Elektrizitätslehre

Ladungen & Felder - Oberstufe

Ladungen & Felder - Oberstufe

  • Wie lautet das Gesetz von COULOMB?
  • Wie ist das Feld im Innern eines Plattenkondensators?
  • Wie viel Energie kann ein Kondensator speichern?

Kondensator mit Glimmlampe (Abitur BW 1981)

Aufgabe

a)In der abgebildeten Schaltung bleibe zunächst der Schalter \({S_2}\) offen. Der Schalter \({S_1}\) werde zum Zeitpunkt \(t = 0{\rm{s}}\) geschlossen.

Geben Sie in je einem Schaubild den zeitlichen Verlauf von Ladestrom \(I(t)\) und Kondensatorspannung \({U_C}(t)\) qualitativ an.

Begründen Sie den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung.

b)Während einer von \({t_0}\) bis\({t_1} = {t_0} + \Delta t\) gehenden Zeitspanne kann man die Kondensatorspannung \({U_C}(t)\) näherungsweise als \({U_C}({t_0})\), d.h. als konstant ansehen.

Welche Ladungsportion \(\Delta Q\) fließt dann während dieser Zeitspanne auf den Kondensator?

Berechnen Sie hieraus die Kondensatorspannung \({U_C}({t_1})\), die für die folgende Zeitspanne \(\Delta t\) näherungsweise als konstant anzusehen ist.

Berechnen Sie nach diesem Verfahren mit Hilfe der in der Schaltskizze angegebenen Zahlenwerte die Kondensatorspannung in Schritten von \(\Delta t = 0,100{\rm{s}}\) für \(0{\rm{s}} \le t \le 0,700{\rm{s}}\) .

Zeichnen Sie hiermit näherungsweise das \({U_C}(t)\)-Schaubild (\(10{\rm{V}} \buildrel \wedge \over = 0,5{\rm{cm}}\) ; \(0,1{\rm{s}} \buildrel \wedge \over = 1{\rm{cm}}\)).

Verläuft das exakte Schaubild oberhalb oder unterhalb des gezeichneten Schaubildes? Begründen Sie ihre Antwort!

c)Nun wird bei entladenem Kondensator zuerst der Schalter \({S_2}\), dann der Schalter \({S_1}\) geschlossen.

Zeichnen Sie qualitativ den \({U_C}(t)\)-Verlauf bei dieser Anordnung, falls die Glimmlampe bei \({U_Z} = 110{\rm{V}}\) zündet und bei \({U_L} = 90,0{\rm{V}}\) erlischt.

Berechnen Sie mit der mittleren Kondensatorspannung \({U_C} = 100{\rm{V}}\) näherungsweise die Zeit \(\Delta T\) zwischen Zünden und Erlöschen der Glimmlampe. Der Widerstand der gezündeten Glimmlampe ist hierbei zu vernachlässigen.

Welche Gesamtenergie gibt der Kondensator dann während der Zeit \(\Delta T\) an den Widerstand \({R_2}\) ab?

Lösung

a)Für \(t = 0{\rm{s}}\) ist der Kondensator noch ungeladen, der angelegten Batteriespannung wirkt noch kein \({U_C} = \frac{Q}{C}\) entgegen. Eine andere Erklärung ist, dass Ladestrom fließt und ein Teil der Batteriespannung an \(R\) abfällt.

Auf Grund des anfänglich hohen Ladestroms nimmt die Kondensatorspannung rasch zu, der Strom fällt ab. Da nun die Ladung langsam zunimmt, steigt \({U_C}(t)\) nur noch langsam an und erreicht schließlich den Grenzwert \({U_0}\).

