Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

Ladungen & Felder - Oberstufe

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Schwingende Ladung (Abitur SL 1996 LK A1-3)

Aufgabe

Die beiden punktförmigen Ladungen an den Orten A und B sind ortsfest und haben den gleichen positiven Wert \(Q\). In der Mitte der Strecke \(\overline {{\rm{AB}}} \) befindet sich die punktförmige negative Ladung \(q\). Durch eine Störung wird die Ladung \(q\) senkrecht zu \(\overline {{\rm{AB}}} \) in \(x\)-Richtung ausgelenkt und beginnt daher um die Ruhelage zu schwingen.

a)Zeigen Sie , dass für die Rückstellkraft \(\vec F\) gilt:\[F(x) = - \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{x}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{{\textstyle{3 \over 2}}}}}}\]

b)Zeigen Sie, dass für kleine Auslenkung \({\left| x \right| \ll a}\) die "Federhärte" den Wert\[D = - \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^3}}}\]annimmt.

c)Überprüfen sie die Maßeinheit von \(D\).

d)Berechnen Sie mit dieser Federhärte die Schwingungsdauer für den folgenden Fall: Der schwingende Körper, der die Ladung \(q\) trägt, ist ein Elektron. In den Punkten A und B befindet sich jeweils die positive Elementarladung \(e\). Die Länge der Strecke \(\overline {{\rm{AB}}} \) ist \(2a = 0,2\rm{nm}\).

e)Berechnen Sie die Wellenlänge der vom Oszillator ausgesandten Welle im Vakuum.

Geben Sie an, zu welchem Bereich des elektromagnetischen Spektrums sie gehört.

Lösung

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des saarl. Kultusministeriums.

a)Berechnung der Kraft (COULOMB-Kraft), die von der Ladung bei A auf die Probeladung \(q\) ausgeübt wird:
\[{F_{{\rm{schräg}}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{a^2} + {x^2}}}\]
Berechnung des Betrages der Horizontalkomponente von \({\vec F_{{\rm{schräg}}}}\):
\[{F_{{\rm{hor}}}} = {F_{{\rm{schräg}}}} \cdot \cos \left( \alpha  \right) = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{a^2} + {x^2}}} \cdot \frac{x}{{\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\]
Da die Ladung bei B eine gleich große Kraft in horizonaler Richtung bewirkt, ist die gesamte Kraft in horizontaler Richtung
\[{F_{{\rm{hor}}{\rm{,ges}}}} = 2 \cdot \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} \cdot x = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}} \cdot x\]

b)Für den Nenner im zweiten Bruch des Ergebnisses von Teilaufgabe a) kann man schreiben:
\[{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)^{{\textstyle{3 \over 2}}}} = {\left[ {{a^2} \cdot \left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} \right]^{{\textstyle{3 \over 2}}}} = {a^3} \cdot {\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)^{{\textstyle{3 \over 2}}}}\]
Wenn \(\left| x \right| \ll a\) ist, dann ist \({\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}}\)\ll1. Näherungsweise kann man dann den Klammerausdruck durch die Zahl \(1\) ersetzen:
\[{\left( {1 + \frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)^{{\textstyle{3 \over 2}}}} \approx 1\]
Somit gilt
\[{\left( {{a^2} + {x^2}} \right)^{{\textstyle{3 \over 2}}}} \approx {a^3}\]
Insgesamt lässt sich nach für die horizontal wirkende Gesamtkraft näherungsweise schreiben:
\({F_{{\rm{hor}}{\rm{,ges}}}} = \frac{1}{{2 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{\left| {Q \cdot q} \right|}}{{{a^3}}} \cdot x\)
Es liegt somit ein lineares Kraftgesetz \({F_{\rm{hor,ges}}} = D \cdot x\) vor, bei dem die Richtgröße \(D\) den folgenden Wert hat:
\[D = \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^3}}}\]

c)Für die Einheit von D ergibt sich
\[\left[ D \right] = \frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} = \frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\; = \frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {\rm{V}}}}{{{\rm{m}} \cdot {\rm{m}}}} = \frac{{\rm{J}}}{{{\rm{m}} \cdot {\rm{m}}}} = \frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]

d)Für die Schwingungsdauer des Elektrons gilt
\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{{m_e}}}{D}} \quad(1)\]
Für \(D\) gilt
\[D = \frac{{\left| {q \cdot Q} \right|}}{{2 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {a^3}}} \Rightarrow D = \frac{{{{\left( {1,60 \cdot {{10}^{ - 19}}{\rm{As}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}} \cdot {{\left( {0,1 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}} \right)}^3}}} = 4,6 \cdot {10^2}\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\]
Setzt man dieses Ergebnis in \((1)\) ein, so erhält man für \(T\)
\[T = 2 \cdot \pi  \cdot \sqrt {\frac{{9,1 \cdot {{10}^{ - 31}}{\rm{kg}}}}{{4,6 \cdot {{10}^2}\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}}  = 2,8 \cdot {10^{ - 16}}{\rm{s}}\]

e)Das Elektron schwingt mit der folgenden Frequenz:
\[f = \frac{1}{T} \Rightarrow f = \frac{1}{{2,8 \cdot {{10}^{ - 16}}}}{\rm{Hz}}\]
Strahlung mit dieser Frequenz hat die folgende Wellenlänge:
\[\lambda  \cdot f = c \Leftrightarrow \lambda  = \frac{c}{f} \Rightarrow \lambda  = \frac{{3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,6 \cdot {{10}^{15}} {\rm{Hz}}}} = 84{\rm{nm}}\]
Es wird ultraviolette Strahlung emittiert.