Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

P

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Plattenkondensator (Abitur BY 2017 Ph11 A2-1)

Aufgabe

Abb.
1

Die quadratischen Platten eines Kondensators haben die Seitenlänge \(a = 28{,}0\,\rm{cm}\) und den Abstand \(d = 6{,}0\,\rm{mm}\). Im geladenen Zustand ziehen sie sich mit einer Kraft vom Betrag \(F\) an. Dieser Kraftbetrag wird mithilfe einer Präzisionswaage in Abhängigkeit von der Kondensatorspannung \(U\) bestimmt (siehe Abbildung). Es kann angenommen werden, dass sich der Abstand \(d\) während der Messung nicht ändert.

\(U\;{\rm{in}}\;{\rm{kV}}\) \(1{,}1\) \(1{,}9\) \(3{,}0\) \(4{,}0\)
\(F\;{\rm{in}}\;{\rm{mN}}\) \(12\) \(35\) \(86\) \(154\)

a)Zeige, dass die Kapazität des Kondensators \(C = 1{,}2 \cdot 10^{-10}\,\rm{F}\) beträgt. (3 BE)

b)Erläutere ausgehend von einer Kräftebetrachtung, wie mithilfe des Versuchsaufbaus der Kraftbetrag \(F\) bestimmt wird. (5 BE)

c)Die abgebildete Tabelle enthält Wertepaare für \(U\) und \(F\).

Zeige, dass diese den Zusammenhang \(F = K \cdot U^2\) bestätigen, wobei \(K\) eine Konstante ist.

Ermittle einen möglichst genauen experimentellen Wert \(K_{\rm{exp}}\) für die Konstante. [zur Kontrolle: \(K_{\rm{exp}}=9{,}7 \cdot 10^{-9}\,\rm{\frac{N}{V^2}}\)] (6 BE)

Aus theoretischen Überlegungen ergibt sich für den Kraftbetrag \(F\) der Zusammenhang \(F = \frac {1}{2} \cdot E \cdot Q\). Dabei bezeichnet \(E\) die elektrische Feldstärke im Kondensator und \(Q\) seine Ladung.

d)Zeige exemplarisch anhand eines Wertepaares, dass die Versuchsergebnisse diesen Zusammenhang bestätigen. (5 BE)

e)Weise nach, dass für die Konstante \(K\) die Beziehung \(K = \frac{{{\varepsilon _0}}}{2} \cdot \frac{{{a^2}}}{{{d^2}}}\) gilt.

Berechne damit den theoretisch zu erwartenden Wert \(K_{\rm{th}}\).

Untersuche, ob eine Messungenauigkeit bei der Bestimmung des Plattenabstands von \(\Delta d = 0{,}10\,{\rm{mm}}\) den Unterschied zwischen \(K_{\rm{th}}\) und \(K_{\rm{exp}}\) erklären kann. (8 BE)

f)Bei einer Wiederholung des Experiments wird die ungeladene untere Platte versehentlich nicht mit der Spannungsquelle verbunden.

Erläutere die Auswirkung auf den Versuch. (4 BE)

Lösung

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Für die Kapazität des luftgefüllten Plattenkondensators gilt\[C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d} \Rightarrow C = 8{,}85 \cdot {10^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}} \cdot \frac{{{{\left( {0{,}28\,{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{6{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}}} = 1{,}2 \cdot {10^{ - 10}}\,{\rm{F}}\]

b)Bei abgeschaltetem elektrischem Feld stellt die Präzisionswaage die Masse \(m_0\) der unteren Platte samt Halterung fest. Über die Beziehung \({F_0} = {m_0} \cdot g\) erhält man auch den Betrag der nach unten gerichteten Gewichtskraft \({\vec F_0}\) von Platte und Halterung.

Schaltet man das elektrische Feld im Kondensator an, so bewirkt die anziehende, nach oben gerichtete elektrische Kraft \({\vec F_{{\rm{el}}}}\) zwischen den Platten, dass die angezeigte Masse \(m^*\) kleiner wird. Für den Betrag \({F_{{\rm{el}}}}\) der elektrischen Kraft gilt \(F_{{\rm{el}}} = \left( {{m_0} - {m^*}} \right) \cdot g\).

c) 

