Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

R

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Radialsymmetrisches elektrisches Feld

Aufgabe

Betrachtet wird das radialsymmetrische Feld einer positiv geladenen Hohlkugel (\(Q = 1,0 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{As}}\) ; \(R = 1,0\rm{cm}\)).

a)Geben Sie die Beziehung für die Feldstärke \(E(r)\) an und skizzieren Sie deren Verlauf in einem \(r\)-\(E(r)\)-Diagramm im Bereich \(0{\rm{cm}} \le r \le 14{\rm{cm}}\). Dabei ist \(r\) die Entfernung eines Punktes vom Mittelpunkt der Kugel.

b)Berechnen Sie die Veränderung der potentiellen Energie (Betrag und Vorzeichen) einer negativen Probeladung \(q = -1,0 \cdot {10^{ - 10}}{\rm{As}}\), wenn diese von P1 nach P2 gebracht wird.

c)Berechnen Sie die Potentialdifferenz, die die Probeladung beim Vorgang von Teilaufgabe b) durchläuft.

d)Dem "unendlich" fernen Punkt (\({r_2} \to \infty \)) wird das Potential \(0\rm{V}\) zuordnet.

Stellen Sie eine Beziehung für \(\varphi (r)\) auf.

Skizzieren Sie in einem \(r\)-\(\varphi (r)\)-Diagramm den Verlauf des Potentials im Bereich \(0{\rm{cm}} \le r \le 14{\rm{cm}}\).

Lösung

a)\[E(r) = \frac{Q}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{{{r^2}}} \Rightarrow E(r) = \frac{{1,0 \cdot {{10}^{ - 7}}}}{{4 \cdot \pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}}} \cdot \frac{1}{{{r^2}}}{\rm{Vm}} = 9,0 \cdot {10^2} \cdot \frac{1}{{{r^2}}}{\rm{Vm}}\]

b)Ohne Rechnung kann man schon entscheiden, dass die potentielle Energie des Systems bei dem Vorgang vergrößert wird.\[\begin{array}{*{20}{l}}{{E_{pot,2}} - {E_{pot,1}} = \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}\left( {\frac{1}{{{r_2}}} - \frac{1}{{{r_1}}}} \right) \Rightarrow }\\{{E_{pot,2}} - {E_{pot,1}} = \frac{{1,0 \cdot {{10}^{ - 7}} \cdot \left( { - 1,0 \cdot {{10}^{ - 10}}} \right)}}{{4 \cdot \pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}}} \cdot \left( {\frac{1}{{0,12}} - \frac{1}{{0,090}}} \right){\rm{J}} \approx 2,5 \cdot {{10}^{ - 7}}{\rm{J}}}\end{array}\]

c)Für die Potentialdifferenz gilt\[\Delta {\varphi _{12}} =  - \frac{{\Delta {E_{pot,12}}}}{{{Q_2}}} \Rightarrow \Delta {\varphi _{12}} =  - \frac{{2,5 \cdot {{10}^{ - 7}}}}{{ - 1,0 \cdot {{10}^{ - 10}}}}\frac{{\rm{J}}}{{{\rm{As}}}} = 2,5 \cdot {10^3}{\rm{V}}\]

d)\[\Delta {\varphi _{12}} =  - \frac{{\Delta {E_{pot,12}}}}{{{Q_2}}} \Rightarrow \Delta {\varphi _{12}} = {\varphi _1} - {\varphi _2} =  - \frac{{{Q_1}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}}\left( {\frac{1}{{{r_2}}} - \frac{1}{{{r_1}}}} \right)\]Für \({{r_2} \to \infty }\) ergibt sich dann\[{\varphi _1} - 0 = \frac{{{Q_1}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{{{r_1}}}\]und allgemein\[\varphi (r) = \frac{{{Q_1}}}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{1}{r}\]Zum Kurvenverlauf siehe das Diagramm von Teilaufgabe a).