Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

P

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Plattenkondensator (Abitur BY 2008 GK A1-2)

Aufgabe

Zwei kreisförmige Metallplatten mit Radius r = 30cm, die parallel im Abstand d = 10cm angeordnet sind, bilden einen Plattenkondensator. In der Mitte zwischen den Platten hängt an einem isolierten Faden (l = 1,2m) eine kleine, geladene Metallkugel (m = 0,25g).

a)Berechnen Sie die Kapazität des Kondensators. (4 BE)

Legt man an den Kondensator die Spannung U = 2,0kV an, so wird die Kugel horizontal um Δ x = 4,0cm aus ihrer Ruhelage ausgelenkt. Influenzeffekte sollen nicht berücksichtigt werden, das Feld im Inneren des Kondensators darf als homogen angenommen werden.

b)Ermitteln Sie den Auslenkwinkel α.

Berechnen Sie mit Hilfe der Gewichtskraft die elektrische Kraft Fel auf die Metallkugel. [zur Kontrolle: Fel = 8,2·10-5 N] (7 BE)

c)Wie groß ist die Feldstärke E des homogenen elektrischen Feldes zwischen den Kondensatorplatten?

Welche Ladung Q trägt die Metallkugel? [zur Kontrolle: E = 20kV/m] (6 BE)

d)Begründen Sie kurz, wie sich die Auslenkung der Kugel ändert, wenn bei konstanter Spannung der ursprüngliche Plattenabstand vergrößert wird. (4 BE)

e)Nun wird der Faden durchtrennt.

Beschreiben Sie qualitativ die Bewegung der Metallkugel innerhalb des Kondensators und begründen Sie Ihre Antwort. (6 BE)

Die geladene Metallkugel wird anschließend wieder an den Faden gehängt, doch anstelle der Gleichspannung wird jetzt eine Wechselspannung an die Kondensatorplatten angelegt.

f)Welche Beobachtungen sind jeweils zu erwarten, wenn die angelegte Wechselspannung beginnend bei sehr niedrigen Frequenzen über die Eigenfrequenz des Pendels bis hin zu sehr hohen Frequenzen variiert wird? Begründen Sie Ihre Antwort ausführlich. (9 BE)

Lösung

Hinweis: Bei dieser Lösung von LEIFIphysik handelt es sich nicht um den amtlichen Lösungsvorschlag des bayr. Kultusministeriums.

a)Für die Kapazität des Plattenkondensators gilt \[C = {\varepsilon _0} \cdot \frac{A}{d} = {\varepsilon _0} \cdot \frac{{{r^2} \cdot \pi }}{d} \Rightarrow C = 8,85 \cdot {10^{ - 12}} \cdot \frac{{{{\left( {0,30} \right)}^2} \cdot \pi }}{{0,10}}\frac{{{\rm{A}} \cdot {\rm{s}} \cdot {{\rm{m}}^{\rm{2}}}}}{{{\rm{V}} \cdot {\rm{m}} \cdot {\rm{m}}}} \approx 2,5 \cdot {10^{ - 11}}{\rm{F}}\]

b)Berechnung des Auslenkwinkels: \[\sin \left( \alpha  \right) = \frac{{\Delta x}}{\ell } \Rightarrow \sin \left( \alpha  \right) = \frac{{0,040}}{{1,20}} \approx 3,33 \cdot {10^{ - 2}} \Rightarrow \alpha  = 1,9^\circ \]Im Kräfteparallelogramm taucht der Auslenkwinkel auch auf. Es gilt \[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{{F_{el}}}}{{{F_g}}} \Leftrightarrow {F_{el}} = m \cdot g \cdot \tan \left( \alpha  \right) \Rightarrow {F_{el}} = 0,25 \cdot {10^{ - 3}} \cdot 9,81 \cdot \tan \left( {1,9^\circ } \right)\,{\rm{N}} \approx 8,2 \cdot {10^{ - 5}}{\rm{N}}\]

c)Berechnung der elektrischen Feldstärke zwischen den Platten: \[E = \frac{U}{d} \Rightarrow E = \frac{{2,0 \cdot {{10}^3}}}{{0,10}}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}} = 2,0 \cdot {10^4}\frac{{\rm{V}}}{{\rm{m}}}\]Für die Ladung Q auf der Kugel gilt dann \[{F_{el}} = Q \cdot E \Leftrightarrow Q = \frac{{{F_{el}}}}{E} \Rightarrow Q = \frac{{8,2 \cdot {{10}^{ - 5}}}}{{2,0 \cdot {{10}^4}}}\frac{{\rm{N}}}{{{\textstyle{{\rm{V}} \over {\rm{m}}}}}} \approx 4, \cdot {10^{ - 9}}{\rm{As}}\]

d)Bei gleichbleibender Spannung wird die Feldstärke E (E = U/d) kleiner. Da die Kugelladung gleich bleibt, wird die Kraft Fel kleiner. Die Auslenkung der Kugel geht zurück.

e)Auf die Kugel wirkt die elektrische Kraft und die Gewichtskraft. Die Resultierende dieser beiden Kräfte zeigt in die Verlängerung des ausgelenkten Fadens. Die Kugel bewegt sich nach Newton II geradlinig konstant beschleunigt in Richtung der resultierenden Kraft.

f)Es wird angenommen, dass die Kugel bei ihrer Bewegung keine der Platten berührt: Aufgrund der Wechselspannung werden die Kondensatorplatten periodisch umgepolt, so dass eine sich periodisch ändernde Kraft auf die Kugel wirkt. Die Resonanzfrequenz des schwingungsfähigen Systems Faden-Kugel sein fres. Dann gilt

• f < fres: Die Kugel kann dem zeitlichen Verlauf des elektrischen Feldes folgen. Sie schwingt (langsam) im Takt der Wechselspannung hin und her.

• f » fres: In der Nähe der Resonanzfrequenz wächst die Auslenkung der Kugel stark an. Zwischen der Kugelschwingung und der "Feldschwingung" besteht eine Phasendifferenz von 90°.

• f << fres: Bei Frequenzen deutlich über der Resonanzfrequenz (Eigenfrequenz) ist die Trägheit der Kugel zu groß, als dass sie der schnellen Änderung des elektrischen Feldes folgen könnte. Zwischen der "Feldschwingung und der Kugelschwingung besteht eine Phasendifferenz von 180°. Bei sehr hohen Frequenzen ist keine Bewegung der Kugel mehr wahrnehmbar.

Hinweis: Die Bemerkungen zur Phasendifferenz waren nicht gefordert.