\(U\;{\rm{in}}\;{\rm{kV}}\) \(1{,}1\) \(1{,}9\) \(3{,}0\) \(4{,}0\)
\(F\;{\rm{in}}\;{\rm{N}}\) \(12 \cdot 10^{-3}\) \(35 \cdot 10^{-3}\) \(86 \cdot 10^{-3}\) \(154 \cdot 10^{-3}\)
\({K_{{\rm{exp}}}} = \frac{F}{{{U^2}}}\;{\rm{in}}\;\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{V}}^{\rm{2}}}}}\) \(9{,}9 \cdot {10^{ - 9}}\) \(9{,}7 \cdot {10^{ - 9}}\) \(9{,}6 \cdot {10^{ - 9}}\) \(9{,}6 \cdot {10^{ - 9}}\)

Als Mittelwert der berechneten \(K\)-Werte ergibt sich\[{\bar K_{{\rm{exp}}}} = \frac{{9{,}9 + 9{,}7 + 9{,}6 + 9{,}6}}{4} \cdot {10^{ - 9}}\,\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{V}}^{\rm{2}}}}} = 9{,}7 \cdot {10^{ - 9}}\,\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{V}}^{\rm{2}}}}}\]

d)Mit dem Wertepaar \(\left( {1{,}9 \cdot {{10}^3}\,{\rm{V}}|35 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{N}}} \right)\) erhält man\[E = \frac{U}{d} \Rightarrow E = \frac{{1,9 \cdot {{10}^3}{\rm{V}}}}{{6,0 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}} = 3,2 \cdot {10^5}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]\[Q = C \cdot U \Rightarrow Q = 1{,}16 \cdot {10^{ - 10}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{\rm{V}}} \cdot 1{,}9 \cdot {10^3}\,{\rm{V}} = 2{,}2 \cdot {10^{ - 7}}\,{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}\]\[F = \frac{1}{2} \cdot E \cdot Q \Rightarrow F = \frac{1}{2} \cdot 3{,}17 \cdot {10^5}\,\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}} \cdot 2{,}20 \cdot {10^{ - 7}}\,{\rm{As}} = 35 \cdot {10^{ - 3}}\,{\rm{N}} = 35\,{\rm{mN}}\]

e)Man leitet her\[{K_{{\rm{th}}}} = \frac{F}{{{U^2}}} = \frac{{{\textstyle{1 \over 2}} \cdot Q \cdot E}}{{{U^2}}}\; = \frac{{{\textstyle{1 \over 2}} \cdot Q \cdot {\textstyle{U \over d}}}}{{{U^2}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{Q}{U} \cdot \frac{1}{d} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot \frac{1}{d} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{\varepsilon _o} \cdot A}}{d} \cdot \frac{1}{d} = \frac{1}{2} \cdot {\varepsilon _o} \cdot \frac{{{a^2}}}{{{d^2}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{K_{{\rm{th}}}} = \frac{1}{2} \cdot 8{,}85 \cdot {10^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}} \cdot \frac{{{{\left( {28{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {6{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 9{,}6 \cdot {10^{ - 9}}\,\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{V}}^{\rm{2}}}}}\]Berechnung von \(K_{{\rm{th,max}}}^*\) für ein um \(0{,}1\,\rm{mm}\) vermindertes \(d\), also \(d = 5{,}9\,\rm{mm}\)\[K_{{\rm{th,max}}}^* = \frac{1}{2} \cdot 8{,}85 \cdot {10^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}} \cdot \frac{{{{\left( {28{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {5{,}9 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 10 \cdot {10^{ - 9}}\,\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{V}}^{\rm{2}}}}}\]Berechnung von \(K_{{\rm{th,min}}}^*\) für ein um vergrößertes \(d\), also \(d = 6{,}1\,\rm{mm}\)\[K_{{\rm{th,min}}}^* = \frac{1}{2} \cdot 8{,}85 \cdot {10^{ - 12}}\,\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}}}} \cdot \frac{{{{\left( {28{,}0 \cdot {{10}^{ - 2}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {6{,}1 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}} \right)}^2}}} = 9{,}3 \cdot {10^{ - 9}}\,\frac{{\rm{N}}}{{{{\rm{V}}^{\rm{2}}}}}\]Der gemessen \(K\)-Wert liegt in der Schwankungsbreite des theoretischen \(K\)-Wertes, wenn man von einer Unsicherheit \(\Delta d = 0{,}10\,{\rm{mm}}\) bei der Messung von \(d\) ausgeht.

f)Auf der unteren Platte kommt es nur zu einer Influenzierung im Feld oberen Platte. Die positiven Influenzladungen der unteren Platte werden von den positiven Ladungen der oberen Platte abgestoßen (man kann näherungsweise von einem homogenen Feld ausgehen), die negativen Influenzladungen der unteren Platte dagegen angezogen. Es kommt somit zu keiner resultierenden Kraftwirkung auf die untere Platte.