. Berechne die Spannung über dem Kondensator zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\).

  3. Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {U_C}(t)\).

  4. Erstelle den Graph der Funktion \({U_C}(t)\) für \(R = 10\Omega \), \(C = 0,05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

  5. Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Spannung über dem Kondensator nur noch ca. \(37\% \) der ursprünglichen beträgt.

  6. Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Spannung über dem Kondensator auf die Hälfte der ursprünglichen Spannung abgefallen ist.

Spannung über dem Widerstand

  1. Zeige mit Hilfe des Zusammenhangs \({U_R}(t) = R \cdot I(t)\), dass die Funktion \({U_R}(t) =- \left| {{U_0}} \right| \cdot {e^{ - \frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}\) den zeitlichen Verlauf der Spannung über dem Widerstand während des Ausschaltvorgangs beschreibt.

  2. Berechne die Spannung über dem Widerstand zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\).

  3. Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {U_R}(t)\).

  4. Erstelle den Graph der Funktion \({U_R}(t)\) für \(R = 10\Omega \), \(C = 0,05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

  5. Zeige, dass nach der Zeit \(t = \tau \) die Spannung über dem Widerstand nur noch ca. \(37\% \) der ursprünglichen Spannung beträgt.

  6. Berechne die Zeit \({t_{\rm{H}}}\), nach der die Spannung über dem Widerstand auf die Hälfte der ursprünglichen Spannung abgefallen ist.

Leistung am Widerstand

  1. Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(P_R = U_R \cdot I_R = R \cdot {I^2}\) den Funktionsterm der Funktion \(P_R(t)\), die den zeitlichen Verlauf der elektrischen Leistung, die im OHM'schen Widerstand während des Ausschaltvorgangs in Wärme umgewandelt wird, beschreibt.

  2. Berechne die am Widerstand abgegebene Leistung zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\).

  3. Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {P_R}(t)\).

  4. Erstelle den Graph der Funktion \(P(t)\) für \(R = 10\Omega \), \(C = 0,05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

Leistung am Kondensator (mathematisch anspruchsvoll, aber lösbar)

  1. Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(P_C = U_C \cdot I\) den Funktionsterm der Funktion \(P_C(t)\), die den zeitlichen Verlauf der elektrischen Leistung, die vom Kondensator während des Ausschaltvorgangs abgegeben wird, beschreibt.

  2. Berechne die vom Kondensator abgegebene Leistung zum Zeitpunkt \(t=0\rm{s}\).

  3. Bestimme den Grenzwert \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {P_C}(t)\).

  4. Erstelle den Graph der Funktion \(P_C(t)\) für \(R = 10\Omega \), \(C = 0,05{\rm{F}}\) und \(\left| {{U_0}} \right| = 10{\rm{V}}\) und beschreibe den Verlauf des Graphen unter physikalischen Gesichtspunkten. Berücksichtige dabei auch die Ergebnisse der Aufgabenteile b) und c).

  5. Bestimme mit Hilfe des Zusammenhangs \(P(t) = \frac{{dW(t)}}{{dt}}\) bzw. \(W(t) = \int\limits_0^t {dW(t) = } \int\limits_0^t {P(t)dt} \) rechnerisch die Gesamtenergie \({E_{\rm{Kondensator}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {W_C}(t)\), die vom Kondensator während des gesamten Ausschaltvorgangs abgegeben wird.

Bauformen von Kondensatoren

Ein großes Problem in der Elektrizitätslehre ist die Tatsache, dass elektrische Ladung nicht in den gewünschten großen Mengen gespeichert werden kann. Dies soll durch die folgende Aufgabe näher veranschaulicht werden.

Aufgabe

Ein Haushalt benötige an einem Tag die elektrische Energie von \(10\rm{kWh}\).

Berechne, wie groß die Kapazität eines Kondensators sein müsste, damit diese elektrische Energie bei \(U=230\rm{V}\) gespeichert werden könnte.

