Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

S

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Spannung über dem Kondensator

Aufgabe

Der Kondensator in der nebenstehenden Schaltung soll aufgeladen werden.

a)Skizzieren Sie qualitativ den Spannungsverlauf am Kondensator (lila).

Gehen Sie kurz darauf ein, warum der Kondensator nicht sofort nach dem Einschalten den stationären Endwert seiner Spannung erreicht.

b)Zeichnen Sie in das Diagramm von Teilaufgabe a) - wiederum qualitativ - den Spannungsverlauf (blau) für den Fall ein, dass der Ladewiderstand \(R\) vergrößert wurde.

Machen Sie ihr Ergebnis plausibel.

c)Stellen Sie mit Hilfe der KIRCHHOFFschen Maschenregel die Differentialgleichung für \({U_C}(t)\) auf.

d)Zeigen Sie, dass\[{U_C}(t) = {U_0} \cdot \left( {1 - {e^{ - \;\frac{1}{{R \cdot C}} \cdot t}}} \right)\]eine Lösung der in Teilaufgabe c) aufgestellten Differentialgleichung ist.

e)Für obige Schaltung gelten die folgenden Daten: \({U_0} = 10{\rm{V}}\) ; \({R = 100{\rm{k\Omega }}}\) ; \({C = 200{\rm{\mu F}}}\).

Berechnen Sie, welche Zeit \({t_1}\) nach dem Einschalten verstreicht, bis die Spannung am Kondensator \(8,0{\rm{V}}\) überschreitet.

f)Die Serienschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators wird als RC-Glied bezeichnet. Mit ihr gelingt es z.B. gewisse Schaltvorgänge zeitlich zu verzögern. So kann z.B. der Zeitpunkt für das Einschalten eines Relais, das bei \(8,0{\rm{V}}\) schaltet und parallel zum Kondensator liegt, durch die Wahl von \(R\) und \(C\) beeinflusst werden.

Wie müssten \(R\) und \(C\) gewählt werden, damit ein parallel zum Kondensator liegendes Relais möglichst stark verzögert schaltet?

Lösung

a)Die Kondensatorspannung erreicht nicht sofort ihren stationären Höchstwert, da es eine gewisse Zeit dauert bis die volle Ladung auf den Kondensator geflossen ist. Diese Zeit ist umso länger, je größer \(C\) und \(R\) ist.

b)Ein höherer Widerstand lässt nur einen geringeren Stromfluss zu. Daher dauert es länger, bis die gesamte mögliche Ladung auf den Kondensator gelangt ist. Somit geht wegen U = Q/C auch der Spannungsanstieg langsamer vor sich.

c)Nach KIRCHHOFF gilt\[{U_0} = {U_R} + {U_C} \Rightarrow {U_0} = I \cdot R + {U_C}\quad(1)\]Ableiten der Kondensatorformel nach der Zeit ergibt\[Q = C \cdot U\left| {\frac{d}{{dt}}} \right. \Rightarrow \frac{{dQ}}{{dt}} = C \cdot \frac{{d{U_C}}}{{dt}} \Rightarrow I = C \cdot \frac{{d{U_C}}}{{dt}}\quad(2)\]Einsetzen von (2) in (1) ergibt\[{U_0} = C \cdot \frac{{d{U_C}}}{{dt}} \cdot R + {U_C}\]

d)Aus\[{U_C}(t) = {U_0} \cdot \left( {1 - {e^{ - \;\frac{t}{{R \cdot C}}}}} \right)\]folgt wegen der Kettenregel\[\frac{{d{U_C}(t)}}{{dt}} = \frac{{{U_0}}}{{R \cdot C}} \cdot {e^{ - \;\frac{t}{{R \cdot C}}}}\]Setzt man den Lösungsansatz und dessen Ableitung in die Differentialgleichung von Teilaufgabe c) ein, so ergibt sich\[{U_0} = C \cdot \left( {\frac{{{U_0}}}{{R \cdot C}} \cdot {e^{ - \;\frac{t}{{R \cdot C}}}}} \right) \cdot R + {U_0} \cdot \left( {1 - {e^{ - \;\frac{t}{{R \cdot C}}}}} \right) = {U_0} \cdot {e^{ - \;\frac{t}{{R \cdot C}}}} + {U_0} - {U_0} \cdot {e^{ - \;\frac{t}{{R \cdot C}}}} = {U_0}\]Die sich ergebende Identität bestätigt die Richtigkeit des Lösungsansatzes.

e)Für obige Schaltung gelten die folgenden Daten: \({U_0} = 10{\rm{V}}\) ; \(R = 100{\rm{k\Omega }}\) ; \(C = 200{\rm{\mu F}}\):\[\begin{array}{l}{U_C}({t_1}) = {U_0} \cdot \left( {1 - {e^{ - \frac{{{t_1}}}{{R \cdot C}}}}} \right) \Leftrightarrow 1 - \frac{{{U_C}({t_1})}}{{{U_0}}} = {e^{ - \frac{{{t_1}}}{{R \cdot C}}}}\left| {\ln } \right. \Leftrightarrow \ln \left( {1 - \frac{{{U_C}({t_1})}}{{{U_0}}}} \right) =  - \frac{{{t_1}}}{{R \cdot C}} \Leftrightarrow \\{t_1} =  - R \cdot C \cdot \ln \left( {1 - \frac{{{U_C}({t_1})}}{{{U_0}}}} \right)\end{array}\]Einsetzen der Werte ergibt\[{t_1} =  - 100 \cdot {10^3}{\rm{\Omega }} \cdot 200 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{F}} \cdot \ln \left( {1 - \frac{{8,0{\rm{V}}}}{{10{\rm{V}}}}} \right) = 32\frac{{\rm{V}}}{{\rm{A}}} \cdot \frac{{{\rm{As}}}}{{\rm{V}}}{\rm{ = 32s}}\]

f)Damit das Relais möglichst spät schaltet, müssen \(R\) und \(C\) möglichst groß gewählt werden.