Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Pendel am Bandgenerator

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Die große Metallkugel (\(r_1 = 12{,}0\,{\rm{cm}}\)) eines Bandgenerators ist elektrisch positiv aufgeladen. Eine neutrale Kugel mit leitfähiger Oberfläche (\(m = 2{,}0\,{\rm{g}}\), \(r_2 = 2{,}0\,{\rm{cm}}\)) hängt an einem isolierenden Seidenfaden. Sie wird mit der großen Kugel des Bandgenerators in Kontakt gebracht, lädt sich auf und wird durch die elektrostatische Wechselwirkung ausgelenkt. Nach Einstellung des Kräftegleichgewichts liegen die Kugelmittelpunkte auf einer Horizontalen. Gemessen werden die Winkelweite \(\alpha = 8{,}0^\circ \) und der Abstand der Kugelmittelpunkte \(r = 16{,}6\,{\rm{cm}}\).

a)Berechne den Betrag der Abstoßungskraft, die erforderlich ist, um die Kugel in der Gleichgewichtslage zu halten. Betrachte dabei die Kugeln als Punktladungen.

b)Berechne die elektrische Ladung jeder Kugel in dieser Gleichgewichtslage. Setze dabei voraus, dass für die Ladungen der Kugeln gilt\[\frac{{{Q_1}}}{{{Q_2}}} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\]

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)Berechnung der Abstoßungskraft \(F_{\rm{el}}\):\[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{{F_{\rm{el}}}}}{{{F_{\rm{G}}}}} \Leftrightarrow {F_{\rm{el}}} = {F_{\rm{G}}} \cdot \tan \left( \alpha  \right) = m \cdot g \cdot \tan \left( \alpha  \right)\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{\rm{el}}} = 2,0 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{kg}} \cdot 9,81\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}} \cdot \tan \left( {8,0^\circ } \right) = 2,8 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{N}}\]

b)Berechnung der Ladungen mit Hilfe des Gesetzes von COULOMB:\[F_{\rm{el}} = {F_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_1} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}}\quad(1)\]Daneben gilt\[\frac{{{Q_1}}}{{{Q_2}}} = \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \Leftrightarrow {Q_1} = {Q_2} \cdot \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}}\quad(2)\]Setzt man \((2)\) in \((1)\) ein, so folgt für \({{Q_2}}\)\[{F_{\rm{C}}} = \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Q_2} \cdot \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \cdot {Q_2}}}{{{r^2}}} \Rightarrow {Q_2} = \sqrt {\frac{{{F_{\rm{C}}} \cdot 4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0} \cdot {r^2} \cdot {r_2}}}{{{r_1}}}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{Q_2} = \sqrt {\frac{{2,8 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{N}} \cdot 4 \cdot \pi  \cdot 8,85 \cdot {{10}^{ - 12}}\frac{{{\rm{As}}}}{{{\rm{Vm}}}} \cdot {{\left( {0,166{\rm{m}}} \right)}^2} \cdot 0,020{\rm{m}}}}{{0,12{\rm{m}}}}}  = 3,8 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{As}}\]Damit berechnet sich \({Q_1}\) zu
\[{Q_1} = {Q_2} \cdot \frac{{{r_1}}}{{{r_2}}} \Rightarrow {Q_1} = 3,78 \cdot {10^{ - 8}}{\rm{As}} \cdot \frac{{12,0{\rm{cm}}}}{{2,0{\rm{cm}}}}{\mkern 1mu}  = 2,3 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{As}}\]