Lösung

Für die elektrische Energie eines Kondensators gilt \[{E_{{\rm{el}}}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {U^2} \Leftrightarrow C = \frac{{2 \cdot {E_{{\rm{el}}}}}}{{{U^2}}} \Rightarrow C = \frac{{2 \cdot 10 \cdot {{10}^3} \cdot 3600{\rm{J}}}}{{{{(230{\rm{V}})}^2}}} = 1,4 \cdot {10^3}{\rm{F}}\] Solche Kapaziätswerte sind nur mit sehr teuren Sonderformen unter erheblichem Aufwand erzielbar.

von Elcap, SVG-Umsetzung und kleine Nachbearbeitung Cepheiden in der deutschen Wikipedia [GFDL], via Wikimedia Commons

Um große Kapazitäten von Kondensatoren zu erreichen, muss man (ausgehend von der Formel für die Kapazität des Plattenkondensators) \[Q = C \cdot U = {\varepsilon _0} \cdot {\varepsilon _{\rm{r}}} \cdot \frac{A}{d} \cdot U\] große Elektrodenflächen \(A\) und kleinste Abstände \(d\) der Elektroden anstreben. Darüber hinaus muss man ein Dielektrikum mit einer möglichst großen relativen Dielektrizitätszahl \({\varepsilon _{\rm{r}}}\) verwenden. Um große Ladungsmengen speichern zu können, sollte der Kondensator auch relativ spannungsfest sein, was bei kleinsten Elektrodenabständen wegen möglicher elektrischer Überschläge ein Problem darstellt.

Die Graphik zeigt in einem Kapazitäts-Durchschlagsspannungs-Diagramm was die einzelnen Kondensatortypen zu leisten in der Lage sind. So kann man z.B. entnehmen, dass die Doppelschicht-Kondensatoren inzwischen sehr hohe Kapazitätswerte erreichen, die an die Kondensatoren anlegbare Spannung aber relativ gering ist.

Klicke mit der Maus auf die einzelnen farbigen Felder, um nähere Informationen zu bekommen.

Wenn du sehr detaillierte Auskünfte über den Aufbau und insbesondere die Einsatzmöglichkeiten der verschiedenen Kondensator-Typen erfahren willst, empfehlen wir dir die entsprechende Seite von Wikipedia.

Messung elektrostatischer Felder - Feldmühle

 

Die Feldmühle ist ein Gerät zum Messen elektrostatischer Felder im Labor, aber auch im Freien. Dabei macht man den Zusammenhang zwischen der Feldstärke E und der durch Influenz hervorgerufenen Flächenladungsdichte D zu Nutzen. Es gilt die Grundgleichung des elektrischen Feldes E = ε0 · D mit D = Q/A.

Prinzip der Wilson Platte

Ein elektrisches Feld influenziert Flächenladungen auf der Erde. Legt man eine Metallplatte über die Erdoberfläche und erdet sie, so treten auf ihr ebenfalls Flächenladungen auf - je nach Richtung des Feldes positive oder negative. Wenn diese Platte mit einer anderen geerdeten Platte überdeckt wird, so treten die Ladungen auf der oberen Platte auf und die Ladungen auf der unteren Platte fließen zur Erde ab und können mittels eines Messgeräts bestimmt werden.

In der Feldmühle wird dieses Messprinzip automatisiert. Ein Motor dreht ein geerdetes Flügelrad (hier grau) über zwei elektrisch voneinander getrennten Sektorflächen (hier rot und blau). Die influenzierte Ladungsdichte in den beiden Sektorflächen schwankt nun zwischen Null (voll abgedeckt) und maximaler Flächenladungsdichte D (voll frei). Durch die Widerstände A und B fließt periodisch ein Lade- bzw. Entladestrom. Prinzipiell würde eine Sektorfläche genügen. Da die beiden Sektoren aber gegenphasige Wechselspannungen liefern, kann man diese in einen Differenzverstärker einspeisen und erhält auf diese Weise eine Wechselspannung mit doppelter Amplitude. Der dabei messtechnisch wesentlichere Effekt ist aber, dass sich Störströme und Störfelder, die z.B. durch den Motor entstehen, heraussubtrahieren.

Stefan Kneifel hat auf seiner Hompepage eine detaillierte Bauanleitung für eine Feldmühle ins Netz gestellt und Beispiele gebracht, wie man damit Wolken, insbesondere Gewitterwolken, messtechnisch erfassen kann.

 

Elektrokardiogramm

Zweck des Elektrokardiagramms (EKG)

Das EKG stellt in der Medizin ein wichtiges Instrument zur Untersuchung der Herzfunktion dar. Der niederländische Arzt W. Einthoven konnte im Jahre 1903 als Erster elektrische Impulse, die von einem Hundeherz ausgingen, nachweisen. Der erfahrene Arzt kann mit Hilfe des EKGs u.a. folgende Punkte beurteilen:

  • Herzfrequenz und Herzrhythmus
  • Lage des Herzens
  • Eventuelle Störungen im Erregungsleitsystem
  • Vorliegen eines Herzinfarktes
  • Erkrankungen der Herzkranzgefäße

Im Folgenden wird versucht auf möglichst einfache - und damit auch unvollständige Weise - die Entstehung eines EKGs zu erklären.