 

b) 

\(t\;{\rm{in}}\;{\rm{s}}\) 0 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500 0,600 0,700
\(\Delta {\rm{Q}}\;{\rm{in}}\;{10^{ - 5}}{\rm{As}}\) 0 4,00 3,20 2,56 2,05 1,64 1,32 1,04
\(\sum {\Delta {\rm{Q}}\;{\rm{in}}\;{{10}^{ - 5}}{\rm{As}}} \) 0 4,00 7,20 9,76 11,8 13,4 14,8 15,8
\({U_C}\;{\rm{in}}\;{\rm{V}}\) 0 40,0 72,0 97,6 118 134 148 158

\[\Delta Q = I \cdot \Delta t = \frac{{{U_0} - {U_C}(t)}}{R} \cdot \Delta t\]Beispiel für \(t = 0,1{\rm{s}}\): \(\Delta Q = \frac{{200{\rm{V}}}}{{0,500 \cdot {{10}^6}{\rm{\Omega }}}} \cdot 0,1{\rm{s = 4}}{\rm{,00}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 5}}{\rm{As}}\)

Die exakte Kurve läuft unterhalb der mit vorstehender Tabelle gezeichneten:

Für die Berechnung von \(\Delta Q\) in einem Intervall \(\Delta t\) (z.B.\([0{\rm{s}};0,1{\rm{s}}]\)) wird die Kondensatorspannung zu Beginn des Intervalls benutzt. In dem "Beispielintervall" \({U_C} = 0{\rm{V}}\)). Tatsächlich nimmt die Kondensatorspannung aber während dieses Zeitintervalls zu, d.h. das "wahre" \(\Delta Q\) ist kleiner. Somit ist auch gesamt \(Q\) und somit \({U_C}\) kleiner.

 

c)Die Spannung am Kondensator steigt bis \(110{\rm{V}}\) an. Die Ladezeit wird durch \({R_1}\) und \(C\) bestimmt. Dann zündet die Glimmlampe und der Kondensator kann sich über den niederohmigen "Glimmlampenzweig" entladen. Die Entladezeit wird durch \({R_2}\) und \(C\) bestimmt. Da \({R_2} \ll {R_1}\), geht die Entladung schneller als die Aufladung.

Ist \({U_C} = 90{\rm{V}}\) erreicht, so erlischt die Glimmlampe und erst wenn \({U_C} = 110{\rm{V}}\) wieder erreicht ist, kommt es wieder zur Zündung.

Während des Entladevorganges sei die mittlere Kondensatorspannung \({\overline {{U_C}} = 100{\rm{V}}}\) . Dann fließt während des Entladevorganges ein mittlerer Strom von \(\bar I = \frac{{\overline {{U_C}} }}{{{R_2}}} \Rightarrow \bar I = \frac{{100{\rm{V}}}}{{5{\rm{\Omega }}}} = 20{\rm{A}}\) .

Dieser Strom führt in der Zeit \(\Delta T\) zu einer Ladungsabnahme \(\Delta Q = \bar I \cdot \Delta T\quad(1)\).

Diese Ladungsabnahme kann aber auch über die Abnahme der Kondensatorspannung \(\Delta {U_C}\) berechnet werden: \(\Delta Q = \Delta {U_C} \cdot C\quad(2)\) . Durch Gleichsetzen von (1) und (2) erhält man\[\bar I \cdot \Delta T = \Delta {U_C} \cdot C \Leftrightarrow \Delta T = \frac{{\Delta {U_C} \cdot C}}{{\bar I}} \Rightarrow \Delta T = \frac{{20{\rm{V}} \cdot {\rm{1}}{\rm{,0}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 6}}{\rm{F}}}}{{20{\rm{A}}}} = {\rm{1}}{\rm{,0}} \cdot {\rm{1}}{{\rm{0}}^{ - 6}}{\rm{s}}\]\[\Delta W = \frac{1}{2} \cdot C \cdot \left( {{U_Z}^2 - {U_L}^2} \right) \Rightarrow \Delta W = \frac{1}{2} \cdot 1,00 \cdot {10^{ - 6}}{\rm{F}} \cdot \left( {{{\left( {110{\rm{V}}} \right)}^2} - {{\left( {90{\rm{V}}} \right)}^2}} \right) = 2,0 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{J}}\]oder\[\Delta W = \overline {{U_C}}  \cdot \overline I  \cdot \Delta T = 2,0 \cdot {10^{ - 3}}{\rm{J}}\]