Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

P

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Power-Kondensator (Abitur BY 2008 LK A5-1)

Aufgabe

Ein Power-Kondensator wird im Auto zur Stabilisierung der \(U = 12{\rm{V}}\)-Betriebsspannung bei kurzzeitig erhöhtem Strombedarf eingesetzt. Bei der Konstruktion dieses Kondensators wird u. a. auf eine hohe Energiedichte \({w_e}\) Wert gelegt:
\[{w_e} = \frac{{{\rm{gespeicherte\;elektrische\;Energie}}}}{{{\rm{Volumen\;des\;Kondensators}}}}\]

Daten des Power-Kondensators: Zylinderform (Durchmesser \({d_1} = 8,0{\rm{cm}}\), Höhe \(h = 28{\rm{cm}}\)), Kapazität \(C = 1,5{\rm{F}}\), Innenwiderstand \({R_i} = 20{\rm{m\Omega }}\) , Ladespannung \(U = 12,0{\rm{V}}\).

a)Wie groß sind die gespeicherte Energie und die Energiedichte des vollständig geladenen Kondensators? (5 BE)

b)Welchen Durchmesser \(D\) hätten die kreisförmigen Platten eines Kondensators mit Luft im Zwischenraum und einem Plattenabstand \(d'\) von \(1,0{\rm{mm}}\), dessen Kapazität ebenfalls \(1,5{\rm{F}}\) beträgt?

Welche Energiedichte hätte das elektrische Feld dieses Plattenkondensators bei einer Spannung von \(12,0{\rm{V}}\)? (5 BE)

 

Der geladene Power-Kondensator wird über einen Lastwiderstand \({R_a}\) entladen. Das folgende Diagramm stellt den zeitlichen Verlauf der Entladestromstärke \(I\) dar.

c)Entnehmen Sie dem Diagramm die momentanen Entladestromstärken für \({t_1} = 0{\rm{s}}\) bis \({t_7} = 0,3{\rm{s}}\) in Abständen von \(50{\rm{ms}}\). Erstellen Sie hierzu eine Wertetabelle und zeichnen Sie das zugehörige \(t\,\, - \,\,\ln \left( {\frac{{I(t)}}{{{I_0}}}} \right)\)-Diagramm. (7 BE)

d)Der Entladevorgang wird durch die Funktion \(I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - \;k \cdot t}}\) mit \(k = \frac{1}{{\left( {{R_i} + {R_a}} \right) \cdot C}}\) beschrieben.

Wie kann dieser Zusammenhang mit dem in Teilaufgabe c) erstellten Diagramm bestätigt werden?

Ermitteln Sie die Konstante \(k\) aus diesem Diagramm und berechnen Sie damit \({{R_a}}\). [zur Kontrolle: \({{R_a} = 78{\rm{m\Omega }}}\) ] (6 BE)

e)Schätzen Sie die elektrische Energie ab, die der Power-Kondensator während der ersten \(50{\rm{ms}}\) bei der Entladung abgibt. (4 BE)

Lösung

a)Berechnung der Energie:\[{W_e} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot {U^2} \Rightarrow {W_e} = \frac{1}{2} \cdot 1,50 \cdot {12,0^2}{\rm{J}} \approx 108{\mkern 1mu} {\rm{J}}\]Berechnung der Energiedichte:\[{w_e} = \frac{{{W_e}}}{V} = \frac{{{W_e}}}{{{{\left( {\frac{d}{2}} \right)}^2} \cdot \pi \cdot h}} \Rightarrow {w_e} = \frac{{108}}{{{{\left( {\frac{{0,080}}{2}} \right)}^2} \cdot \pi \cdot 0,28}}\frac{{\rm{J}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}} \approx 77\frac{{{\rm{kJ}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]

b)Berechnung des Durchmessers des "Luftkondensators":\[\begin{array}{l}C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{{d'}} = {\varepsilon _0} \cdot \frac{{{{\left( {\frac{D}{2}} \right)}^2} \cdot \pi }}{{d'}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{D}{2}} \right)^2} = \frac{{C \cdot d'}}{{{\varepsilon _0} \cdot \pi }} \Rightarrow D = 2 \cdot \sqrt {\frac{{C \cdot d'}}{{{\varepsilon _0} \cdot \pi }}} \\ \Rightarrow D = 2 \cdot \sqrt {\frac{{1,50 \cdot 0,0010}}{{8,85 \cdot 1{0^{ - 12}} \cdot \pi }}} \rm{m} \approx 15\rm{km}\end{array}\]Berechnung der Energiedichte des "Luftkondensators":\[{w_e} = \frac{{{W_e}}}{V} = \frac{{{W_e}}}{{{{\left( {\frac{D}{2}} \right)}^2} \cdot \pi \cdot d'}} \Rightarrow {w_e} = \frac{{108}}{{{{\left( {\frac{{14,69 \cdot {{10}^3}}}{2}} \right)}^2} \cdot \pi \cdot 0,0010}}\frac{\rm{J}}{{\rm{m^3}}} \approx 0,64\frac{\rm{mJ}}{{\rm{m^3}}}\]

c) 

\[t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\] 0 0,050 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30
\[I\;{\rm{in}}\;{\rm{A}}\] 116 83 59 42 30 21 14
\[\ln \left( {I/{I_0}} \right)\] 0 -0,33 -0,68 -1,0 -1,4 -1,7 -2,1

d)Durch Logarithmieren der Funktion\[I(t) = {I_0} \cdot {e^{ - k \cdot t}}\]erhält man\[\frac{{I(t)}}{{{I_0}}} = {e^{ - k \cdot t}}\,\left| {\ln } \right. \Rightarrow \ln \left( {\frac{{I(t)}}{{{I_0}}}} \right) = - k \cdot t\]Die Größe \(- k\) ist somit die Steigung der Ursprungsgeraden in dem obigen Diagramm. Mit Hilfe eines Steigungsdreiecks erhält man \(k = 6,8\frac{1}{s}\).

Berechnung von \({R_a}\):\[\begin{array}{l}k = \frac{1}{{\left( {{R_a} + {R_i}} \right) \cdot C}} \Leftrightarrow {R_a} = \frac{1}{{k \cdot C}} - {R_i}\\ \Rightarrow {R_a} = \frac{1}{{6,8 \cdot 1,50}}\frac{{{\rm{s}} \cdot {\rm{V}}}}{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}} - 20 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{\Omega }} \approx 78\,{\rm{m\Omega }}\end{array}\]

 

e)Abschätzung der Ladung (Fläche unter der Zeit-Strom-Kurve) in den ersten \(50{\rm{ms}}\):Die mittlere Stromstärke in diesem Zeitintervall ist ca. \(100{\rm{A}}\). Somit gilt für die Ladung\[\Delta Q = \overline I \cdot \Delta t \Rightarrow \Delta Q = 100 \cdot 50 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{As}} \approx 5,0\,{\rm{As}}\]Für die elektrische Energie gilt\[\Delta {W_e} = \Delta Q \cdot U = \Delta Q \cdot \overline {\rm I} \cdot {R_a} \Rightarrow \Delta {W_e} = 5,0 \cdot 100 \cdot 96 \cdot 1{0^{ - 3}}{\rm{J}} \approx 0,05\,{\rm{kJ}}\]