Sinusknoten und Reizleitung

Der sogenannte Sinusknoten, ein ca. 3 mm breites und 25 mm langes Gebilde im rechten Vorhof des Herzens ist der eigentliche, natürliche Schrittmacher des Herzens, der mit einer Frequenz von ca. 60 - 100 Impulsen pro Minute erregt wird. Die von ihm ausgehenden elektrischen Impulse pflanzen sich mittels dreier Faserbündel über die Vorhöfe zum sogenannten AV-Knoten fort.

Dieser AV-Knoten ist die "elektrische Sammelstelle" der Vorhoferregung. Würde dem AV-Knoten nicht der schnellere Takt des Sinusknotens aufgezwungen, so würde er selbst eine Erregungsfrequenz von ca. 40 Impulsen pro Minute besitzen, die für einen "Notbetrieb" des Herzens - bei einem Ausfall des Sinusknotens - noch ausreichen würde.

Über weitere "Leitungen" (His-Bündel; Tawara-Schenkel) gelangen die elektrischen Impulse zur Herzspitze, wo sie schließlich die Kontraktion des Herzmuskels auslösen.

Aktionspotential

Führt man eine Mikroelektrode in das Zellinnere einer Herzmuskelfaser und legt man eine zweite Elektrode an das Zelläußere, so kann man mit einem empfindlichen Spannungsmesser (mV-Bereich) eine Spannung feststellen.

Ruhepotenzial
Die Zellmembran stellt die Trennwand zwischen dem Inneren und dem Äußeren der Zelle dar. Im Ruhezustand der Zelle ist die Membran halbdurchlässig (semipermeabel).
Die Konzentration der Kaliumionen (K+) ist im Zellinneren ca. 50mal größer als im Zelläußeren. Durch Poren in der Zellmembran können die K+-Ionen leicht nach außen diffundieren, somit verliert das Zellinnere an positiver Ladung.
Umgekehrt befinden sich im Zelläußeren ca. 15mal mehr Natriumionen als im Zellinneren. Die Na+-Ionen können im Ruhzustand jedoch die Membran nicht passieren.
Durch den Verlust an positiven K+-Ionen wird das Zellinnere negativ, das Zelläußere positiv aufgeladen, es entsteht eine Potenzialdifferenz von ca. -70mV (Potenzialnullpunkt: Zelläußeres). Durch die Fähigkeit der Membran, verschiedene Ionenkonzentrationen aufrechtzuerhalten wird die Zelle zum Dipol, sie befindet sich im Zustand der Polarisation.

 

Aktionspotenzial (Erregung)
Wird das Ruhepotenzial der Herzmuskelzelle z.B. durch einen Spannungsimpuls gestört, so kann es zu einer Umpolung der Zelle (Depolarisation) kommen, da die Durchlässigkeit der Membran verändert wird.
Na+-Ionen können zunächst schnell ins Zellinnere dringen und gleichzeitig nimmt die Membranpermeabilität für die K+-Ionen ab. Die Na+-Ionen erhöhen die positive Ladung im Zellinneren soweit, dass es zu einer Umkehr des Vorzeichens der Potenzialdifferenz kommt.
In einer zweiten Phase strömen neben den Natriumionen auch noch Calziumionen (Ca++) in die Zelle. Dies geschieht nicht so schnell wie der anfängliche Transport der Natriumionen. Daher erfährt das Aktionspotential das für die Herzmuskelzelle typische Plateau. Das Eindringen der Calziumionen führt zur sogenannten elektromechanischen Kopplung, welche die Kontraktion des Herzmuskels bewirkt. In dieser Phase ist die Zelle durch weitere Impulse nicht mehr anregbar, sie ist refraktär und somit unempfindlich für irgendwelche Störungen.

Im Laufe dieses Prozesses nimmt nun wieder die Permeabilität für Na+-Ionen ab, die für K+-Ionen zu. So können wieder K+-Ionen aus der Zelle strömen bis der ursprüngliche Zustand wieder hergestellt ist (Repolarisation).

Ist eine Zelle depolarisiert, so pflanzt sich dieser Zustand auf die Nachbarzellen fort (vgl. Ausbreitung einer Wasserwelle). Diese Erregungsfortleitung von Zelle zu Zelle geschieht über die gesamte Körperoberfläche, so dass man die Potenziale auch an der Haut mit Hilfe von Elektroden abgreifen kann.

Im Gegensatz zur normalen Herzmuskelzelle ist die Zellmembran bei Sinusknotenzellen im Ruhezustand für K+-Ionen nicht so stark durchlässig, Na+-Ionen gelangen ein wenig durch die Membran. Dadurch ist das Ruhepotenzial nicht so stark negativ. Es besteht somit eine größere Empfindlichkeit für die Depolarisation. Außerdem gehen die Zellen des Sinusknotens wieder schneller in den Ruhezustand.

EKG-Kurve

Wie viele Elektroden zur Ableitung der Signale angelegt werden, hängt davon ab, ob nur eine grobe Überprüfung der Herzfunktion beabsichtigt ist (hier: drei Ableitungen nach Einthoven) oder ob eine differenzierte Diagnose gestellt werden soll (bis zu 12 Ableitungen). Die dabei sich ergebenden Signale sind in der absoluten Höhe etwas unterschiedlich, die Signalstruktur ist jedoch immer die gleiche und hat etwa das folgende Aussehen:

Im Bild ist rot angedeutet, welcher Teil des Herzens gerade erregt wird. Die Pfeile zeigen auf die dafür typische Signalform beim gesunden Herzen.

  • Die P-Welle ist die im positiven Spannungsbereich liegende halbrunde Welle, die bei der Erregung der Vorhöfe auftritt.
  • Die Q-Zacke ist eine kleine negative Zacke, die den Beginn der Kammererregung bezeichnet.
  • Die R-Zacke ist schmal und hoch. Sie tritt bei der Kammererregung auf.
  • Die S-Zacke ähnelt der Q-Zacke und gehört ebenfalls noch zur Kammererregung.
  • Die T-Welle ist relativ groß und breit. Sie entspricht der Erregungsrückbildung (Repolarisation).
 

Aus den zeitlichen Abständen einzelner Zacken und deren relativer Höhe und Steilheit kann der Arzt erkennen, ob das Herz gesund ist oder ob eine Krankheit vorliegt. Hier einige Beispiele:

Flächenladungsdichte

Unter der Flächenladungsdichte \(\sigma\) versteht man den Quotienten aus der Ladung \(Q\) einer geladenen Fläche dividiert durch den Inhalt \(A\) der Fläche: \[\sigma = \frac{Q}{A}\] Um die Flächenladungsdichte auf der Platte eines geladenen Plattenkondensators zu bestimmen, kann man - wie in der nebenstehenden Animation gezeigt - vorgehen:

Mit einem kleinen Metalllöffel auf Isolierstil (Elektrostatiklöffel) kann man z.B. die positiv geladene Platte berühren. Auf dem Löffel der Fläche \(A'\) ist dann die gleiche Flächenladungsdichte wie auf der Kondensatorplatte der Fläche \(A\).

Mit Hilfe eines Messverstärkers lässt sich die Ladung \(Q'\) auf dem Löffel messen. Für die Flächenladungsdichte gilt dann: \[ \sigma = \frac{Q'}{A'} \]

Am einfachen Beispiel des Plattenkondensators lässt sich nun nachweisen, dass diese Flächenladungsdichte \(\sigma\) sehr eng mit der Feldstärke \(E\), welche an der Oberfläche der Platte herrscht, zusammenhängt:

Für die Kapazität des Plattenkondensators gilt zum einen \({C = \frac{Q}{U}}\) und zum anderen \({C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d}}\). Durch Gleichsetzen ergibt sich \[{\frac{Q}{U} = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d} \Leftrightarrow \frac{Q}{A} = {\varepsilon _0} \cdot \frac{U}{d}}\] Hieraus ergibt sich mit \({\frac{Q}{A} = \sigma }\) und \({\frac{U}{d} = E}\) \[{\sigma  = {\varepsilon _0} \cdot E}\]

Die soeben abgeleitete Beziehung zwischen \(\sigma\) und \(E\) lässt sich auch auf gekrümmte geladene Flächen z.B. auf Kugelflächen anwenden:

Man umgibt in einem Gedankenexperiment eine punktförmige Ladung \({Q_1}\) mit einer leitenden Kugelschale vom Radius \(r\), deren Wandstärke vernachlässigbar ist. Aus Symmetriegründen verteilen sich die Influenzladungen auf der Innen- und Außenseite der Kugelfläche gleichmäßig. Für die Flächenladungsdichte auf der Kugelinnen- bzw. Außenseite gilt dann (vgl. hierzu auch den Versuch von Cavendish):
\[\sigma = \frac{{{Q_1}}}{{4 \cdot \pi \cdot {r^2}}}\]
Da \(E = \frac{\sigma }{{{\varepsilon _0}}}\) gilt, kann man für die Feldstärke im Abstand \(r\) von der Punktladung \({Q_1}\) schreiben:
\[E = \frac{{{Q_1}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {r^2}}}\]
Befindet sich im Feld der Punktladung \({Q_1}\) eine Probeladung \({Q_2}\), so gilt für die Kraft zwischen den beiden Ladungen:
\[\begin{array}{l}F = E \cdot {Q_2}\quad \Rightarrow \quad F = \frac{{{Q_1}}}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {r^2}}} \cdot {Q_2}\\\quad \quad F = \frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}}\end{array}\]
Mit dem Begriff der Flächenladungsdichte gelingt es also, den Proportionalitätsfaktor \(\frac{1}{{4 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}}\) beim Coulomb-Gesetz herzuleiten.

Feldelektronenmikroskop

Im Jahre 1951 entwickelte Erwin Wilhelm MÜLLER (1911 - 1977) das Feldelektronenmikroskop und bildete damit die Spitze einer Elektronen emittierenden Nadel ab. Das Auflösungsvermögen von ca. \(2{\rm{nm}}\) reichte aus, um einzelne Moleküle zu sehen.

In der Mitte eines evakuierten Glaskolbens befindet sich eine sehr feine heizbare Einkristallspitze K aus Wolfram (Krümmungsradius ca. \({10^{ - 7}}{\rm{m}}\)), die als Kathode dient.

Die Anode A wird durch eine ebenfalls beheizbare Wolframwendel gebildet, an der sich ein Bariumvorrat befindet. A ist leitend mit dem metallisierten Leuchtschirm verbunden.

Legt man zwischen K und A eine Hochspannung, so tritt an der Wolframspitze K ein sehr starkes elektrisches Feld auf, welches aus dieser zunächst ungeheizten Spitze Elektronen herauslöst (Feldemission).

Die so gewonnenen freien Elektronen werden durch das elektrische Feld (Größenordnung etwa \({\rm{1}}{{\rm{0}}^7}\frac{{\rm{V}}}{{{\rm{cm}}}}\)) radial in Richtung des Glaskolbens beschleunigt und bringen die mit einer speziellen Schicht überzogene Innenseite des Kolbens zum Leuchten.

Auf diesem - etwa \(5{\rm{cm}}\) von der Spitze K entfernten Leuchtschirm ist nun nicht ein gleichmäßig helles Leuchten zu beobachten, wie man es von einer glatten homogenen Oberfläche der Kristallspitze erwarten würde. Man sieht vielmehr diffuse regelmäßig angeordnete helle Flecke. Es gibt offenbar auf der strukturierten Kristalloberfläche Zonen, die leichter Elektronen abgeben. Von diesen Zonen sehen wir die Bilder auf dem Leuchtschirm in Form heller Flecke (Vergrößerungsfaktor ca. 500 000).

Durch Beheizen der Anode A kann man Barium verdampfen. Einige Bariumatome gelangen auch auf die Wolframspitze K und verändern dadurch deren Oberfläche. Die Bariumatome wirken wie kleine Spitzen, die auf die Wolframelektrode aufgesetzt sind. Das elektrische Feld um die Bariumatome ist daher stärker als in der Umgebung (Spitzenwirkung). Die durch Feldemission aus den Bariumatomen "gesogenen" Elektronen entwerfen auf dem Bildschirm helle Bildpunkte.

Versuchsaufbau vom BG / BRG Mössingerstraße (Dr. Willitsch), Klagenfurt
mit Beschriftung von LEIFI (Leuchtschirm um 90° geklappt)

Heizt man nun die Spitze K vorsichtig, so erkannt man eine Bewegung der durch die Bariumatome hervorgerufenen Bildpunkte auf dem Leuchtschirm, die umso lebhafter wird, je höher die Temperatur der Wolframspitze gewählt wird.

Auf diese Weise hat man die Möglichkeit der direkten Beobachtung der "Wärmebewegung" von Atomen.

Im Jahre 1955 gelingt es MÜLLER, mit dem Feldionenmikroskop das erste Mal ein einzelnes Atom sichtbar – ein Uranatom.

 
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